Теорема Какутаниса (теория меры) - Kakutanis theorem (measure theory) - Wikipedia

В теория меры, филиал математика, Теорема Какутани фундаментальный результат о эквивалентность или же взаимная особенность счетного меры продукта. Это дает «если и только если ”Характеристика того, когда две такие меры эквивалентны, и, следовательно, она чрезвычайно полезна при попытке установить формулы замены меры для мер на функциональные пространства. Результат за счет Японский математик Шизуо Какутани. Теорема Какутани может использоваться, например, для определения того, является ли перевод Гауссова мера ${\displaystyle \mu }$ эквивалентно ${\displaystyle \mu }$ (только если вектор трансляции лежит в Пространство Камерона – Мартина из ${\displaystyle \mu }$), или расширение ${\displaystyle \mu }$ эквивалентно ${\displaystyle \mu }$ (только тогда, когда абсолютное значение коэффициента расширения равно 1, что является частью Теорема Фельдмана – Гайека ).

Формулировка теоремы

Для каждого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, позволять ${\displaystyle \mu _{n}}$ и ${\displaystyle \nu _{n}}$ быть мерой на реальной линии ${\displaystyle \mathbb {R} }$, и разреши ${\displaystyle \mu =\bigotimes _{n\in \mathbb {N} }\mu _{n}}$ и ${\displaystyle \nu =\bigotimes _{n\in \mathbb {N} }\nu _{n}}$ - соответствующие меры продукта на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$. Предположим также, что для каждого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mu _{n}}$ и ${\displaystyle \nu _{n}}$ эквивалентны (т.е. имеют одинаковые нулевые наборы). Тогда либо ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \nu }$ эквивалентны, или же они взаимно сингулярны. Более того, эквивалентность имеет место именно тогда, когда бесконечное произведение

${\displaystyle \prod _{n\in \mathbb {N} }\int _{\mathbb {R} }{\sqrt {\frac {\mathrm {d} \mu _{n}}{\mathrm {d} \nu _{n}}}}\,\mathrm {d} \nu _{n}}$

имеет ненулевой предел; или, что то же самое, когда бесконечный ряд

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }\log \int _{\mathbb {R} }{\sqrt {\frac {\mathrm {d} \mu _{n}}{\mathrm {d} \nu _{n}}}}\,\mathrm {d} \nu _{n}}$

сходится.

Рекомендации

• Богачев, Владимир (1998). Гауссовы меры. Математические обзоры и монографии. 62. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. Дои:10.1090 / сур / 062. ISBN  0-8218-1054-5. (См. Теорему 2.12.7)
• Какутани, Шизуо (1948). «Об эквивалентности бесконечных мер произведения». Анна. Математика. 49: 214–224. Дои:10.2307/1969123.