Неравенство Ландау – Колмогорова. - Landau–Kolmogorov inequality - Wikipedia

В математика, то Неравенство Ландау – Колмогорова., названный в честь Эдмунд Ландау и Андрей Колмогоров, это следующее семейство интерполяционные неравенства между разными производными функции ж определен на подмножестве Т реальных чисел:^[1]

${\displaystyle \|f^{(k)}\|_{L_{\infty }(T)}\leq C(n,k,T){\|f\|_{L_{\infty }(T)}}^{1-k/n}{\|f^{(n)}\|_{L_{\infty }(T)}}^{k/n}{\text{ for }}1\leq k<n.}$

На реальной линии

За k = 1, п = 2, Т=р неравенство впервые было доказано Эдмундом Ландау^[2] с резкой постоянной C(2, 1, р) = 2. После вкладов автора Жак Адамар и Георгий Шилов, Андрей Колмогоров нашел точные константы и произвольные п, k:^[3]

${\displaystyle C(n,k,\mathbb {R} )=a_{n-k}a_{n}^{-1+k/n}~,}$

куда а_п являются Константы Фавара.

На полуоси

Следуя работе Маторина и других, экстремальные функции были найдены Исаак Якоб Шенберг,^[4] Однако явный вид точных констант пока неизвестен.

Обобщения

Есть много обобщений, которые имеют вид

${\displaystyle \|f^{(k)}\|_{L_{q}(T)}\leq K\cdot {\|f\|_{L_{p}(T)}^{\alpha }}\cdot {\|f^{(n)}\|_{L_{r}(T)}^{1-\alpha }}{\text{ for }}1\leq k<n.}$

Здесь все три нормы могут отличаться друг от друга (от L₁ к L_∞, с п=q=р= ∞ в классическом случае) и Т может быть действительной осью, полуосью или замкнутым отрезком.

В Неравенство Каллмана – Рота обобщает неравенства Ландау – Колмогорова с оператора производной на более общие схватки на Банаховы пространства.^[5]

Примечания

1. Weisstein, E.W. "Константы Ландау-Колмогорова". MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram.
2. Ландау, Э. (1913). "Ungleichungen für zweimal Differenzierbare Funktionen". Proc. Лондонская математика. Soc. 13: 43–49. Дои:10.1112 / плмс / с2-13.1.43.
3. Колмогоров, А. (1949). "О неравенствах между верхними границами последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале". Амер. Математика. Soc. Перевод. 1–2: 233–243.
4. Шенберг, И.Дж. (1973). "Элементарный случай проблемы неравенства между производными Ландау". Амер. Математика. Ежемесячно. 80 (2): 121–158. Дои:10.2307/2318373. JSTOR  2318373.
5. Каллман, Роберт Р .; Рота, Джан-Карло (1970), «О неравенстве ${\displaystyle \Vert f^{\prime }\Vert ^{2}\leqq 4\Vert f\Vert \cdot \Vert f''\Vert }$", Inequalities, II (Proc. Second Sympos., U.S. Air Force Acad., Colo., 1967), Нью-Йорк: Academic Press, стр. 187–192, МИСТЕР  0278059.

→