Метод Ленглендса – Шахиди - Langlands–Shahidi method

В математика, то Метод Ленглендса – Шахиди предоставляет средства для определения автоморфные L-функции во многих случаях, которые возникают с подключенными редуктивные группы через числовое поле. Это включает в себя Ранкин – Сельберг продукты для куспидального автоморфные представления из общие линейные группы. Метод развивает теорию местный коэффициент, который связан с глобальной теорией через Серия Эйзенштейна. Результирующий L-функции удовлетворяют ряду аналитических свойств, включая важное функциональное уравнение.

Местный коэффициент

Обстановка в общем случае связной квази-расщепленной редуктивной группы граммвместе с Леви подгруппа M, определенный над местное поле F. Например, если грамм = грамм_л это классическая группа ранга л, ее максимальные подгруппы Леви имеют вид GL (м) × грамм_п, куда грамм_п классическая группа ранга п и того же типа, что и грамм_л, л = м + п. Ф. Шахиди развивает теорию местный коэффициент для неприводимых общих представлений М (Ж).^[1] Локальный коэффициент определяется с помощью свойства единственности Модели Уиттакера в сочетании с теорией сплетающих операторов для представлений, полученных с помощью параболической индукции из общих представлений.

Оператор глобального сплетения, входящий в функциональное уравнение Langlands 'теория рядов Эйзенштейна^[2] можно разложить как произведение локальных операторов переплетения. Когда M является максимальной подгруппой Леви, локальные коэффициенты возникают из коэффициентов Фурье правильно подобранного ряда Эйзенштейна и удовлетворяют грубому функциональному уравнению, включающему произведение частных L-функции.

Локальные факторы и функциональное уравнение

Шаг индукции уточняет грубое функциональное уравнение глобально общего каспидального автоморфного представления ${\displaystyle \pi =\otimes '\pi _{v}}$ к индивидуальным функциональным уравнениям с частными L-функции и γ-факторы:^[3]

${\displaystyle L^{S}(s,\pi ,r_{i})=\prod _{v\in S}\gamma _{i}(s,\pi _{v},\psi _{v})L^{S}(1-s,{\tilde {\pi }},r_{i}).}$

Детали технические: s комплексная переменная, S конечный набор мест (основного глобального поля) с ${\displaystyle \pi _{v}}$ неразветвленный для v вне S, и ${\displaystyle r=\oplus r_{i}}$ является присоединенным действием M на комплексной алгебре Ли конкретной подгруппы группы Двойная группа Ленглендса из грамм. Когда грамм это специальная линейная группа SL (2) и M = Т - максимальный тор диагональных матриц, то π - Größencharakter а соответствующие γ-факторы являются локальными факторами Тезис Тейта.

Γ-факторы однозначно характеризуются своей ролью в функциональном уравнении и списком локальных свойств, включая мультипликативность по отношению к параболической индукции. Они удовлетворяют отношениям, включающим Артина L-функции и Корневые числа Артина когда v дает архимедово локальное поле или когда v неархимедов и ${\displaystyle \pi _{v}}$ является составной частью неразветвленного представления основной серии М (Ж). Местный L-функции и корневые числа ε${\displaystyle (s,\pi _{v},r_{i,v},\psi _{v})}$ затем определяются в каждом месте, включая ${\displaystyle v\in S}$, с помощью классификации Ленглендса для п-адические группы. Функциональное уравнение принимает вид

${\displaystyle L(s,\pi ,r_{i})=\epsilon (s,\pi ,r_{i})L(1-s,{\tilde {\pi }},r_{i}),}$

куда ${\displaystyle L(s,\pi ,r_{i})}$ и ${\displaystyle \epsilon (s,\pi ,r_{i})}$ завершены глобальные L-функция и корневой номер.

Примеры автоморфных L-функции

• ${\displaystyle L(s,\pi _{1}\times \pi _{2})}$, метод Ранкина – Сельберга L-функция каспидальных автоморфных представлений ${\displaystyle \pi _{1}}$ GL (м) и ${\displaystyle \pi _{2}}$ GL (п).
• ${\displaystyle L(s,\tau \times \pi )}$, где τ - каспидальное автоморфное представление GL (м) и π является глобально общим каспидальным автоморфным представлением классической группы грамм.
• ${\displaystyle L(s,\tau ,r)}$, с τ по-прежнему и р симметричный квадрат, внешний квадрат или представление Асаи дуальной группы GL (п).

Полный список L-функции Ленглендса – Шахиди^[4] зависит от квазирасщепленной группы грамм и максимальная подгруппа Леви M. Более конкретно, разложение присоединенного действия ${\displaystyle r=\oplus r_{i}}$ можно классифицировать с помощью Диаграммы Дынкина. Первое исследование автоморфных L-функции теории рядов Эйзенштейна можно найти в Ленглендсе Продукты Эйлера,^[5] в предположении, что автоморфные представления всюду неразветвлены. Метод Ленглендса – Шахиди дает определение L-функции и корневые числа без других условий на представление M кроме требования существования модели Уиттекера.

Аналитические свойства L-функции

Глобальный L-функции называются отлично^[6] если они удовлетворяют:

1. ${\displaystyle L(s,\pi ,r),\ L(s,{\tilde {\pi }},r)}$ распространяется на целые функции комплексной переменной s.
2. ${\displaystyle L(s,\pi ,r),\ L(s,{\tilde {\pi }},r)}$ ограничены вертикальными полосами.
3. (Функциональное уравнение) ${\displaystyle L(s,\pi ,r)=\epsilon (s,\pi ,r)L(1-s,{\tilde {\pi }},r)}$.

Ленглендс – Шахиди L-функции удовлетворяют функциональному уравнению. Прогресс в направлении ограниченности в вертикальных полосах был сделан С.С. Гелбартом и Ф. Шахиди.^[7] И, после включения поворотов сильно разветвленных персонажей, Ленглендс-Шахиди L-функции становятся целыми.^[8]

Другой результат - ненулевое значение L-функции. Для произведений Ранкина – Сельберга общих линейных групп утверждается, что ${\displaystyle L(1+it,\pi _{1}\times \pi _{2})}$ не равно нулю для каждого действительного числат.^[9]

Приложения к функториальности и теории представлений п-адические группы

• Функториальность для классических групп: Куспидальное глобально генерическое автоморфное представление классической группы допускает Функториал Ленглендса подняться до автоморфного представления GL (N),^[10] куда N зависит от классической группы. Затем рамки Рамануджана В. Луо, З. Рудник и П. Сарнак^[11] для GL (N) над числовыми полями дают нетривиальные оценки для обобщенная гипотеза Рамануджана классических групп.
• Симметричные степени для GL (2): Доказательства функториальности для симметричного куба и симметричного четвертого^[12] степени каспидальных автоморфных представлений GL (2) стали возможными благодаря методу Ленглендса – Шахиди. Прогресс в направлении более высоких симметричных степеней приводит к наилучшим возможностям Гипотеза Рамануджана – Петерсона автоморфных касп-форм GL (2).
• Представления п-адические группы: Приложения, включающие Хариш-Чандра μ функций (из формулы Планшереля) и дополнительным рядам п-адические редуктивные группы возможны. Например, GL (п) появляется как подгруппа Зигеля-Леви классической группы G.Если π - гладкое неприводимое разветвленное суперкаспидальное представление группы GL (п, F) над полем F из п-адические числа и ${\displaystyle I(\pi )=I(0,\pi )}$ неприводимо, то:

1. ${\displaystyle I(s,\pi )}$ неприводима и входит в дополнительную серию при 0 < s < 1;
2. ${\displaystyle I(1,\pi )}$ приводимо и имеет уникальное общее подпредставление дискретных серий, не являющееся суперкаспидальным;
3. ${\displaystyle I(s,\pi )}$ неприводима и никогда не входит в дополнительный ряд для s > 1.

Здесь, ${\displaystyle I(s,\pi )}$ получается унитарной параболической индукцией из

• ${\displaystyle \pi \otimes |\det |^{s}}$ если грамм = SO (2п), Sp (2п) или U (п+1, п);
• ${\displaystyle \pi \otimes |\det |^{s/2}}$ если грамм = SO (2п+1) или U (п, п).

Рекомендации

1. Ф. Шахиди, На определенных L-функции, Американский журнал математики 103 (1981), 297–355.
2. Р. П. Ленглендс, О функциональных уравнениях, удовлетворяющих рядам Эйзенштейна, Конспект лекций по математике, Vol. 544, Springer-Verlag, Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк, 1976.
3. Ф. Шахиди, Доказательство гипотезы Ленглендса о мерах Планшереля; Дополнительная серия для п-адические группы, Анналы математики 132 (1990), 273–330.
4. Ф. Шахиди, Ряды Эйзенштейна и автоморфный L-функции, Colloquium Publications, Vol. 58, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2010 г. ISBN  978-0-8218-4989-7
5. Р. П. Ленглендс, Продукты Эйлера, Yale Univ. Press, Нью-Хейвен, 1971 г.
6. Дж. У. Когделл и И. И. Пятецкий – Шапиро, Обратные теоремы для GL (п), Публикации Mathématiques de l'IHÉS 79 (1994), 157–214.
7. С. Гелбарт и Ф. Шахиди, Ограниченность автоморфных L-функции в вертикальных полосах, Журнал Американского математического общества, 14 (2001), 79–107.
8. Х. Х. Ким и Ф. Шахиди, Функториальные произведения для GL (2) × GL (3) и симметричный куб для GL (2), Анналы математики 155 (2002), 837–893.
9. Ф. Шахиди, О ненулевых L-функций, Бюлл. Амер. Математика. Soc. (Н.С.) 2 (1980), нет. 3, 462–464.
10. Дж. В. Когделл, Х. Х. Ким, И. И. Пятецки-Шапиро и Ф. Шахиди, Функториальность для классических групп, Публикации Mathématiques de l'IHÉS 99 (2004), 163–233
11. В. Луо, З. Рудник и П. Сарнак, Об обобщенной гипотезе Рамануджана для GL (п), Труды симпозиумов по чистой математике 66, часть 2 (1999), 301–310.
12. Х. Х. Ким, Функториальность внешнего квадрата GL (4) и симметричной четверти GL (2), Журнал Американского математического общества 16 (2002), 131–183.