Теорема Лере – Хирша. - Leray–Hirsch theorem

В математика, то Теорема Лере – Хирша.^[1] это основной результат на алгебраическая топология из пучки волокон. Он назван в честь Жан Лере и Гай Хирш, которые независимо доказали это в конце 1940-х гг. Это можно рассматривать как легкое обобщение Формула Кюннета, который вычисляет когомологии пространства произведения как тензорное произведение когомологий прямых факторов. Это особый случай Спектральная последовательность Лере.

Заявление

Настраивать

Позволять ${\displaystyle \pi \colon E\longrightarrow B}$быть пучок волокон с волокном ${\displaystyle F}$. Предположим, что для каждой степени ${\displaystyle p}$, то особые когомологии рациональный векторное пространство

${\displaystyle H^{p}(F)=H^{p}(F;\mathbb {Q} )}$

конечномерно, а включение

${\displaystyle \iota \colon F\longrightarrow E}$

вызывает сюрприз в рациональных когомологиях

${\displaystyle \iota ^{*}\colon H^{*}(E)\longrightarrow H^{*}(F)}$.

Рассмотрим раздел этого сюрприза

${\displaystyle s\colon H^{*}(F)\longrightarrow H^{*}(E)}$,

по определению это отображение удовлетворяет

${\displaystyle \iota ^{*}\circ s=\mathrm {Id} }$.

Изоморфизм Лере – Хирша

Теорема Лере – Хирша утверждает, что линейное отображение

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}H^{*}(F)\otimes H^{*}(B)&\longrightarrow &H^{*}(E)\\\alpha \otimes \beta &\longmapsto &s(\alpha )\smallsmile \pi ^{*}(\beta )\end{array}}}$

является изоморфизмом ${\displaystyle H^{*}(B)}$-модули.

Постановка в координатах

Другими словами, если для каждого ${\displaystyle p}$, существуют классы

${\displaystyle c_{1,p},\ldots ,c_{m_{p},p}\in H^{p}(E)}$

которые ограничивают, на каждом волокне ${\displaystyle F}$, к основе когомологий по степени ${\displaystyle p}$, приведенная ниже карта является изоморфизм из ${\displaystyle H^{*}(B)}$ модули.

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}H^{*}(F)\otimes H^{*}(B)&\longrightarrow &H^{*}(E)\\\sum _{i,j,k}a_{i,j,k}\iota ^{*}(c_{i,j})\otimes b_{k}&\longmapsto &\sum _{i,j,k}a_{i,j,k}c_{i,j}\wedge \pi ^{*}(b_{k})\end{array}}}$

куда ${\displaystyle \{b_{k}\}}$ это основа для ${\displaystyle H^{*}(B)}$ и, таким образом, индуцирует базис ${\displaystyle \{\iota ^{*}(c_{i,j})\otimes b_{k}\}}$ за ${\displaystyle H^{*}(F)\otimes H^{*}(B).}$

Примечания

1. Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология (PDF), Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-79160-X