Спектральная последовательность Лере - Leray spectral sequence

В математика, то Спектральная последовательность Лере был новаторским примером в гомологическая алгебра, введен в 1946 г.^[1][2] к Жан Лере. В настоящее время это обычно рассматривается как частный случай Спектральная последовательность Гротендика.

Определение

Позволять ${displaystyle f:X o Y}$ - непрерывное отображение топологических пространств, которое, в частности, дает функтор ${displaystyle f_{*}}$ из пучки абелевых групп на ${displaystyle X}$ пучкам абелевых групп на ${displaystyle Y}$. Составив это с помощью функтора ${displaystyle Gamma }$ принятия разделов по ${displaystyle { ext{Sh}}_{ ext{Ab}}(Y)}$ это то же самое, что и раздел на ${displaystyle { ext{Sh}}_{ ext{Ab}}(X)}$, по определению функтора прямого образа ${displaystyle f_{*}}$:

${displaystyle {ce {Sh}}_{ ext{Ab}}(X) {ce {->[f_*] Sh}}_{ ext{Ab}}(Y) {ce {->[Gamma] Ab}}}$.

Таким образом производные функторы из ${displaystyle Gamma circ f_{*}}$ вычислить когомологии пучка для ${displaystyle X}$:

${displaystyle R^{i}(Gamma cdot f_{*})({mathcal {F}})=H^{i}(X,{mathcal {F}})}$.

Но потому что ${displaystyle f_{*}}$ и ${displaystyle Gamma }$ Отправить инъективные объекты в ${displaystyle { ext{Sh}}_{ ext{Ab}}(X)}$ к ${displaystyle Gamma }$-ацильные объекты в ${displaystyle { ext{Sh}}_{ ext{Ab}}(Y)}$, существует спектральная последовательность^{[3]стр. 33,19} чья вторая страница

${displaystyle E_{2}^{pq}=(R^{p}Gamma cdot R^{q}f_{*})({mathcal {F}})=H^{p}(Y,R^{q}f_{*}({mathcal {F}}))}$,

и который сходится к

${displaystyle E_{infty }^{pq}=R^{p+q}(Gamma circ f_{*})({mathcal {F}})=H^{p+q}(X,{mathcal {F}})}$.

Это называется Спектральная последовательность Лере.

Обобщение на другие пучки и комплексы пучков

Обратите внимание, что этот результат можно обобщить, рассматривая вместо этого пучки модулей над локально постоянным пучком колец. ${displaystyle {underline {A}}}$ для фиксированного коммутативного кольца ${displaystyle A}$. Тогда связки будут связками ${displaystyle {underline {A}}}$-модули, где для открытого набора ${displaystyle Usubset X}$, такая связка ${displaystyle {mathcal {F}}in { ext{Sh}}_{underline {A}}(X)}$ является ${displaystyle {underline {A}}(U)}$-модуль для ${displaystyle {mathcal {F}}(U)}$. Кроме того, вместо пучков можно было бы рассматривать комплексы ограниченных снизу пучков. ${displaystyle {mathcal {F}}^{ullet }in D_{underline {A}}^{+}(X)}$ для производная категория из ${displaystyle { ext{Sh}}_{underline {A}}(X)}$. Затем заменяют когомологии пучков на пучковая гиперкогомология.

Строительство

Существование спектральной последовательности Лерэ является прямым применением Спектральная последовательность Гротендика^[3]стр.19. Это означает, что с учетом аддитивных функторов

${displaystyle {mathcal {A}}xrightarrow {G} {mathcal {B}}xrightarrow {F} {mathcal {C}}}$

между Абелевы категории имея достаточно инъекций, ${displaystyle F}$ а точный слева функтор, и ${displaystyle G}$ отправка инъективных объектов в ${displaystyle F}$-ациклических объектов, то существует изоморфизм производные функторы

${displaystyle R^{+}(Fcirc G)=R^{+}Fcirc F^{+}G}$

для производных категорий ${displaystyle D^{+}({mathcal {A}}),D^{+}({mathcal {B}}),D^{+}({mathcal {C}})}$. В приведенном выше примере у нас есть композиция производных функторов

${displaystyle D^{+}({ ext{Sh}}_{ ext{Ab}}(X))xrightarrow {Rf_{*}} D^{+}({ ext{Sh}}_{ ext{Ab}}(Y))xrightarrow {Gamma } D^{+}({ ext{Ab}})}$.

Классическое определение

Позволять ${displaystyle fcolon X o Y}$ быть непрерывной картой гладкие многообразия. Если ${displaystyle {mathcal {U}}={U_{i}}_{iin I}}$ это открытая обложка ${displaystyle Y}$, сформировать Чешский комплекс связки ${displaystyle {mathcal {F}}in { ext{Sh}}(X)}$ в отношении покрытия ${displaystyle f^{-1}(U)}$ из ${displaystyle X}$:

${displaystyle { ext{C}}^{p}(f^{-1}{mathcal {U}},{mathcal {F}})}$

Граничные карты ${displaystyle d^{p}colon C^{p} o C^{p+1}}$ и карты ${displaystyle delta ^{q}colon Omega _{X}^{q} o Omega _{X}^{q+1}}$ пучков на ${displaystyle X}$ вместе дают карту границ на двойном комплексе ${displaystyle { ext{C}}^{p}(f^{-1}{mathcal {U}},Omega _{X}^{q})}$

${displaystyle D=d+delta colon C^{ullet }(f^{-1}{mathcal {U}},Omega _{X}^{ullet })longrightarrow C^{ullet }(f^{-1}{mathcal {U}},Omega _{X}^{ullet })}$.

Этот двойной комплекс также является единым комплексом, оцененным по ${displaystyle n=p+q}$, относительно которого ${displaystyle D}$ - это карта границ. Если каждое конечное пересечение ${displaystyle U_{i}}$ диффеоморфен ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, можно показать, что когомологии

${displaystyle H_{D}^{n}(C^{ullet }(f^{-1}{mathcal {U}},Omega _{X}^{ullet }))=H_{ ext{dR}}^{n}(X,mathbb {R} )}$

этого комплекса является когомологии де Рама из ${displaystyle X}$.^[4]:96 Более того,^[4]:179[5] любой двойной комплекс имеет спектральную последовательность E с

${displaystyle E_{infty }^{n-p,p}={ ext{the }}p{ ext{th graded part of }}H_{dR}^{n}(C^{ullet }(f^{-1}{mathcal {U}},Omega _{X}^{ullet }))}$

(так что их сумма равна ${displaystyle H_{dR}^{n}}$), и

${displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(f^{-1}{mathcal {U}},{mathcal {H}}^{q}),}$

куда ${displaystyle {mathcal {H}}^{q}}$ это предпучок на Икс отправка ${displaystyle Umapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}$. В этом контексте это называется спектральной последовательностью Лере.

Современное определение включает это, потому что более высокий функтор прямого изображения ${displaystyle R^{p}f_{*}(F)}$ это связка предпучка ${displaystyle Umapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}$.

Примеры

• Позволять ${displaystyle X,F}$ быть гладкие многообразия, и ${displaystyle X}$ быть односвязный, так ${displaystyle pi _{1}(X)=0}$. Вычисляем спектральную последовательность Лере проекции ${displaystyle fcolon X imes F o X}$. Если крышка ${displaystyle {mathcal {U}}={U_{i}}_{iin I}}$ хорошо (конечные пересечения ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$) тогда

${displaystyle {mathcal {H}}^{p}(f^{-1}U_{i})simeq H^{q}(F)}$

С ${displaystyle X}$ является односвязным, любой локально постоянный предварительный пучок постоянен, поэтому это постоянный предварительный пучок ${displaystyle H^{q}(F)={underline {mathbb {R} }}^{n_{q}}}$. Итак, вторая страница спектральной последовательности Лерэ

${displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(f^{-1}{mathcal {U}},H^{q}(F))=H^{p}(f^{-1}{mathcal {U}},mathbb {R} )otimes H^{q}(F)}$

Как обложка ${displaystyle {f^{-1}(U_{i})}_{iin I}}$ из ${displaystyle X imes F}$ тоже хорошо, ${displaystyle H^{p}(f^{-1}(U_{i});mathbb {R} )cong H^{p}(f;mathbb {R} )}$. Так

${displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(X)otimes H^{q}(F) Longrightarrow H^{p+q}(X imes F,mathbb {R} )}$

Вот первое место, где мы используем ${displaystyle f}$ является проекцией, а не просто расслоением: каждый элемент ${displaystyle E_{2}}$ является фактической замкнутой дифференциальной формой на всех ${displaystyle X imes F}$, поэтому применяя оба d и ${displaystyle delta }$ им дает ноль. Таким образом ${displaystyle E_{infty }=E_{2}}$. Это доказывает Теорема Кюннета за ${displaystyle X}$ односвязный:

${displaystyle H^{ullet }(X imes Y,mathbb {R} )simeq H^{ullet }(X)otimes H^{ullet }(Y)}$

• Если ${displaystyle fcolon X o Y}$ генерал пучок волокон с волокном ${displaystyle F}$, выше применяется, за исключением того, что ${displaystyle V^{p} o H^{p}(f^{-1}V,H^{q})}$ это только локально постоянный предпучок, а не постоянный.

• Все примерные вычисления с Спектральная последовательность Серра - последовательность Лере для постоянного пучка.

Теорема вырождения

В категории квазипроективных многообразий над ${displaystyle mathbb {C} }$, существует теорема о вырождении, доказанная Пьер Делинь и Бланшар для спектральной последовательности Лерэ, утверждающий, что гладкий проективный морфизм многообразий ${displaystyle fcolon X o Y}$ дает нам, что ${displaystyle E_{2}}$-страница спектральной последовательности для ${displaystyle {underline {mathbb {Q} }}_{X}}$ вырождается, следовательно

${displaystyle H^{k}(X;mathbb {Q} )cong igoplus _{p+q=k}H^{p}(Y;mathbf {R} ^{q}f_{*}({underline {mathbb {Q} }}_{X})).}$

Простые примеры можно вычислить, если Y просто связано; например, полное пересечение размеров ${displaystyle geq 2}$ (это из-за Гомоморфизм Гуревича и Теорема Лефшеца о гиперплоскости ). В этом случае локальные системы ${displaystyle mathbf {R} ^{q}f_{*}({underline {mathbb {Q} }}_{X})}$ будет иметь тривиальную монодромию, поэтому ${displaystyle mathbf {R} ^{q}f_{*}({underline {mathbb {Q} }}_{X})cong {underline {mathbb {Q} }}_{Y}^{oplus l_{q}}}$. Например, рассмотрим гладкую семью ${displaystyle fcolon X o Y}$ кривых рода 3 над гладкой K3 поверхность. Тогда у нас есть это

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {R} ^{0}f_{*}({underline {mathbb {Q} }}_{Y})&cong {underline {mathbb {Q} }}_{Y}mathbf {R} ^{1}f_{*}({underline {mathbb {Q} }}_{Y})&cong {underline {mathbb {Q} }}_{Y}^{oplus 6}mathbf {R} ^{2}f_{*}({underline {mathbb {Q} }}_{Y})&cong {underline {mathbb {Q} }}_{Y}end{aligned}}}$

давая нам ${displaystyle E_{2}}$-страница

${displaystyle E_{2}=E_{infty }={egin{bmatrix}H^{0}(Y;{underline {mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{2}(Y;{underline {mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{4}(Y;{underline {mathbb {Q} }}_{Y})H^{0}(Y;{underline {mathbb {Q} }}_{Y}^{oplus 6})&0&H^{2}(Y;{underline {mathbb {Q} }}_{Y}^{oplus 6})&0&H^{4}(Y;{underline {mathbb {Q} }}_{Y}^{oplus 6})H^{0}(Y;{underline {mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{2}(Y;{underline {mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{4}(Y;{underline {mathbb {Q} }}_{Y})end{bmatrix}}}$

Пример с монодромией

Другой важный пример гладкого проективного семейства - это семейство, связанное с эллиптическими кривыми

${displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-t)}$

над ${displaystyle mathbb {P} ^{1}setminus {0,1,infty }}$. Здесь монодромия вокруг 0 и 1 можно вычислить, используя Теория Пикара – Лефшеца, придавая монодромию всему ${displaystyle infty }$ путем составления локальных монодромий.

История и связь с другими спектральными последовательностями

Во время работы Лере ни одна из двух задействованных концепций (спектральная последовательность, когомология пучка) не достигла ничего подобного окончательному состоянию. Поэтому результат Лере редко цитируется в его первоначальном виде. После долгой работы на семинаре Анри Картан в частности, была получена современная постановка, но не общая спектральная последовательность Гротендика.

Ранее (1948/9) последствия для пучки волокон были извлечены в форме, формально идентичной форме Спектральная последовательность Серра, в котором не используются связки. Однако это лечение применялось к Когомологии Александера – Спаниера с компактные опоры применительно к правильные карты локально компактных хаусдорфовых пространств, поскольку для вывода спектральной последовательности требуется прекрасная связка настоящих дифференциальные градуированные алгебры на общей площади, которая была получена оттягиванием комплекс де Рама вдоль вложения в сферу. Жан-Пьер Серр, которым нужна была спектральная последовательность в гомология это относилось к расслоения пространства путей, чьи тотальные пространства почти никогда не бывают локально компактными, поэтому не смог использовать исходную спектральную последовательность Лерэ и таким образом вывели связанную спектральную последовательность, когомологический вариант которой согласуется, для компактного расслоения на пространстве с хорошим поведением с последовательностью выше.

В формулировке достигается Александр Гротендик примерно к 1957 г. спектральная последовательность Лере представляет собой Спектральная последовательность Гротендика для композиции из двух производные функторы.

Смотрите также

• Спектральная последовательность Серра - больше примеров
• Спектральная последовательность Гротендика - для абстрактной теории, включающей конструкцию спектральной последовательности Лерэ
• Смешанный модуль Ходжа

Рекомендации

1. Лере, Жан (1946). "L'anneau d'homologie d'une représentation". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 222: 1366–1368.
2. Миллер, Хейнс (2000). "Лере в Офлаге XVIIA: истоки теории пучков, когомологий пучков и спектральных последовательностей, Жан Лере (1906–1998)" (PDF). Газ. Математика. 84: 17–34.
3. Димка, Александру (2004). Пучки в топологии. Берлин, Гейдельберг: Springer. Дои:10.1007/978-3-642-18868-8. ISBN  978-3-642-18868-8. OCLC  851731478.
4. Ботт, Рауль; Ту, Лоринг В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. Тексты для выпускников по математике. 82. Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN  978-0-387-90613-3. OCLC  7597142.
5. Гриффитс, Филипп; Харрис, Джо (1978). Принципы алгебраической геометрии. Нью-Йорк: Wiley. п. 443. ISBN  0-471-32792-1. OCLC  3843444.

внешняя ссылка

• Спектральная последовательность Лере Статья в Энциклопедия математики
• Спектральная последовательность Лере для окольцованных пространств Статья в Проект Stacks