Дзета-функция Лерха - Lerch zeta function

В математика, то Лерх дзета-функция, иногда называемый Дзета-функция Гурвица – Лерха, это специальная функция это обобщает Дзета-функция Гурвица и полилогарифм. Он назван в честь чешского математика. Матиас Лерх [1].

Определение

Дзета-функция Лерха определяется выражением

${\displaystyle L(\lambda ,\alpha ,s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {e^{2\pi i\lambda n}}{(n+\alpha )^{s}}}.}$

Связанная функция, Лерх трансцендентный, дан кем-то

${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}.}$

Эти два связаны, так как

${\displaystyle \,\Phi (e^{2\pi i\lambda },s,\alpha )=L(\lambda ,\alpha ,s).}$

Интегральные представления

Интегральное представление дается

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}$

за

${\displaystyle \Re (a)>0\wedge \Re (s)>0\wedge z<1\vee \Re (a)>0\wedge \Re (s)>1\wedge z=1.}$

А контурный интеграл представление дается

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{0}^{(+\infty )}{\frac {(-t)^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}$

за

${\displaystyle \Re (a)>0\wedge \Re (s)<0\wedge z<1}$

где контур не должен охватывать ни одну из точек ${\displaystyle t=\log(z)+2k\pi i,k\in Z.}$

Интегральное представление типа Эрмита дается формулой

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{t}}{(a+t)^{s}}}\,dt+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}$

за

${\displaystyle \Re (a)>0\wedge |z|<1}$

и

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {\log ^{s-1}(1/z)}{z^{a}}}\Gamma (1-s,a\log(1/z))+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}$

за

${\displaystyle \Re (a)>0.}$

Подобные представления включают

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}\tanh \pi t}}\,dt,}$

и

${\displaystyle \Phi (-z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}\sinh \pi t}}\,dt,}$

держится за положительный z (и вообще везде, где сходятся интегралы). Более того,

${\displaystyle \Phi (e^{i\varphi },s,a)=L{\big (}{\tfrac {\varphi }{2\pi }},a,s{\big )}={\frac {1}{a^{s}}}+{\frac {1}{2\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}{\big (}e^{i\varphi }-e^{-t}{\big )}}{\cosh {t}-\cos {\varphi }}}\,dt,}$

Последняя формула также известна как Формула Липшица.

Особые случаи

В Дзета-функция Гурвица является частным случаем, задаваемым

${\displaystyle \,\zeta (s,\alpha )=L(0,\alpha ,s)=\Phi (1,s,\alpha ).}$

В полилогарифм является частным случаем Lerch Zeta, заданным

${\displaystyle \,{\textrm {Li}}_{s}(z)=z\Phi (z,s,1).}$

В Функция ци Лежандра является частным случаем, задаваемым

${\displaystyle \,\chi _{n}(z)=2^{-n}z\Phi (z^{2},n,1/2).}$

В Дзета-функция Римана дан кем-то

${\displaystyle \,\zeta (s)=\Phi (1,s,1).}$

В Эта функция Дирихле дан кем-то

${\displaystyle \,\eta (s)=\Phi (-1,s,1).}$

Идентичности

Для рационального λ слагаемое есть корень единства, и поэтому ${\displaystyle L(\lambda ,\alpha ,s)}$ может быть выражена как конечная сумма по дзета-функции Гурвица. Предполагать ${\displaystyle \lambda ={\frac {p}{q}}}$ с ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle q>0}$. потом ${\displaystyle z=\omega =e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}}$ и ${\displaystyle \omega ^{q}=1}$.

${\displaystyle \Phi (\omega ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{qn+m}}{(qn+m+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\omega ^{m}q^{-s}\zeta (s,{\frac {m+\alpha }{q}})}$

Различные личности включают:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{n}\Phi (z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {z^{k}}{(k+a)^{s}}}}$

и

${\displaystyle \Phi (z,s-1,a)=\left(a+z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\Phi (z,s,a)}$

и

${\displaystyle \Phi (z,s+1,a)=-\,{\frac {1}{s}}{\frac {\partial }{\partial a}}\Phi (z,s,a).}$

Представления серий

Серийное представление трансцендента Лерха дается формулой

${\displaystyle \Phi (z,s,q)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {-z}{1-z}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(q+k)^{-s}.}$

(Обратите внимание, что ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ это биномиальный коэффициент.)

Серия действительна для всех s, а для сложных z с Re (z) <1/2. Обратите внимание на общее сходство с аналогичным представлением ряда для дзета-функции Гурвица.^[1]

А Серия Тейлор в первом параметре был задан Эрдели. Его можно записать в виде следующей серии, которая действительна для

${\displaystyle |\log(z)|<2\pi ;s\neq 1,2,3,\dots ;a\neq 0,-1,-2,\dots }$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\left[\Gamma (1-s)\left(-\log(z)\right)^{s-1}+\sum _{k=0}^{\infty }\zeta (s-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}\right]}$

Б. Р. Джонсон (1974). «Обобщенная дзета-функция Лерха». Pacific J. Math. 53 (1): 189–193. Дои:10.2140 / pjm.1974.53.189.

Если n - натуральное число, то

${\displaystyle \Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}+\left[\psi (n)-\psi (a)-\log(-\log(z))\right]{\frac {\log ^{n-1}(z)}{(n-1)!}}\right\},}$

куда ${\displaystyle \psi (n)}$ это функция дигаммы.

А Серия Тейлор в третьей переменной определяется выражением

${\displaystyle \Phi (z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\infty }\Phi (z,s+k,a)(s)_{k}{\frac {(-x)^{k}}{k!}};|x|<\Re (a),}$

куда ${\displaystyle (s)_{k}}$ это Символ Поххаммера.

Серия на а = -п дан кем-то

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{(a+k)^{s}}}+z^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {(a+n)^{m}}{m!}};\ a\rightarrow -n}$

Особый случай для п = 0 имеет следующий ряд

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {a^{m}}{m!}};|a|<1,}$

куда ${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$ это полилогарифм.

An асимптотический ряд за ${\displaystyle s\rightarrow -\infty }$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[2k\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{2k\pi ai}}$

за ${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0;z\notin (-\infty ,0)}$и

${\displaystyle \Phi (-z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[(2k+1)\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{(2k+1)\pi ai}}$

за ${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0;z\notin (0,\infty ).}$

Асимптотический ряд в неполная гамма-функция

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {1}{z^{a}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi i(k-1)a}\Gamma (1-s,a(-2\pi i(k-1)-\log(z)))}{(-2\pi i(k-1)-\log(z))^{1-s}}}+{\frac {e^{2\pi ika}\Gamma (1-s,a(2\pi ik-\log(z)))}{(2\pi ik-\log(z))^{1-s}}}}$

за ${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0.}$

Асимптотическое разложение

Функция полилогарифма ${\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)}$ определяется как

${\displaystyle \mathrm {Li} _{0}(z)={\frac {z}{1-z}},\qquad \mathrm {Li} _{-n}(z)=z{\frac {d}{dz}}\mathrm {Li} _{1-n}(z).}$

Позволять

${\displaystyle \Omega _{a}\equiv {\begin{cases}\mathbb {C} \setminus [1,\infty )&{\text{if }}\Re a>0,\\{z\in \mathbb {C} ,|z|<1}&{\text{if }}\Re a\leq 0.\end{cases}}}$

За ${\displaystyle |\mathrm {Arg} (a)|<\pi ,s\in \mathbb {C} }$ и ${\displaystyle z\in \Omega _{a}}$, асимптотическое разложение${\displaystyle \Phi (z,s,a)}$ для больших ${\displaystyle a}$ и исправлено ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle z}$ дан кем-то

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{1-z}}{\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {(-1)^{n}\mathrm {Li} _{-n}(z)}{n!}}{\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O(a^{-N-s})}$

за ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$, куда ${\displaystyle (s)_{n}=s(s+1)\cdots (s+n-1)}$ это Символ Поххаммера.^[2]

Позволять

${\displaystyle f(z,x,a)\equiv {\frac {1-(ze^{-x})^{1-a}}{1-ze^{-x}}}.}$

Позволять ${\displaystyle C_{n}(z,a)}$- его коэффициенты Тейлора при ${\displaystyle x=0}$. Тогда для фиксированного ${\displaystyle N\in \mathbb {N} ,\Re a>1}$ и${\displaystyle \Re s>0}$,

${\displaystyle \Phi (z,s,a)-{\frac {\mathrm {Li} _{s}(z)}{z^{a}}}=\sum _{n=0}^{N-1}C_{n}(z,a){\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O\left((\Re a)^{1-N-s}+az^{-\Re a}\right),}$

в качестве ${\displaystyle \Re a\to \infty }$.^[3]

Программного обеспечения

Трансцендентный Lerch реализован как LerchPhi в Клен и Mathematica, и как lerchphi в mpmath и SymPy.

Рекомендации

1. «Аналитическое продолжение трансцендента Лерха и дзета-функции Римана». Получено 28 апреля 2020.
2. Феррейра, Чело; Лопес, Хосе Л. (октябрь 2004 г.). «Асимптотические разложения дзета-функции Гурвица – Лерха». Журнал математического анализа и приложений. 298 (1): 210–224. Дои:10.1016 / j.jmaa.2004.05.040.
3. Цай, Син Ши; Лопес, Хосе Л. (10 июня 2019 г.). «Замечание об асимптотическом разложении трансцендента Лерха». Интегральные преобразования и специальные функции. 30 (10): 844–855. arXiv:1806.01122. Дои:10.1080/10652469.2019.1627530. S2CID  119619877.

• Апостол, Т. М. (2010), "Превосходство Лерха", в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248.
• Бейтман, Х.; Эрдейи, А. (1953), Высшие трансцендентные функции, Vol. я (PDF), Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. (См. § 1.11, «Функция Ψ (z,s,v) ", стр. 27)
• Градштейн Израиль Соломонович; Рыжик Иосиф Моисеевич; Геронимус Юрий Вениаминович; Цейтлин Михаил Юльевич; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. «9.55.». В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов. Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Академическая пресса. ISBN  978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
• Гильера, Иисус; Сондов, Джонатан (2008), "Двойные интегралы и бесконечные произведения для некоторых классических констант через аналитические продолжения трансцендента Лерха", Рамануджанский журнал, 16 (3): 247–270, arXiv:math.NT / 0506319, Дои:10.1007 / s11139-007-9102-0, МИСТЕР  2429900, S2CID  119131640. (Включает в себя различные основные личности во введении.)
• Джексон, М. (1950), "О трансцендентных и основных двусторонних гипергеометрических рядах Лерха". ₂ψ₂", J. London Math. Soc., 25 (3): 189–196, Дои:10.1112 / jlms / s1-25.3.189, МИСТЕР  0036882.
• Johansson, F .; Благушин, Я. (2019), «Вычисление констант Стилтьеса с использованием комплексной интеграции», Математика вычислений, 88 (318): 1829–1850, arXiv:1804.01679, Дои:10.1090 / mcom / 3401, МИСТЕР  3925487, S2CID  4619883.
• Лауринчикас, Антанас; Гарунштис, Рамунас (2002), Дзета-функция Лерха, Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-4020-1014-9, МИСТЕР  1979048.
• Лерх, Матиас (1887), "Note sur la fonction ${\displaystyle \scriptstyle {\mathfrak {K}}(w,x,s)=\sum _{k=0}^{\infty }{e^{2k\pi ix} \over (w+k)^{s}}}$", Acta Mathematica (На французском), 11 (1–4): 19–24, Дои:10.1007 / BF02612318, JFM  19.0438.01, МИСТЕР  1554747, S2CID  121885446.

внешняя ссылка

• Аксенов, Сергей В .; Jentschura, Ульрих Д. (2002), Программы C и Mathematica для вычисления трансцендента Лерха.
• Рамунас Гарункстис, Домашняя страница (2005) (Содержит многочисленные ссылки и препринты.)
• Рамунас Гарункстис, Аппроксимация дзета-функции Лерха (PDF)
• С. Канемицу, Ю. Танигава и Х. Цукада, Обобщение формулы Бохнера^{[постоянная мертвая ссылка ]}, (без даты, 2005 г. или ранее)
• Вайсштейн, Эрик В. "Лерх Трансцендент". MathWorld.
• "§25.14, Трансцендент Лерха". Цифровая библиотека математических функций NIST. Национальный институт стандартов и технологий. 2010 г.. Получено 28 января 2012.