Границы Либа-Робинсона - Lieb-Robinson bounds - Wikipedia

В Граница Либа-Робинсона теоретический верхний предел скорость на котором Информация может распространяться в не-релятивистский квант системы. Он демонстрирует, что в квантовой теории информация не может перемещаться мгновенно, даже если относительность пределы скорость света игнорируются. Существование такой конечной скорости было математически обнаружено Эллиотт Либ и Дерек Уильям Робинсон в 1972 г.^[1] Это превращает свойства локальности физических систем в существование и верхнюю границу этой скорости. Граница теперь известна как граница Либа-Робинсона, а скорость известна как скорость Либа-Робинсона. Эта скорость всегда конечна, но не универсальна, в зависимости от деталей рассматриваемой системы. Для конечного диапазона, например ближайший сосед, взаимодействия, эта скорость не зависит от пройденного расстояния. В системах с дальним взаимодействием эта скорость остается конечной, но может увеличиваться с увеличением пройденного расстояния.^[2][3]

При изучении квантовых систем, таких как квантовая оптика, квантовая теория информации, атомная физика, и физика конденсированного состояния, важно знать, что существует конечный скорость, с которой может распространяться информация. Теория относительности показывает, что никакая информация или что-либо еще в этом отношении не может перемещаться быстрее скорости света. Однако при рассмотрении нерелятивистской механики (Уравнения Ньютона движения или Уравнение Шредингера квантовой механики) считалось, что тогда нет ограничений на скорость распространения информации. Это не так для определенных видов квантовых систем атомов, расположенных в решетке, часто называемых квантовыми спиновыми системами. Это важно как с концептуальной, так и с практической точки зрения, поскольку означает, что в течение коротких периодов времени удаленные части системы действуют независимо.

Одним из практических приложений оценок Либа-Робинсона является квантовые вычисления. Текущие предложения по созданию квантовых компьютеров, построенных из блоков, подобных атомам, в основном полагаются на существование этой конечной скорости распространения для защиты от слишком быстрого распространения информации.^[4][3]

Обзорные статьи можно найти в следующих ссылках, например,^[5][6][7]

Строгое и современное введение можно найти в.^[8]

Настраивать

Чтобы определить границу, необходимо сначала описать основные факты о квантово-механических системах, состоящих из нескольких единиц, каждая из которых имеет конечномерную Гильбертово пространство.

Границы Либа-Робинсона рассматриваются на ${\displaystyle \nu }$-мерная решетка (${\displaystyle \nu =1,2}$ или же ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle \Gamma }$, например квадратная решетка${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} ^{\nu }}$.

А Гильбертово пространство государств ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$ связан с каждой точкой ${\displaystyle x\in \Gamma }$. Размерность этого пространства конечна, но в 2008 году она была обобщена и теперь включает бесконечные измерения (см. Ниже). Это называется квантовая спиновая система.

Для каждого конечного подмножества решетки ${\displaystyle X\subset \Gamma }$, ассоциированное гильбертово пространство задается тензорным произведением

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{X}=\bigotimes _{x\in X}{\mathcal {H}}_{x}}$.

An наблюдаемый ${\displaystyle A}$ поддерживается (т.е. зависит только от) конечного множества ${\displaystyle X\subset \Gamma }$ это линейный оператор на гильбертовом пространстве ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{X}}$.

Когда ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$ конечномерно, выберите конечную основа операторов, которые охватывают множество линейных операторов на ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$. Тогда любая наблюдаемая на ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$ можно записать в виде суммы базисных операторов на ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$.

В Гамильтониан системы описывается взаимодействием ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$. В взаимодействие - функция из конечных множеств ${\displaystyle X\subset \Gamma }$ к самосопряженный наблюдаемые ${\displaystyle \Phi (X)}$ поддерживается в ${\displaystyle X}$. Предполагается, что взаимодействие имеет конечный диапазон (это означает, что ${\displaystyle \Phi (X)=0}$ если размер ${\displaystyle X}$ превышает определенный установленный размер) и инвариант перевода. Позднее эти требования были отменены.^[2][9]

Хотя обычно предполагается трансляционная инвариантность, в этом нет необходимости. Достаточно предположить, что взаимодействие ограничено сверху и снизу в своей области. Таким образом, оценка достаточно надежна в том смысле, что она терпима к изменениям гамильтониана. Конечный диапазон является необходимо, однако. Взаимодействие называется конечным, если существует конечное число ${\displaystyle R}$ так что для любого набора ${\displaystyle X}$ с диаметром больше чем ${\displaystyle R}$ взаимодействие равно нулю, т.е. ${\displaystyle \Phi (X)=0}$. И снова это требование было снято позже.^[2][9]

Гамильтониан системы со взаимодействием ${\displaystyle \Phi }$ формально определяется:

${\displaystyle H_{\Phi }=\sum _{X\subset \Gamma }\Phi (X)}$.

Законы квантовой механики гласят, что каждой физически наблюдаемой величине соответствует самосопряженный оператор ${\displaystyle A}$.Для каждого наблюдаемого ${\displaystyle A}$ с конечным носителем гамильтониан определяет непрерывную однопараметрическую группу ${\displaystyle \tau _{t}}$преобразований наблюдаемых ${\displaystyle \tau _{t}}$данный

${\displaystyle A(t)=e^{itH_{\Phi }}Ae^{-itH_{\Phi }}.}$

Здесь, ${\displaystyle t}$ имеет физический смысл времени (технически говоря, эта временная эволюция определяется разложением в степенной ряд, который известен как сходящийся по норме ряд. ${\displaystyle A(t)=A+it[H,A]+{\frac {(it)^{2}}{2!}}[H,[H,A]]+\cdots }$, видеть,^[10] Теорема 7.6.2, которая является адаптацией из.^[11] Более подробные сведения можно найти в.^[1])

Рассматриваемая оценка была доказана в^[1] и следующий: Для любых наблюдаемых ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ с конечными опорами ${\displaystyle X\subset \Gamma }$ и ${\displaystyle Y\subset \Gamma }$соответственно и на любое время ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ для некоторых положительных констант верно следующее ${\displaystyle a,c}$ и ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle \|\,[A(t),B]\,\|\leq c\,\exp\{-a(d(X,Y)-v|t|)\},}$

(1)

куда ${\displaystyle d(X,Y)}$ обозначает расстояние между множествами ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$. Оператор ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$ называется коммутатором операторов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, а символ ${\displaystyle \|O\|}$ обозначает норма, или размер, оператора ${\displaystyle O}$. Очень важно отметить, что привязка не имеет ничего общего с государственный квантовой системы, но зависит только от гамильтонова, управляющего динамикой. Как только эта граница оператора установлена, она обязательно переносится на любое состояние системы.

Положительная константа ${\displaystyle c}$ зависит от норм наблюдаемых ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, размеры опор ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$, взаимодействие, структура решетки и размерность гильбертова пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$. Положительная константа ${\displaystyle v}$ зависит только от взаимодействия и структуры решетки. Номер ${\displaystyle a>0}$можно выбрать по желанию ${\displaystyle d(X,Y)/v|t|}$ выбирается достаточно большим. Другими словами, чем дальше идет световой конус, ${\displaystyle d(X,Y)-v|t|}$, тем резче скорость экспоненциального затухания (в более поздних работах авторы стремились учитывать ${\displaystyle a}$ как фиксированная константа.) Постоянная ${\displaystyle v}$ называется групповая скорость или же Скорость Либа-Робинсона.

Граница (1) представлено несколько иначе, чем уравнение в исходной статье, которое выводило зависящий от скорости скорость распада в пространстве-времени лучи со скоростью больше чем ${\displaystyle v_{LR}}$.^[1] Эта более явная форма (1) видно из доказательства оценки^[1]

Граница Либа-Робинсона показывает, что временами ${\displaystyle |t|<d(X,Y)/v}$ норма в правой части экспоненциально мала. Это экспоненциально малая ошибка, о которой говорилось выше.

Причина для рассмотрения коммутатора в левой части оценок Либа – Робинсона следующая:

Коммутатор между наблюдаемыми ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ равен нулю, если их носители не пересекаются.

Верно и обратное: если наблюдаемый ${\displaystyle A}$ таков, что его коммутатор с любыми наблюдаемыми ${\displaystyle B}$ поддерживается за пределами некоторого набора ${\displaystyle X}$ равно нулю, то ${\displaystyle A}$ имеет опору внутри набора ${\displaystyle X}$.

Это утверждение также приблизительно верно в следующем смысле:^[12] предположим, что существует какой-то ${\displaystyle \epsilon >0}$ такой, что ${\displaystyle \|[A,B]\|\leq \epsilon \|B\|}$ для некоторых наблюдаемых ${\displaystyle A}$ и любые наблюдаемые ${\displaystyle B}$ который поддерживается вне набора ${\displaystyle X}$. Тогда существует наблюдаемая ${\displaystyle A(\epsilon )}$ с поддержкой внутри набора ${\displaystyle X}$ что приближается к наблюдаемому ${\displaystyle A}$, т.е. ${\displaystyle \|A-A(\epsilon )\|\leq \epsilon }$.

Таким образом, границы Либа-Робинсона говорят, что временная эволюция наблюдаемой ${\displaystyle A}$ с подставкой в ​​комплекте ${\displaystyle X}$ поддерживается (с точностью до экспоненциально малых ошибок) в ${\displaystyle \delta }$-окрестности множества ${\displaystyle X}$, куда ${\displaystyle \delta <v|t|}$ с ${\displaystyle v}$ скорость Либа-Робинсона. Вне этого набора нет влияния ${\displaystyle A}$. Другими словами, эти оценки утверждают, что скорость распространения возмущений в квантовых спиновых системах ограничена.

Уточнения оценок Либа-Робинсона

В^[13] Робинсон обобщил оценку (1) путем рассмотрения экспоненциально затухающих взаимодействий (которые не обязательно должны быть трансляционно-инвариантными), т. е. для которых сила взаимодействия экспоненциально спадает с увеличением диаметра множества. Этот результат подробно обсуждается в^[14] Глава 6. Не было большого интереса к оценкам Либа-Робинсона до 2004 г., когда Гастингс^[15] применил их к Либ-Шульц-Маттис Теорема, впоследствии Нахтергаэле и Симс^[16] расширил результаты^[13] включить модели на вершинах с метрикой и получить экспоненциальное затухание корреляций. В 2005–2006 гг. Интерес к оценкам Либа – Робинсона усилился за счет дополнительных приложений к экспоненциальному убыванию корреляций (см.^[2][9][17] и разделы ниже). Были разработаны новые доказательства оценок и, в частности, постоянной в (1) был улучшен, сделав его независимым от размерности гильбертова пространства.

Несколько дополнительных улучшений константы ${\displaystyle c}$ в (1) был сделан.^[18]В 2008 г. оценка Либа-Робинсона была расширена на случай, когда каждый ${\displaystyle H_{x}}$ бесконечномерно.^[19]В^[19] было показано, что неограниченные возмущения на узле не меняют границу Либа-Робинсона. То есть гамильтонианы следующего вида можно рассматривать на конечном подмножестве ${\displaystyle \Lambda \subset \Gamma }$:

${\displaystyle H_{\Lambda }=\sum _{x\in \Lambda }H_{x}+\sum _{X\subset \Lambda }\Phi (X),}$

куда ${\displaystyle H_{x}}$ является самосопряженным оператором над ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$, который не нужно ограничивать.

Гармонические и ангармонические гамильтонианы

Границы Либа-Робинсона были распространены на некоторые непрерывные квантовые системы, то есть на общий гармонический гамильтониан,^[19] который в конечном объеме ${\displaystyle \Gamma _{L}=(-L,L)^{d}\cap \mathbb {Z} ^{d},}$, куда ${\displaystyle L,d}$ положительные целые числа, принимает вид:

${\displaystyle \sum _{x\in \Gamma _{L}}p_{x}^{2}+\omega ^{2}q_{x}^{2}+\sum _{x\in \Gamma _{L}}\sum _{j=1}^{\nu }\lambda _{j}(q_{x}-q_{x+e_{j}})^{2},}$

где накладываются периодические граничные условия и ${\displaystyle \lambda _{j}\geq 0}$, ${\displaystyle \omega >0}$. Здесь ${\displaystyle \{e_{j}\}}$ являются каноническими базисными векторами в ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$.

Рассмотрены ангармонические гамильтонианы с локальными и многоузловыми возмущениями и для них получены оценки Либа – Робинсона:^[19][20]Обсуждались дальнейшие обобщения гармонической решетки.^[21][22]

Необратимая динамика

Другое обобщение оценок Либа – Робинсона было сделано для необратимой динамики, и в этом случае динамика имеет гамильтонову часть, а также диссипативную часть. Диссипативная часть описывается терминами формы Линдблада, так что динамика ${\displaystyle \tau _{t}}$ удовлетворяет Линдблад-Косаковски главное уравнение.

Оценки Либа-Робинсона для необратимой динамики рассмотрены^[17] в классическом контексте и^[23] для класса квантовых решетчатых систем с конечнодействующими взаимодействиями. Границы Либа-Робинсона для решетчатых моделей с динамикой, порождаемой как гамильтоновым, так и диссипативным взаимодействиями с достаточно быстрым распадом в пространстве, и которая может зависеть от времени, были доказаны следующим образом:^[24] где они также доказали существование бесконечной динамики как сильно непрерывного коцикла единицы, сохраняющего вполне положительные отображения.

Степенные взаимодействия

Границы Либа-Робинсона также были обобщены на взаимодействия, которые затухают по степенному закону, т.е. сила взаимодействия ограничена сверху величиной ${\displaystyle 1/r^{\alpha },}$ куда ${\displaystyle r}$ - диаметр набора и ${\displaystyle \alpha }$ положительная константа.^{[2][25][26][3]} Понимание того, сохраняется ли локальность для степенных взаимодействий, имеет серьезные последствия для таких систем, как захваченные ионы, ридберговские атомы, ультрахолодные атомы и молекулы.

В отличие от взаимодействующих систем с конечным радиусом действия, где информация может перемещаться только с постоянной скоростью, степенные взаимодействия позволяют информации перемещаться со скоростью, которая увеличивается с увеличением расстояния.^[27] Таким образом, границы Либа-Робинсона для степенных взаимодействий обычно дают сублинейный световой конус, который является асимптотически линейным в пределе ${\displaystyle \alpha \rightarrow \infty .}$ Недавний анализ^{[когда? ]} с использованием алгоритма квантового моделирования подразумевается световой конус ${\displaystyle t\gtrsim r^{(\alpha -2D)(\alpha -D)}}$, куда ${\displaystyle D}$ размерность системы.^[3] Затягивание светового конуса для степенных взаимодействий все еще является активной областью исследований.

Некоторые приложения

Границы Либа – Робинсона используются во многих областях математической физики. Среди основных приложений оценки - границы погрешности алгоритмов квантового моделирования, существование термодинамического предела, экспоненциальное затухание корреляций и теорема Либа – Шульца – Маттиса.

Алгоритмы цифрового квантового моделирования

Целью цифрового квантового моделирования является моделирование динамики квантовой системы с использованием наименьшего количества элементарных квантовых вентилей. Для системы взаимодействия ближайшего соседа с ${\displaystyle n}$ частицы, моделируя его динамику во времени ${\displaystyle t}$ с использованием Формула произведения Ли требует ${\displaystyle O(n^{2}t^{2})}$ квантовые ворота. В 2018 году Хаах и др.^[4] предложил почти оптимальный квантовый алгоритм, который использует только ${\displaystyle O(nt\log(nt))}$ квантовые ворота. Идея состоит в том, чтобы аппроксимировать динамику системы динамикой ее подсистем, некоторые из которых пространственно разделены. Погрешность аппроксимации ограничена исходной границей Либа-Робинсона. Позже алгоритм обобщается на степенные взаимодействия и впоследствии используется для получения более сильной границы Либа-Робинсона.^[3]

Термодинамический предел динамики

Одним из важных свойств любой модели, предназначенной для описания свойств объемного вещества, является наличие термодинамического предела. Это говорит о том, что внутренние свойства системы должны быть по существу независимыми от размера системы, который в любой экспериментальной установке конечен.

Статический термодинамический предел с точки зрения равновесия был установлен задолго до доказательства границы Либа – Робинсона, см.^[10] Например. В некоторых случаях можно использовать границу Либа – Робинсона, чтобы установить существование термодинамического предела динамика, ${\displaystyle \tau _{t}^{\Gamma }}$, для бесконечной решетки ${\displaystyle \Gamma }$ как предел конечной динамики решетки. Предел обычно рассматривается по возрастающей последовательности конечных подмножеств ${\displaystyle \Lambda _{n}\subset \Gamma }$, т.е. такие, что при ${\displaystyle n<m}$, есть включение ${\displaystyle \Lambda _{n}\subset \Lambda _{m}}$. Чтобы доказать существование бесконечной динамики ${\displaystyle \tau _{t}^{\Gamma }}$ как сильно непрерывная однопараметрическая группа автоморфизмов доказано, что ${\displaystyle \{\tau _{t}^{\Lambda _{n}}\}_{n}}$ является последовательностью Коши и, следовательно, сходится. Из элементарных соображений следует существование термодинамического предела. Более подробное обсуждение термодинамического предела можно найти в^[28] раздел 6.2.

Робинсон был первым, кто показал существование термодинамического предела для экспоненциально затухающих взаимодействий.^[13] Позже Nachtergaele et al.^[9][20][24] показал существование динамики бесконечного объема почти для каждого типа взаимодействия, описанного в разделе «Улучшение границ Либа – Робинсона» выше.

Экспоненциальный спад корреляций

Позволять ${\displaystyle \langle A\rangle _{\Omega }}$ обозначить ожидаемое значение наблюдаемых ${\displaystyle A}$ в состоянии ${\displaystyle \Omega }$. Корреляционная функция между двумя наблюдаемыми ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ определяется как ${\displaystyle \langle AB\rangle _{\Omega }-\langle A\rangle _{\Omega }\langle B\rangle _{\Omega }.}$

Границы Либа – Робинсона используются, чтобы показать, что корреляции экспоненциально затухают с расстоянием для системы с запрещенная зона над невырожденным основным состоянием ${\displaystyle \Omega }$, видеть.^[2][16] Другими словами, неравенство

${\displaystyle |\langle AB\rangle _{\Omega }-\langle A\rangle _{\Omega }\langle B\rangle _{\Omega }|\leq K\|A\|\|B\|\min(|X|,|Y|)\ e^{-a\,d(X,Y)},}$

справедливо для наблюдаемых ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ с поддержкой в ​​наборах ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ соответственно. Здесь ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a}$ некоторые константы.

В качестве альтернативы государство ${\displaystyle \Omega }$ можно рассматривать как состояние продукта, и в этом случае корреляции затухают экспоненциально, не предполагая наличие энергетической щели над основным состоянием.^[9]

Такой распад был давно известен для релятивистской динамики, но только догадывался для ньютоновской динамики. Границы Либа – Робинсона заменяют релятивистскую симметрию локальными оценками гамильтониана.

Теорема Либа-Шульца-Маттиса

Либ-Шульц-Маттис Из теоремы следует, что основное состояние антиферромагнетика Гейзенберга на двудольной решетке с изоморфными подрешетками невырождено, т.е. единственно, но щель может быть очень малой.^[29]

Для одномерных и квазиодномерных систем четной длины с полуцелым спином Аффлека и Либа^[30] обобщая исходный результат Либа, Шульца и Маттиса,^[31] доказал, что разрыв ${\displaystyle \gamma _{L}}$ в спектре над основным состоянием ограничена сверху величиной

${\displaystyle \gamma _{L}\leq c/L,}$

куда ${\displaystyle L}$ - размер решетки и ${\displaystyle c}$ является константой. Было сделано много попыток распространить этот результат на высшие измерения, ${\displaystyle d>1}$,

Граница Либа – Робинсона была использована Гастингсом.^[15] и Nachtergaele-Sims^[32] при доказательстве теоремы Либа – Шульца – Маттиса для многомерных случаев. Была получена следующая оценка на разрыв:

${\displaystyle \gamma _{L}\leq c\log(L)/L.}$.

Дискретизация континуума с помощью квадратурных правил Гаусса

В 2015 году было показано, что граница Либа-Робинсона также может иметь приложения вне контекста локальных гамильтонианов, как мы сейчас объясняем. В Модель спинового бозона описывает динамику спина, связанного с континуумом осцилляторов. Он был очень подробно изучен и объясняет квантовые диссипативные эффекты в широком диапазоне квантовых систем. Позволять ${\displaystyle H}$ обозначают гамильтониан модели спин-бозона с континуальным бозонным термостатом, а ${\displaystyle H_{L}}$ обозначают модель спинового бозона, чья ванна была дискретизирована, чтобы включить ${\displaystyle L\in \mathbb {N} ^{+}}$ гармонические генераторы с частотами, выбранными в соответствии с Квадратурные правила Гаусса. Для всех наблюдаемых ${\displaystyle A}$ на спин-гамильтониане ошибка математического ожидания ${\displaystyle A}$ индуцированная дискретизацией модели спинового бозона в соответствии с указанной выше схемой дискретизации, ограничена^[33]

${\displaystyle |{\text{tr}}[e^{itH}Ae^{-itH}]-{\text{tr}}[e^{itH_{L}}Ae^{-itH_{L}}]|\leq c\,e^{-a(L-v|t|)},}$

()

куда ${\displaystyle c,a}$ положительные константы и ${\displaystyle v}$ - скорость Либа-Робинсона, которая в этом случае прямо пропорциональна ${\displaystyle \omega _{max}}$, максимальная частота ванны в модели спин-бозона. Здесь количество дискретных мод ${\displaystyle L}$ играть роль расстояния ${\displaystyle d(X,Y)}$ упомянутые ниже уравнения. (1). Можно также ограничить ошибку, вызванную локальным усечением в пространстве Фока гармонических осцилляторов^[34]

Эксперименты

Первое экспериментальное наблюдение скорости Либа – Робинсона было сделано Cheneau et al.^[35]

Рекомендации

1. Lieb, Elliott H .; Робинсон, Дерек В. (1972). «Конечная групповая скорость квантовых спиновых систем». Коммуникации по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 28 (3): 251–257. Bibcode:1972CMaPh..28..251L. Дои:10.1007 / bf01645779. ISSN  0010-3616. МИСТЕР  0312860. S2CID  122298337.
2. Гастингс, Мэтью Б .; Кома, Тору (22 апреля 2006 г.). «Спектральный провал и экспоненциальное затухание корреляций». Коммуникации по математической физике. 265 (3): 781–804. arXiv:math-ph / 0507008. Bibcode:2006CMaPh.265..781H. CiteSeerX  10.1.1.339.9339. Дои:10.1007 / s00220-006-0030-4. ISSN  0010-3616. S2CID  7941730.
3. Тран, Мин С .; Guo, Andrew Y .; Су, юань; Гаррисон, Джеймс Р .; Элдридж, Захари; Фосс-Фейг, Майкл; Чайлдс, Эндрю М .; Горшков, Алексей В. (2019). «Локальность и цифровое квантовое моделирование степенных взаимодействий». Физический обзор X. 9 (3): 031006. arXiv:1808.05225. Bibcode:2019PhRvX ... 9c1006T. Дои:10.1103 / PhysRevX.9.031006. ЧВК  7047884. PMID  32117576.
4. Хаах, Чонван; Гастингс, Мэтью Б .; Котари, Робин; Низкий, Гуан Хао (2018-01-11). «Квантовый алгоритм для моделирования эволюции гамильтонианов решетки в реальном времени». arXiv:1801.03922 [Quant-ph ].
5. Б. Нахтергаэле, Р. Симс, Много шума из-за чего-то: почему оценки Либа-Робинсона полезны, Бюллетень IAMP News Bulletin, октябрь 2010 г., стр. 22–29, (2010 г.)
6. Клиш, Мартин; Гоголин, Кристиан; Айсерт, Йенс (2014). "Границы Либа-Робинсона и моделирование эволюции во времени локальных наблюдаемых в решетчатых системах". Многоэлектронные подходы в физике, химии и математике. Математическая физика MPST. Чам: Издательство Springer International. С. 301–318. arXiv:1306.0716. Дои:10.1007/978-3-319-06379-9_17. ISBN  978-3-319-06378-2. ISSN  0921-3767. S2CID  119322310.
7. М. Б. Гастингс, Локальность в квантовых системах, arXiv: 1008.5137
8. Наайкенс, Питер (2017), «Бесконечные системы», Квантовые спиновые системы на бесконечных решетках., Конспект лекций по физике, Cham: Springer International Publishing, 933, стр. 57–108, Дои:10.1007/978-3-319-51458-1_3, ISBN  978-3-319-51456-7
9. Nachtergaele, B .; Ogata, Y .; Симс, Р. (2006). «Распространение корреляций в квантовых решетчатых системах». J. Stat. Phys. 124 (1): 1–13. arXiv:math-ph / 0603064. Bibcode:2006JSP ... 124 .... 1N. Дои:10.1007 / s10955-006-9143-6. S2CID  16078056.
10. Д. Рюэль, Статистическая механика. Строгие результаты, Бенджамин, Нью-Йорк, 1969 г.
11. Робинсон, Дерек В. (1968). «Статистическая механика квантовых спиновых систем. II». Коммуникации по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 7 (4): 337–348. Bibcode:1968CMaPh ... 7..337R. Дои:10.1007 / bf01646665. ISSN  0010-3616. S2CID  189832252.
12. Бахманн, Свен; Михалакис, Спиридон; Нахтергаэле, Бруно; Симс, Роберт (2012). «Автоморфная эквивалентность в фазах с промежутками квантовых решетчатых систем». Коммуникации по математической физике. 309 (3): 835–871. arXiv:1102.0842. Bibcode:2012CMaPh.309..835B. Дои:10.1007 / s00220-011-1380-0. ISSN  0010-3616. S2CID  119608766.
13. Робинсон, Дерек В. (1976). «Свойства распространения квантовых спиновых систем». Журнал Австралийского математического общества. Серия Б. Прикладная математика. Издательство Кембриджского университета (CUP). 19 (4): 387–399. Дои:10,1017 / с0334270000001260. ISSN  0334-2700.
14. О. Браттели, Д. В. Робинсон, Операторные алгебры и квантовая статистическая механика, 1-е изд., Т. 2, Springer-Verlag, 1981 и 2 изд., Т. 2, Springer-Verlag, 1997 г.
15. Гастингс, М. (2004). «Либ – Шульц – Маттис в высших измерениях». Phys. Ред. B. 69 (10): 104431–10444. arXiv:cond-mat / 0305505. Bibcode:2004PhRvB..69j4431H. Дои:10.1103 / Physrevb.69.104431. S2CID  119610203.
16. Nachtergaele, B .; Симс, Р. (2006). «Границы Либа-Робинсона и экспоненциальная теорема кластеризации». Commun. Математика. Phys. 265 (1): 119–130. arXiv:math-ph / 0506030. Bibcode:2006CMaPh.265..119N. Дои:10.1007 / s00220-006-1556-1. S2CID  815023.
17. Гастингс, М. Б. (28 сентября 2004 г.). «Локальность в квантовой и марковской динамике на решетках и сетях». Письма с физическими проверками. 93 (14): 140402. arXiv:cond-mat / 0405587. Bibcode:2004ПхРвЛ..93н0402Н. Дои:10.1103 / Physrevlett.93.140402. ISSN  0031-9007. PMID  15524771. S2CID  13059030.
18. Б. Нахтергаэле, Р. Симс. Оценки локальности для квантовых спиновых систем, Сидоравичюс, Владас (ред.), Новые тенденции в математической физике. Избранные материалы XV Международного конгресса по математической физике, Springer Verlag, 591–614, (2009)
19. Нахтергаэле, Бруно; Раз, Гиллель; Шлейн, Бенджамин; Симс, Роберт (23 сентября 2008 г.). "Границы Либа-Робинсона для гармонических и ангармонических решетчатых систем". Коммуникации по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 286 (3): 1073–1098. CiteSeerX  10.1.1.249.5761. Дои:10.1007 / s00220-008-0630-2. ISSN  0010-3616. S2CID  16722938.
20. Нахтергаэле, Бруно; Шлейн, Бенджамин; Симс, Роберт; Старр, Шеннон; Загребнов, Валентин (2010). «О существовании динамики для ангармонических систем квантовых осцилляторов». Обзоры по математической физике. 22 (2): 207–231. arXiv:0909.2249. Bibcode:2010RvMaP..22..207N. Дои:10.1142 / s0129055x1000393x. ISSN  0129-055X. S2CID  16305920.
21. М. Крамер, А. Серафини, Дж. Эйсерт, Локальность динамики в общих гармонических квантовых системах, arXiv: 0803.0890, (2008)
22. Jünemann, J .; Cadarso, A .; Pérez-García, D .; Bermudez, A .; Гарсия-Риполь, Дж. Дж. (06.12.2013). "Границы Либа-Робинсона для моделей решеток спиновых бозонов и захваченных ионов". Письма с физическими проверками. 111 (23): 230404. arXiv:1307.1992. Bibcode:2013PhRvL.111w0404J. Дои:10.1103 / Physrevlett.111.230404. ISSN  0031-9007. PMID  24476237. S2CID  40468184.
23. Пулен, Дэвид (2010-05-11). "Граница Либа-Робинсона и локальность для общей марковской квантовой динамики". Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 104 (19): 190401. arXiv:1003.3675. Bibcode:2010ПхРвЛ.104с0401П. Дои:10.1103 / Physrevlett.104.190401. ISSN  0031-9007. PMID  20866947. S2CID  18911144.
24. Б. Нахтергаэле, А. Вершинина, В. Загребнов, Границы Либа-Робинсона и существование термодинамического предела для одного класса необратимой квантовой динамики, AMS Contemporary Mathematics, 552, 161–175, (2011)
25. Гун, Чжэ-Сюань; Фосс-Фейг, Майкл; Михалакис, Спиридон; Горшков, Алексей В. (2014-07-16). «Сохранение локальности в системах со степенными взаимодействиями». Письма с физическими проверками. 113 (3): 030602. arXiv:1401.6174. Bibcode:2014PhRvL.113c0602G. Дои:10.1103 / PhysRevLett.113.030602. PMID  25083624. S2CID  14280616.
26. Фосс-Фейг, Майкл; Гун, Чжэ-Сюань; Кларк, Чарльз В .; Горшков, Алексей В. (2015-04-13). «Почти линейные световые конусы в дальнодействующих квантовых системах». Письма с физическими проверками. 114 (15): 157201. arXiv:1410.3466. Bibcode:2015ПхРвЛ.114о7201Ф. Дои:10.1103 / PhysRevLett.114.157201. PMID  25933335. S2CID  13441269.
27. Элдридж, Захари; Гун, Чжэ-Сюань; Янг, Джереми Т .; Мусавиан, Али Хамед; Фосс-Фейг, Майкл; Горшков, Алексей В. (2017-10-25). «Быстрая передача квантового состояния и перенормировка сцепленности с использованием дальнодействующих взаимодействий». Письма с физическими проверками. 119 (17): 170503. arXiv:1612.02442. Bibcode:2017PhRvL.119q0503E. Дои:10.1103 / PhysRevLett.119.170503. ЧВК  6467282. PMID  29219445.
28. О. Браттели, Д. В. Робинсон, Операторные алгебры и квантовая статистическая механика, 2-е изд., Т. 2, Springer Verlag, 1997 г.
29. Э. Либ, Д. Маттис, Упорядочение уровней энергии во взаимодействующих спиновых цепочках, Журн. Математика. Phys. 3,749–751, (1962)
30. Аффлек, Ян; Либ, Эллиотт Х. (1986). «Доказательство части гипотезы Холдейна о спиновых цепочках». Письма по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 12 (1): 57–69. Bibcode:1986ЛМАФ..12 ... 57А. Дои:10.1007 / bf00400304. ISSN  0377-9017. S2CID  120567523.
31. Либ, Эллиотт; Шульц, Теодор; Мэттис, Дэниел (1961). «Две растворимые модели антиферромагнитной цепи». Анналы физики. Elsevier BV. 16 (3): 407–466. Bibcode:1961АнФи..16..407Л. Дои:10.1016/0003-4916(61)90115-4. ISSN  0003-4916.
32. Нахтергаэле, Бруно; Симс, Роберт (2007-09-09). «Многомерная теорема Либа-Шульца-Маттиса». Коммуникации по математической физике. 276 (2): 437–472. arXiv:math-ph / 0608046. Bibcode:2007CMaPh.276..437N. Дои:10.1007 / s00220-007-0342-z. ISSN  0010-3616. S2CID  16184852.
33. Woods, M. P .; Пленио, М. Б. (2016). «Динамические границы погрешности для дискретизации континуума с помощью квадратурных правил Гаусса - подход границ Либа-Робинсона». Журнал математической физики. Издательство AIP. 57 (2): 022105. arXiv:1508.07354. Bibcode:2016JMP .... 57b2105W. Дои:10.1063/1.4940436. ISSN  0022-2488. S2CID  119256211.
34. Woods, M. P .; Cramer, M .; Пленио, М. Б. (22 сентября 2015 г.). «Моделирование бозонных ванн с помощью планок погрешностей». Письма с физическими проверками. 115 (13): 130401. arXiv:1504.01531. Bibcode:2015PhRvL.115m0401W. Дои:10.1103 / Physrevlett.115.130401. ISSN  0031-9007. PMID  26451538. S2CID  3054665.
35. Шено, Марк; Барметлер, Питер; Полетти, Дарио; Эндрес, Мануэль; Шаус, Питер; и другие. (2012). «Распространение корреляций в квантовой системе многих тел по типу светового конуса». Природа. 481 (7382): 484–487. arXiv:1111.0776. Bibcode:2012Натура.481..484C. Дои:10.1038 / природа10748. ISSN  0028-0836. PMID  22281597. S2CID  4300657.