Топология нижнего предела - Lower limit topology

В математика, то топология нижнего предела или же топология правого полуоткрытого интервала это топология определены на множестве ${\displaystyle \mathbb {R} }$ из действительные числа; отличается от стандартной топологии на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (генерируется открытые интервалы ) и обладает рядом интересных свойств. Это топология, порожденная основа из всех полуоткрытые интервалы [а,б), куда а и б настоящие числа.

Результирующий топологическое пространство называется Линия Sorgenfrey после Роберт Соргенфри или стрелка и иногда пишется ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$. Словно Кантор набор и длинная линия, линия Соргенфрея часто служит полезным контрпримером ко многим в остальном правдоподобным предположениям в общая топология. В товар из ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ с самим собой - также полезный контрпример, известный как Самолет Соргенфри.

Совершенно аналогично можно также определить топология верхнего предела, или же топология левого полуоткрытого интервала.

Характеристики

• Топология нижнего предела тоньше (имеет больше открытых множеств), чем стандартная топология действительных чисел (которая порождается открытыми интервалами). Причина в том, что каждый открытый интервал можно записать как (счетно бесконечное) объединение полуоткрытых интервалов.
• Для любого реального ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, интервал ${\displaystyle [a,b)}$ является прищемить в ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ (т.е. оба открыто и закрыто ). Кроме того, для всех реальных ${\displaystyle a}$, наборы ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x<a\}}$ и ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x\geq a\}}$ также непонятны. Это показывает, что линия Соргенфри полностью отключен.
• Любой компактное подмножество из ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ должно быть самое большее счетный набор. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим непустое компактное подмножество ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} _{l}}$. Исправить ${\displaystyle x\in C}$рассмотрим следующую открытую крышку ${\displaystyle C}$:

${\displaystyle {\bigl \{}[x,+\infty ){\bigr \}}\cup {\Bigl \{}{\bigl (}-\infty ,x-{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}\,{\Big |}\,n\in \mathbb {N} {\Bigr \}}.}$

С ${\displaystyle C}$ компактно, это покрытие имеет конечное подпокрытие, следовательно, существует действительное число ${\displaystyle a(x)}$ такой, что интервал ${\displaystyle (a(x),x]}$ не содержит смысла ${\displaystyle C}$ Помимо ${\displaystyle x}$. Это верно для всех ${\displaystyle x\in C}$. Теперь выберите рациональное число ${\displaystyle q(x)\in (a(x),x]\cap \mathbb {Q} }$. Поскольку интервалы ${\displaystyle (a(x),x]}$, параметризованный ${\displaystyle x\in C}$, попарно не пересекаются, функция ${\displaystyle q:C\to \mathbb {Q} }$ инъективен, и поэтому ${\displaystyle C}$ не более чем счетно.

• Название «топология нижнего предела» происходит от следующего факта: последовательность (или сеть ) ${\displaystyle (x_{\alpha })}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ сходится к пределу ${\displaystyle L}$ если и только если это "приближается ${\displaystyle L}$ справа ", то есть для каждого ${\displaystyle \epsilon >0}$ существует индекс ${\displaystyle \alpha _{0}}$ такой, что ${\displaystyle \forall \alpha \geq \alpha _{0}:L\leq x_{\alpha }<L+\epsilon }$. Таким образом, линия Sorgenfrey может быть использована для изучения правые пределы: если ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ это функция, то обычный правосторонний предел ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle x}$ (когда codomain несет стандартную топологию) совпадает с обычным пределом ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle x}$ когда домен снабжен топологией нижнего предела, а codomain несет стандартную топологию.
• С точки зрения аксиомы разделения, ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ это совершенно нормальное хаусдорфово пространство.
• С точки зрения аксиомы счетности, ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ является исчисляемый первым и отделяемый, но нет счетный.
• По свойствам компактности ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ является Линделёф и паракомпакт, но нет σ-компактный ни локально компактный.
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ не является метризуемый, так как сепарабельные метрические пространства счетны до секунды. Однако топология линии Соргенфрея порождается квазиметрический.
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ это Пространство Бэра [1].

Смотрите также

• Список топологий

Рекомендации

• Стин, Линн Артур; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии (Дувр переиздание изд. 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-486-68735-3, МИСТЕР  0507446