Форма волны Маасса - Maass wave form

В математике Формы Маасса или же Волновые формы Маасса изучаются в теории автоморфные формы. Формы Маасса - это комплексные гладкие функции верхней полуплоскости, которые преобразуются аналогичным образом при работе дискретной подгруппы ${displaystyle Gamma }$ из ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} )}$ как модульные формы. Они являются собственными формами гиперболического оператора Лапласа ${displaystyle Delta }$ определено на ${displaystyle mathbb {H} }$ и удовлетворяют некоторым условиям роста в точках возврата фундаментальной области ${displaystyle Gamma }$. В отличие от модульных форм формы Маасса не обязательно должны быть голоморфными. Первыми их изучили Ханс Маасс в 1949 г.

Основные пометки

Группа

${displaystyle G:=mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} )=left{{egin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}}in M_{2}(mathbb {R} ):ad-bc=1ight}}$

работает в верхней полуплоскости

${displaystyle mathbb {H} ={zin mathbb {C} :operatorname {Im} (z)>0}}$

дробно-линейными преобразованиями:

${displaystyle {egin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}}cdot z:={frac {az+b}{cz+d}}.}$

Его можно расширить до операции на ${displaystyle mathbb {H} cup {infty }cup mathbb {mathbb {R} } }$ путем определения:

${displaystyle {egin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}}cdot z:={egin{cases}{frac {az+b}{cz+d}}&{ ext{if }}cz+deq 0,infty &{ ext{if }}cz+d=0,end{cases}}}$

${displaystyle {egin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}}cdot infty :=lim _{operatorname {Im} (z) o infty }{egin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}}cdot z={egin{cases}{frac {a}{c}}&{ ext{if }}ceq 0infty &{ ext{if }}c=0end{cases}}}$

Радоновая мера

${displaystyle dmu (z):={frac {dxdy}{y^{2}}}}$

определено на ${displaystyle mathbb {H} }$ инвариантен относительно действия ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} )}$.

Позволять ${displaystyle Gamma }$ - дискретная подгруппа в ${displaystyle G}$. Фундаментальная область для ${displaystyle Gamma }$ это открытый набор ${displaystyle Fsubset mathbb {H} }$, так что существует система представителей ${displaystyle R}$ из ${displaystyle Gamma ackslash mathbb {H} }$ с

${displaystyle Fsubset Rsubset {overline {F}}{ ext{ and }}mu ({overline {F}}setminus F)=0.}$

Фундаментальная область для модульной группы ${displaystyle Gamma (1):=mathrm {SL} _{2}(mathbb {Z} )}$ дан кем-то

${displaystyle F:=left{zin mathbb {H} mid left|operatorname {Re} (z)ight|<{frac {1}{2}},|z|<1ight}}$

(видеть Модульная форма ).

Функция ${displaystyle f:mathbb {H} o mathbb {C} }$ называется ${displaystyle Gamma }$-инвариантно, если ${displaystyle f(gamma z)=f(z)}$ относится ко всем ${displaystyle gamma in Gamma }$ и все ${displaystyle zin mathbb {H} }$.

Для каждого измеримого, ${displaystyle Gamma }$-инвариантная функция ${displaystyle f:mathbb {H} o mathbb {C} }$ уравнение

${displaystyle int _{F}f(z)dmu (z)=int _{Gamma ackslash mathbb {H} }f(z)dmu (z),}$

держит. Здесь мера ${displaystyle dmu }$ в правой части уравнения стоит индуцированная мера на частном ${displaystyle Gamma ackslash mathbb {H} .}$

Классические формы Maass

Определение гиперболического оператора Лапласа

В гиперболический оператор Лапласа на ${displaystyle mathbb {H} }$ определяется как

${displaystyle Delta :C^{infty }(mathbb {H} ) o C^{infty }(mathbb {H} ),}$

${displaystyle Delta =-y^{2}left({frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}ight)}$

Определение формы Маасса

А Форма Маасса для группы ${displaystyle Gamma (1):=mathrm {SL} _{2}(mathbb {Z} )}$ комплекснозначная гладкая функция ${displaystyle f}$ на ${displaystyle mathbb {H} }$ удовлетворение

${displaystyle 1)quad f(gamma z)=f(z){ ext{ for all }}gamma in Gamma (1),qquad zin mathbb {H} }$

${displaystyle 2)quad { ext{there exists }}lambda in mathbb {C} { ext{ with }}Delta (f)=lambda f}$

${displaystyle 3)quad { ext{there exists }}Nin mathbb {N} { ext{ with }}f(x+iy)={mathcal {O}}(y^{N}){ ext{ for }}ygeq 1}$

Если

${displaystyle int _{0}^{1}f(z+t)dt=0{ ext{ for all }}zin mathbb {H} }$

мы называем ${displaystyle f}$ Куспид Маасса.

Связь форм Маасса с серией Дирихле

Позволять ${displaystyle f}$ быть формой Маасса. С

${displaystyle gamma :={egin{pmatrix}1&1�&1end{pmatrix}}in Gamma (1)}$

у нас есть:

${displaystyle forall zin mathbb {H} :qquad f(z)=f(gamma z)=f(z+1).}$

Следовательно ${displaystyle f}$ имеет разложение Фурье вида

${displaystyle f(x+iy)=sum _{n=-infty }^{infty }a_{n}(y)e^{2pi inx},}$

с коэффициентами ${displaystyle a_{n},nin mathbb {Z} .}$

Легко показать, что ${displaystyle f}$ является формой возврата Маасса тогда и только тогда, когда ${displaystyle a_{0}(y)=0forall y>0}$.

Мы можем точно вычислить коэффициентные функции. Для этого нам понадобится Функция Бесселя ${displaystyle K_{v}}$.

Определение: Функция Бесселя ${displaystyle K_{v}}$ определяется как

${displaystyle K_{s}(y):={frac {1}{2}}int _{0}^{infty }e^{-{frac {y(t+t^{-1})}{2}}}t^{s}{frac {dt}{t}},qquad sin mathbb {C} ,y>0.}$

Интеграл сходится локально равномерно абсолютно при ${displaystyle y>0}$ в ${displaystyle sin mathbb {C} }$ и неравенство

${displaystyle K_{s}(y)leq e^{-{frac {y}{2}}}K_{operatorname {Re} (s)}(2)}$

относится ко всем ${displaystyle y>4}$.

Следовательно, ${displaystyle |K_{s}|}$ экспоненциально уменьшается для ${displaystyle y o infty }$. Кроме того, у нас есть ${displaystyle K_{-s}(y)=K_{s}(y)}$ для всех ${displaystyle sin mathbb {C} ,y>0}$.

Теорема (коэффициенты Фурье форм Маасса). Позволять ${displaystyle lambda in mathbb {C} }$ - собственное значение формы Маасса ${displaystyle f}$ соответствующий ${displaystyle Delta .}$ Существуют ${displaystyle u in mathbb {C} ,}$ уникальный до подписи, такой что ${displaystyle lambda ={ frac {1}{4}}-u ^{2}.}$ Тогда коэффициенты Фурье ${displaystyle f}$ находятся

${displaystyle {egin{aligned}a_{n}(y)&=c_{n}{sqrt {y}}K_{u }(2pi |n|y)quad c_{n}in mathbb {C} &&neq 0a_{0}(y)&=c_{0}y^{{frac {1}{2}}-u }+d_{0}y^{{frac {1}{2}}+u }quad c_{0},d_{0}in mathbb {C} &&n=0end{aligned}}}$

Доказательство: У нас есть

${displaystyle Delta (f)=left({frac {1}{4}}-u ^{2}ight)f.}$

По определению коэффициентов Фурье получаем

${displaystyle a_{n}=int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2pi inx}dx}$

за ${displaystyle nin mathbb {Z} .}$

Вместе следует, что

${displaystyle {egin{aligned}left({frac {1}{4}}-u ^{2}ight)a_{n}&=int _{0}^{1}left({frac {1}{4}}-u ^{2}ight)f(x+iy)e^{-2pi inx}dx[4pt]&=int _{0}^{1}(Delta f)(x+iy)e^{-2pi inx}dx[4pt]&=-y^{2}left(int _{0}^{1}{frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}(x+iy)e^{-2pi inx}dx+int _{0}^{1}{frac {partial ^{2}f}{partial y^{2}}}(x+iy)e^{-2pi inx}dxight)[4pt]&{overset {(1)}{=}}-y^{2}(2pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2pi inx}dx[4pt]&=-y^{2}(2pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}a_{n}(y)[4pt]&=4pi ^{2}n^{2}y^{2}a_{n}(y)-y^{2}{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}a_{n}(y)end{aligned}}}$

за ${displaystyle nin mathbb {Z} .}$

В (1) мы использовали, что пth коэффициент Фурье ${displaystyle {frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}}$ является ${displaystyle (2pi in)^{2}a_{n}(y)}$ для первого члена суммирования. Во втором члене мы изменили порядок интегрирования и дифференцирования, что допустимо, поскольку f гладкая по y. Получаем линейное дифференциальное уравнение второй степени:

${displaystyle y^{2}{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}a_{n}(y)+left({frac {1}{4}}-u ^{2}-4pi n^{2}y^{2}ight)a_{n}(y)=0}$

За ${displaystyle n=0}$ можно показать, что для каждого решения ${displaystyle f}$ существуют уникальные коэффициенты ${displaystyle c_{0},d_{0}in mathbb {C} }$ с собственностью ${displaystyle a_{0}(y)=c_{0}y^{{frac {1}{2}}-u }+d_{0}y^{{frac {1}{2}}+u }.}$

За ${displaystyle neq 0}$ каждое решение ${displaystyle f}$ имеет форму

${displaystyle f(y)=c_{n}{sqrt {y}}K_{v}(2pi |n|y)+d_{n}{sqrt {y}}I_{v}(2pi |n|y)}$

для уникальных ${displaystyle c_{n},d_{n}in mathbb {C} }$. Здесь ${displaystyle K_{v}(s)}$ и ${displaystyle I_{v}(s)}$ являются функциями Бесселя.

Функции Бесселя ${displaystyle I_{v}}$ экспоненциально растут, а функции Бесселя ${displaystyle K_{v}}$ уменьшаются экспоненциально. Вместе с условием полиномиального роста 3) получаем ${displaystyle f:a_{n}(y)=c_{n}{sqrt {y}}K_{v}(2pi |n|y)}$ (также ${displaystyle d_{n}=0}$) для уникального ${displaystyle c_{n}in mathbb {C} .square }$

Четные и нечетные формы Маасса: Позволять ${displaystyle i(z):=-{overline {z}}}$. потом я работает со всеми функциями ${displaystyle f:mathbb {H} o mathbb {C} }$ к ${displaystyle i(f):=f(i(z))}$ и коммутирует с гиперболическим лапласианом. Форма Маасса ${displaystyle f}$ называется даже, если ${displaystyle i(f)=f}$ и странно, если ${displaystyle i(f)=-f}$. Если f форма Маасса, то ${displaystyle { frac {1}{2}}(f+i(f))}$ является четной формой Маасса и ${displaystyle { frac {1}{2}}(f-i(f))}$ нечетная форма Маасса и ${displaystyle f={ frac {1}{2}}(f+i(f))+{ frac {1}{2}}(f-i(f))}$.

Теорема: L-функция формы Маасса

Позволять

${displaystyle f(x+iy)=sum _{neq 0}c_{n}{sqrt {y}}K_{u }(2pi |n|y)e^{2pi inx}}$

быть куспидом Маасса. Определим L-функцию ${displaystyle f}$ в качестве

${displaystyle L(s,f)=sum _{n=1}^{infty }c_{n}n^{-s}.}$

Тогда сериал ${displaystyle L(s,f)}$ сходится для ${displaystyle Re(s)>{ frac {3}{2}}}$ и мы можем продолжить его до целой функции на ${displaystyle mathbb {C} }$ .

Если ${displaystyle f}$ четное или нечетное мы получаем

${displaystyle Lambda (s,f):=pi ^{-s}Gamma left({frac {s+varepsilon +u }{2}}ight)Gamma left({frac {s+varepsilon -u }{2}}ight)L(s,f).}$

Здесь ${displaystyle varepsilon =0}$ если ${displaystyle f}$ даже и ${displaystyle varepsilon =-1}$ если ${displaystyle f}$ странно. потом ${displaystyle Lambda }$ удовлетворяет функциональному уравнению

${displaystyle Lambda (s,f)=(-1)^{varepsilon }Lambda (1-s,f).}$

Пример: неголоморфный ряд Эйзенштейна E

Неголоморфный ряд Эйзенштейна определен для ${displaystyle z=x+iyin mathbb {H} }$ и ${displaystyle sin mathbb {C} }$ в качестве

${displaystyle E(z,s):=pi ^{-s}Gamma (s){frac {1}{2}}sum _{(m,n)eq (0,0)}{frac {y^{s}}{|mz+n|^{2s}}}}$

куда ${displaystyle Gamma (s)}$ это Гамма-функция.

Ряд абсолютно сходится в ${displaystyle zin mathbb {H} }$ за ${displaystyle Re(s)>1}$ и локально равномерно в ${displaystyle mathbb {H} imes {Re(s)>1}}$, поскольку можно показать, что серия

${displaystyle S(z,s):=sum _{(m,n)eq (0,0)}{frac {1}{|mz+n|^{s}}}}$

абсолютно сходится в ${displaystyle zin mathbb {H} ,}$ если ${displaystyle Re(s)>2.}$ Точнее, сходится равномерно на каждом множестве ${displaystyle K imes {Re(s)geq alpha },}$ для каждого компакта ${displaystyle Ksubset mathbb {H} }$ и каждый ${displaystyle alpha >2.}$

E форма Маасса

Мы только показываем ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {Z} )}$-инвариантность и дифференциальное уравнение. Доказательство плавности можно найти в Deitmar или Bump. Условие роста следует из разложения Фурье ряда Эйзенштейна.

Сначала мы покажем ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {Z} )}$-инвариантность. Позволять

${displaystyle Gamma _{infty }:=pm {egin{pmatrix}1&mathbb {Z} �&1end{pmatrix}}}$

быть стабилизирующей группой ${displaystyle infty }$ соответствующий операции ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {Z} )}$ на ${displaystyle mathbb {H} cup {infty }}$.

Предложение. E является ${displaystyle Gamma (1)}$-инвариантный.

Доказательство. Определять:

${displaystyle { ilde {E}}(z,s):=sum _{gamma in Gamma _{infty }ackslash Gamma }Im(gamma z)^{s}.}$

(а) ${displaystyle { ilde {E}}}$ абсолютно сходится в ${displaystyle zin mathbb {H} }$ за ${displaystyle Re(s)>1}$ и ${displaystyle E(z,s)=pi ^{-s}Gamma (s)zeta (2s){ ilde {E}}(z,s).}$

С

${displaystyle gamma ={egin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}}in Gamma (1)Longrightarrow Im(gamma z)={frac {Im(z)}{|cz+d|^{2}}},}$

мы получаем

${displaystyle { ilde {E}}(z,s)=sum _{gamma in Gamma _{infty }ackslash Gamma }Im(gamma z)^{s}=sum _{(c,d)=1modpm 1}{frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}.}$

Это доказывает абсолютную сходимость в ${displaystyle zin mathbb {H} }$ за ${displaystyle Re(s)>1.}$

Кроме того, отсюда следует, что

${displaystyle zeta (2s){ ilde {E}}(z,s)=sum _{n=1}^{infty }n^{-s}sum _{(c,d)=1modpm 1}{frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}=sum _{n=1}^{infty }sum _{(c,d)=1modpm 1}{frac {y^{s}}{|ncz+nd|^{2s}}}=sum _{(m,n)eq (0,0)}{frac {y^{s}}{|mz+n|^{2s}}},}$

так как карта

${displaystyle {egin{cases}mathbb {N} imes {(x,y)in mathbb {Z} ^{2}-{(0,0)}:(x,y)=1} o mathbb {Z} ^{2}-{(0,0)}(n,(x,y))mapsto (nx,ny)end{cases}}}$

является биекцией (а) следует.

(б) У нас есть ${displaystyle E(gamma z,s)=E(z,s)}$ для всех ${displaystyle gamma in Gamma (1)}$.

За ${displaystyle { ilde {gamma }}in Gamma (1)}$ мы получили

${displaystyle { ilde {E}}({ ilde {gamma }}z,s)=sum _{gamma in Gamma _{infty }ackslash Gamma }Im({ ilde {gamma }}gamma z)^{s}=sum _{gamma in Gamma _{infty }ackslash Gamma }Im(gamma z)^{s}={ ilde {E}}(gamma z,s)}$.

Вместе с (а), ${displaystyle E}$ также инвариантен относительно ${displaystyle Gamma (1)}$. ${displaystyle square }$

Предложение. E является собственной формой гиперболического оператора Лапласа

Нам понадобится следующая лемма.

Лемма: ${displaystyle Delta }$ коммутирует с работой ${displaystyle G}$ на ${displaystyle C^{infty }(mathbb {H} )}$. Точнее для всех ${displaystyle gin G}$ у нас есть: ${displaystyle L_{g}Delta =Delta L_{g}.}$

Доказательство: Группа ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} )}$ генерируется элементами формы

${displaystyle {egin{pmatrix}a&0�&{frac {1}{a}}end{pmatrix}},ain mathbb {R} ^{ imes };quad {egin{pmatrix}1&x�&1end{pmatrix}},xin mathbb {R} ;quad S={egin{pmatrix}0&-11&0end{pmatrix}}.}$

Рассчитывается претензия для этих генераторов и получается претензия для всех ${displaystyle gin mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} )}$. ${displaystyle square }$

С ${displaystyle E(z,s)=pi ^{-s}Gamma (s)zeta (2s){ ilde {E}}(z,s)}$ достаточно показать дифференциальное уравнение для ${displaystyle { ilde {E}}.}$ У нас есть:

${displaystyle Delta { ilde {E}}(z,s):=Delta sum _{gamma in Gamma _{infty }ackslash Gamma }Im(gamma z)^{s}=sum _{gamma in Gamma _{infty }ackslash Gamma }Delta left(Im(gamma z)^{s}ight)}$

Кроме того, есть

${displaystyle Delta left(Im(z)^{s}ight)=Delta (y^{s})=-y^{2}left({frac {partial ^{2}y^{s}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}y^{s}}{partial y^{2}}}ight)=s(1-s)y^{s}.}$

Поскольку оператор Лапласа коммутирует с операцией ${displaystyle Gamma (1)}$, мы получили

${displaystyle forall gamma in Gamma (1):quad Delta left(Im(gamma z)^{s}ight)=s(1-s)Im(gamma z)^{s}}$

и так

${displaystyle Delta { ilde {E}}(z,s)=s(1-s){ ilde {E}}(z,s).}$

Следовательно, дифференциальное уравнение выполнено для E в ${displaystyle Re(s)>3.}$ Чтобы получить претензию на все ${displaystyle sin mathbb {C} ,}$ рассмотрим функцию ${displaystyle Delta E(z,s)-s(1-s)E(z,s).}$ Явно вычисляя разложение Фурье этой функции, мы получаем, что она мероморфна. Поскольку он исчезает при ${displaystyle Re(s)>3,}$ это должна быть нулевая функция по теореме тождества.

Фурье-разложение E

Неголоморфный ряд Эйзенштейна имеет разложение Фурье

${displaystyle E(z,s)=sum _{n=-infty }^{infty }a_{n}(y,s)e^{2pi inx}}$

куда

${displaystyle {egin{aligned}a_{0}(y,s)&=pi ^{-s}Gamma (s)zeta (2s)y^{s}+pi ^{s-1}Gamma (1-s)zeta (2(1-s))y^{1-s}a_{n}(y,s)&=2|n|^{2-{frac {1}{2}}}sigma _{1-2s}(|n|){sqrt {y}}K_{s-{frac {1}{2}}}(2pi |n|y)&&neq 0end{aligned}}}$

Если ${displaystyle zin mathbb {H} }$, ${displaystyle E(z,s)}$ имеет мероморфное продолжение на ${displaystyle mathbb {C} .}$ Он голоморфен, за исключением простых полюсов в ${displaystyle s=0,1.}$

Ряд Эйзенштейна удовлетворяет функциональному уравнению

${displaystyle E(z,s)=E(z,1-s)}$

для всех ${displaystyle zin mathbb {H} }$.

Локально равномерно в ${displaystyle xin mathbb {R} }$ условие роста

${displaystyle E(x+iy,s)={mathcal {0}}(y^{sigma })}$

держит, где ${displaystyle sigma =max(operatorname {Re} (s),1-operatorname {Re} (s)).}$

Мероморфное продолжение E очень важен в спектральной теории гиперболического оператора Лапласа.

Формы веса Маасса k

Подгруппы конгруэнтности

За ${displaystyle Nin mathbb {N} }$ позволять ${displaystyle Gamma (N)}$ быть ядром канонической проекции

${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {Z} ) o mathrm {SL} _{2}(mathbb {Z} /Nmathbb {Z} ).}$

Мы называем ${displaystyle Gamma (N)}$ главная подгруппа конгруэнции уровня ${displaystyle N}$. Подгруппа ${displaystyle Gamma subseteq mathrm {SL} _{2}(mathbb {Z} )}$ называется конгруэнтной подгруппой, если существует ${displaystyle Nin mathbb {N} }$, так что ${displaystyle Gamma (N)subseteq Gamma }$. Все конгруэнтные подгруппы дискретны.

Позволять

${displaystyle {overline {Gamma (1)}}:=Gamma (1)/{pm 1}.}$

Для подгруппы сравнения ${displaystyle Gamma ,}$ позволять ${displaystyle {overline {Gamma }}}$ быть изображением ${displaystyle Gamma }$ в ${displaystyle {overline {Gamma (1)}}}$. Если S это система представителей ${displaystyle {overline {Gamma }}ackslash {overline {Gamma (1)}}}$, тогда

${displaystyle SD=igcup _{gamma in S}gamma D}$

является фундаментальной областью для ${displaystyle Gamma }$. Набор ${displaystyle S}$ однозначно определяется фундаментальной областью ${displaystyle SD}$. Более того, ${displaystyle S}$ конечно.

Точки ${displaystyle gamma infty }$ за ${displaystyle gamma in S}$ называются каспами фундаментальной области ${displaystyle SD}$. Они являются частью ${displaystyle mathbb {Q} cup {infty }}$.

На каждый куспид ${displaystyle c}$ Существует ${displaystyle sigma in Gamma (1)}$ с ${displaystyle sigma infty =c}$.

Формы веса Маасса k

Позволять ${displaystyle Gamma }$ подгруппа конгруэнции и ${displaystyle kin mathbb {Z} .}$

Определим гиперболический оператор Лапласа ${displaystyle Delta _{k}}$ веса ${displaystyle k}$ в качестве

${displaystyle Delta _{k}:C^{infty }(mathbb {H} ) o C^{infty }(mathbb {H} ),}$

${displaystyle Delta _{k}=-y^{2}left({frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}ight)+iky{frac {partial }{partial x}}.}$

Это обобщение гиперболического оператора Лапласа ${displaystyle Delta _{0}=Delta }$.

Определим операцию ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} )}$ на ${displaystyle C^{infty }(mathbb {H} )}$ к

${displaystyle f_{||k}g(z):=left({frac {cz+d}{|cz+d|}}ight)^{-k}f(gz)}$

куда

${displaystyle zin mathbb {H} ,g={egin{pmatrix}ast &ast c&dend{pmatrix}}in mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} ),fin C^{infty }(mathbb {H} ).}$

Можно показать, что

${displaystyle (Delta _{k}f)_{||k}g=Delta _{k}(f_{||k}g)}$

относится ко всем ${displaystyle fin C^{infty }(mathbb {H} ),kin mathbb {Z} }$ и каждый ${displaystyle gin mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} )}$.

Следовательно, ${displaystyle Delta _{k}}$ работает в векторном пространстве

${displaystyle C^{infty }(Gamma ackslash mathbb {H} ,k):={fin C^{infty }(mathbb {H} ):f_{||k}gamma =fforall gamma in Gamma }}$.

Определение. А Форма Маасса веса ${displaystyle kin mathbb {Z} }$ за ${displaystyle Gamma }$ это функция ${displaystyle fin C^{infty }(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)}$ это собственная функция ${displaystyle Delta _{k}}$ и имеет умеренный рост на бугорках.

Термин «умеренный рост на бугорках» требует пояснения. Бесконечность - порог ${displaystyle Gamma ,}$ функция ${displaystyle fin C^{infty }(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)}$ умеренного роста на ${displaystyle infty }$ если ${displaystyle f(x+iy)}$ ограничен полиномом от у в качестве ${displaystyle y o infty }$. Позволять ${displaystyle cin mathbb {Q} }$ быть еще одним куспидом. Тогда существует ${displaystyle heta in mathrm {SL} _{2}(mathbb {Z} )}$ с ${displaystyle heta (infty )=c}$. Позволять ${displaystyle f':=f_{||k} heta }$. потом ${displaystyle f'in C^{infty }(Gamma 'ackslash mathbb {H} ,k)}$, куда ${displaystyle Gamma '}$ подгруппа конгруэнции ${displaystyle heta ^{-1}Gamma heta }$. Мы говорим ${displaystyle f}$ умеренного роста в куспиде ${displaystyle c}$, если ${displaystyle f'}$ умеренного роста на ${displaystyle infty }$.

Определение. Если ${displaystyle Gamma }$ содержит главную подгруппу конгруэнции уровня ${displaystyle N}$мы говорим, что ${displaystyle f}$ каспидально на бесконечности, если

${displaystyle forall zin mathbb {H} :quad int _{0}^{N}f(z+u)du=0.}$

Мы говорим что ${displaystyle f}$ куспидальный на куспиде ${displaystyle c}$ если ${displaystyle f'}$ каспидально на бесконечности. Если ${displaystyle f}$ является каспидом на каждой вершине, мы называем ${displaystyle f}$ а куспид.

Приведем простой пример формы веса Маасса ${displaystyle k>1}$ для модульной группы:

Пример. Позволять ${displaystyle g:mathbb {H} o mathbb {C} }$ быть модульной формой равного веса ${displaystyle k}$ за ${displaystyle Gamma (1).}$ потом ${displaystyle f(z):=y^{frac {k}{2}}g(z)}$ форма веса Маасса ${displaystyle k}$ для группы ${displaystyle Gamma (1)}$.

Спектральная проблема

Позволять ${displaystyle Gamma }$ быть конгруэнтной подгруппой группы ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} )}$ и разреши ${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)}$ - векторное пространство всех измеримых функций ${displaystyle f:mathbb {H} o mathbb {C} }$ с ${displaystyle f_{||k}gamma =f}$ для всех ${displaystyle gamma in Gamma }$ удовлетворение

${displaystyle |f|^{2}:=int _{Gamma ackslash mathbb {H} }|f(z)|^{2}dmu (z)<infty }$

функции по модулю с ${displaystyle |f|=0.}$ Интеграл определен корректно, поскольку функция ${displaystyle |f(z)|^{2}}$ является ${displaystyle Gamma }$-инвариантный. Это гильбертово пространство со скалярным произведением

${displaystyle langle f,gangle =int _{Gamma ackslash mathbb {H} }f(z){overline {g(z)}}dmu (z).}$

Оператор ${displaystyle Delta _{k}}$ можно определить в векторном пространстве ${displaystyle Bsubset L^{2}(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)cap C^{infty }(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)}$ что плотно в ${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)}$. Там ${displaystyle Delta _{k}}$ - положительно полуопределенный симметрический оператор. Можно показать, что существует единственное самосопряженное продолжение на ${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash mathbb {H} ,k).}$

Определять ${displaystyle C(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)}$ как пространство всех куспид-форм ${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)cap C^{infty }(Gamma ackslash mathbb {H} ,k).}$ потом ${displaystyle Delta _{k}}$ действует на ${displaystyle C(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)}$ и имеет дискретный спектр. Спектр, принадлежащий ортогональному дополнению, имеет непрерывную часть и может быть описан с помощью (модифицированных) неголоморфных рядов Эйзенштейна, их мероморфных продолжений и их вычетов. (Видеть Ударяться или же Иванец ).

Если ${displaystyle Gamma }$ является дискретной (без кручения) подгруппой группы ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} )}$, так что частное ${displaystyle Gamma ackslash mathbb {H} }$ компактна, спектральная задача упрощается. Это потому, что дискретная кокомпактная подгруппа не имеет точек возврата. Здесь все пространство ${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)}$ представляет собой сумму собственных подпространств.

Встраивание в пространство ${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash G)}$

${displaystyle G=mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} )}$ является локально компактной унимодулярной группой с топологией ${displaystyle mathbb {R} ^{4}.}$ Позволять ${displaystyle Gamma }$ - конгруэнтная подгруппа. С ${displaystyle Gamma }$ дискретна в ${displaystyle G}$, он закрыт в ${displaystyle G}$ также. Группа ${displaystyle G}$ унимодулярна, и поскольку считающая мера является мерой Хаара на дискретной группе ${displaystyle Gamma }$, ${displaystyle Gamma }$ также унимодулярный. По формуле факторного интеграла существует ${displaystyle G}$-правоинвариантная мера Радона ${displaystyle dx}$ на локально компактном пространстве ${displaystyle Gamma ackslash G}$. Позволять ${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash G)}$ быть соответствующим ${displaystyle L^{2}}$-Космос. Это пространство разлагается в прямую сумму гильбертова пространства:

${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash G)=igoplus _{kin mathbb {Z} }L^{2}(Gamma ackslash G,k)}$

куда

${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash G,k):=left{phi in L^{2}(Gamma ackslash G)mid phi (xk_{ heta })=e^{ik heta }F(x)forall xin Gamma ackslash Gforall heta in mathbb {R} ight}}$

и

${displaystyle k_{ heta }={egin{pmatrix}cos( heta )&-sin( heta )sin( heta )&cos( heta )end{pmatrix}}in SO(2), heta in mathbb {R} .}$

Гильбертово пространство ${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)}$ можно изометрически вложить в гильбертово пространство ${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash G,k)}$. Изометрия задается картой

${displaystyle {egin{cases}psi _{k}:L^{2}(Gamma ackslash mathbb {H} ,k) o L^{2}(Gamma ackslash G,k)psi _{k}(f)(g):=f_{||k}gamma (i)end{cases}}}$

Следовательно, все касп-формы Маасса для группы конгруэнции ${displaystyle Gamma }$ можно рассматривать как элементы ${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash G)}$.

${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash G)}$ является гильбертовым пространством, несущим операцию группы ${displaystyle G}$, так называемое правильное регулярное представление:

${displaystyle R_{g}phi :=phi (xg),{ ext{ where }}xin Gamma ackslash G{ ext{ and }}phi in L^{2}(Gamma ackslash G).}$

Легко показать, что ${displaystyle R}$ является унитарным представлением ${displaystyle G}$ на гильбертовом пространстве ${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash G)}$. Один интересуется разложением на неприводимые подпредставления. Это возможно только если ${displaystyle Gamma }$ кокомпактный. В противном случае существует также непрерывная интегральная часть Гильберта. Интересно то, что решение этой проблемы также решает спектральную проблему форм Маасса. (видеть Ударяться, В. 2.3)

Бугорок Маасса

А Бугорок Маасса, подмножество форм Маасса, является функцией на верхняя полуплоскость что трансформируется как модульная форма но не обязательно голоморфный. Впервые они были изучены Ханс Маасс в Маасс (1949).

Определение

Позволять k быть целым числом, s - комплексное число, Γ - дискретная подгруппа из SL₂(р). А Форма Маасса веса k для Γ с собственным значением Лапласа s это гладкий функция от верхняя полуплоскость к комплексным числам, удовлетворяющим следующим условиям:

• Для всех ${displaystyle gamma =left({egin{smallmatrix}a&bc&dend{smallmatrix}}ight)in Gamma }$ и все ${displaystyle zin mathbb {H} }$, у нас есть ${displaystyle fleft({frac {az+b}{cz+d}}ight)=left({frac {cz+d}{|cz+d|}}ight)^{k}f(z).}$

• У нас есть ${displaystyle Delta _{k}f=sf}$, куда ${displaystyle Delta _{k}}$ это вес k гиперболический лапласиан, определяемый как

${displaystyle Delta _{k}=-y^{2}left({frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}ight)+iky{frac {partial }{partial x}}.}$

• Функция ${displaystyle f}$ не более чем полиномиального роста при куспиды.

А слабая форма Маасса определяется аналогично, но с заменой третьего условия на "Функция ${displaystyle f}$ имеет не более чем линейный экспоненциальный рост на куспидах ". Кроме того, ${displaystyle f}$ как говорят гармонический если он аннулируется оператором Лапласа.

Основные результаты

Позволять ${displaystyle f}$ - форма возврата Маасса с весом 0. Его нормализованный коэффициент Фурье при простом числе п ограничен п^7/64 + п^−7/64. Эта теорема связана с Генри Ким и Питер Сарнак. Это приближение к Гипотеза Рамануджана-Петерсона.

Высшие измерения

Кусп-формы Маасса можно рассматривать как автоморфные формы на GL (2). Формы возврата Маасса естественно определить на GL (п) как сферические автоморфные формы на GL (п) над полем рациональных чисел. Их существование доказано Миллером, Мюллером и др.

Автоморфные представления группы аделей

Группа ${displaystyle mathrm {GL} _{2}(mathbb {A} )}$

Позволять ${displaystyle R}$ коммутативное кольцо с единицей и пусть ${displaystyle G_{R}:=mathrm {GL} _{2}(R)}$ быть группой ${displaystyle 2 imes 2}$ матрицы с записями в ${displaystyle R}$ и обратимый определитель. Позволять ${displaystyle mathbb {A} =mathbb {A} _{mathbb {Q} }}$ кольцо рациональных аделей, ${displaystyle mathbb {A} _{ ext{fin}}}$ кольцо конечных (рациональных) аделей и для простого числа ${displaystyle pin mathbb {N} }$ позволять ${displaystyle mathbb {Q} _{p}}$ быть полем п-адические числа. Кроме того, пусть ${displaystyle mathbb {Z} _{p}}$ кольцо целых p-адических чисел (см. Кольцо Adele ). Определять ${displaystyle G_{p}:=G_{mathbb {Q} _{p}}}$. Обе ${displaystyle G_{p}}$ и ${displaystyle G_{mathbb {R} }}$ являются локально компактными унимодулярными группами, если снабдить их топологиями подпространств ${displaystyle mathbb {Q} _{p}^{4}}$ соответственно ${displaystyle mathbb {R} ^{4}}$. Потом:

${displaystyle G_{ ext{fin}}:=G_{mathbb {A} _{ ext{fin}}}cong {widehat {prod _{p<infty }^{K_{p}}}}G_{p}.}$

Правая часть - это ограниченное произведение, касающееся компактных открытых подгрупп ${displaystyle K_{p}:=G_{mathbb {Z} _{p}}}$ из ${displaystyle G_{p}}$. потом ${displaystyle G_{ ext{fin}}}$ локально компактная группа, если снабдить ее топологией ограниченного произведения.

Группа ${displaystyle G_{mathbb {A} }}$ изоморфен

${displaystyle G_{ ext{fin}} imes G_{mathbb {R} }}$

и является локально компактной группой с топологией произведения, поскольку ${displaystyle G_{ ext{fin}}}$ и ${displaystyle G_{mathbb {R} }}$ оба локально компактны.

Позволять

${displaystyle {widehat {mathbb {Z} }}=prod _{p<infty }mathbb {Z} _{p}.}$

Подгруппа

${displaystyle G_{widehat {mathbb {Z} }}:=prod _{p<infty }K_{p}}$

- максимальная компактная открытая подгруппа группы ${displaystyle G_{ ext{fin}}}$ и может рассматриваться как подгруппа ${displaystyle G_{mathbb {A} }}$, когда мы рассматриваем вложение ${displaystyle x_{ ext{fin}}mapsto (x_{ ext{fin}},1_{infty })}$.

Мы определяем ${displaystyle Z_{mathbb {R} }}$ как центр ${displaystyle G_{infty }}$, это означает ${displaystyle Z_{mathbb {R} }}$ - группа всех диагональных матриц вида ${displaystyle {egin{pmatrix}lambda &&lambda end{pmatrix}}}$, куда ${displaystyle lambda in mathbb {R} ^{ imes }}$. Мы думаем о ${displaystyle Z_{mathbb {R} }}$ как подгруппа ${displaystyle G_{mathbb {A} }}$ так как мы можем вложить группу ${displaystyle zmapsto (1_{G_{ ext{fin}}},z)}$.

Группа ${displaystyle G_{mathbb {Q} }}$ вложен по диагонали в ${displaystyle G_{mathbb {A} }}$, что возможно, поскольку все четыре записи ${displaystyle xin G_{mathbb {Q} }}$ может иметь только конечное количество простых делителей и, следовательно, ${displaystyle xin K_{p}}$ для всех, кроме конечного числа простых чисел ${displaystyle pin mathbb {N} }$.

Позволять ${displaystyle G_{mathbb {A} }^{1}}$ быть группой всех ${displaystyle xin G_{mathbb {A} }}$ с ${displaystyle |det(x)|=1}$. (см. Адель Ринг для определения абсолютного значения Идели). Нетрудно подсчитать, что ${displaystyle G_{mathbb {Q} }}$ является подгруппой ${displaystyle G_{mathbb {A} }^{1}}$.

С индивидуальной картой ${displaystyle G_{mathbb {A} }^{1}hookrightarrow G_{mathbb {A} }}$ мы можем идентифицировать группы ${displaystyle G_{mathbb {Q} }ackslash G_{mathbb {A} }^{1}}$ и ${displaystyle G_{mathbb {Q} }Z_{mathbb {R} }ackslash G_{mathbb {A} }}$ друг с другом.

Группа ${displaystyle G_{mathbb {Q} }}$ плотно в ${displaystyle G_{ ext{fin}}}$ и дискретный в ${displaystyle G_{mathbb {A} }}$. Частное ${displaystyle G_{mathbb {Q} }Z_{mathbb {R} }ackslash G_{mathbb {A} }=G_{mathbb {Q} }ackslash G_{mathbb {A} }^{1}}$ не компактно, но имеет конечную меру Хаара.

Следовательно, ${displaystyle G_{mathbb {Q} }}$ это решетка ${displaystyle G_{mathbb {A} }^{1},}$ аналогично классическому случаю модулярной группы и ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} )}$. Путем гармонического анализа также получается, что ${displaystyle G_{mathbb {A} }^{1}}$ унимодулярный.

Аделизация бугров

Теперь мы хотим вложить классические касп-формы Маасса веса 0 для модулярной группы в ${displaystyle Z_{mathbb {R} }G_{mathbb {Q} }ackslash G_{mathbb {A} }}$. Этого можно достичь с помощью «теоремы сильного приближения», которая утверждает, что отображение

${displaystyle psi :G_{mathbb {Z} }x_{infty }mapsto G_{mathbb {Q} }(1,x_{infty })G_{widehat {mathbb {Z} }}}$

это ${displaystyle G_{mathbb {R} }}$-эквивариантный гомеоморфизм. Итак, мы получаем

${displaystyle G_{mathbb {Z} }ackslash G_{mathbb {R} }{overset {sim }{ o }}G_{mathbb {Q} }ackslash G_{mathbb {A} }/G_{widehat {mathbb {Z} }}}$

и, кроме того

${displaystyle G_{mathbb {Z} }Z_{mathbb {R} }ackslash G_{mathbb {R} }{overset {sim }{ o }}G_{mathbb {Q} }Z_{mathbb {R} }ackslash G_{mathbb {A} }/G_{widehat {mathbb {Z} }}.}$

Куспформы Маасса веса 0 для модульной группы могут быть вложены в

${displaystyle L^{2}(mathrm {SL} _{2}(mathbb {Z} )ackslash mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} ))cong L^{2}(mathrm {GL} _{2}(mathbb {Z} )Z_{mathbb {R} }ackslash mathrm {GL} _{2}(mathbb {R} )).}$

По сильной аппроксимационной теореме это пространство унитарно изоморфно

${displaystyle L^{2}(G_{mathbb {Q} }Z_{mathbb {R} }ackslash G_{mathbb {A} }/G_{widehat {mathbb {Z} }})cong L^{2}(G_{mathbb {Q} }Z_{mathbb {R} }ackslash G_{mathbb {A} })^{G_{widehat {mathbb {Z} }}}}$

которое является подпространством ${displaystyle L^{2}(G_{mathbb {Q} }Z_{mathbb {R} }ackslash G_{mathbb {A} }).}$

Таким же образом можно вложить классические голоморфные касп-формы. С помощью небольшого обобщения аппроксимационной теоремы можно вложить все касп-формы Маасса (а также голоморфные касп-формы) любого веса для любой конгруэнтной подгруппы ${displaystyle Gamma }$ в ${displaystyle L^{2}(G_{mathbb {Q} }Z_{mathbb {R} }ackslash G_{mathbb {A} })}$.

Мы называем ${displaystyle L^{2}(G_{mathbb {Q} }Z_{mathbb {R} }ackslash G_{mathbb {A} })}$ пространство автоморфных форм группы аделей.

Куспид-формы группы аделей

Позволять ${displaystyle R}$ быть кольцом и пусть ${displaystyle N_{R}}$ быть группой всех ${displaystyle {egin{pmatrix}1&r&1end{pmatrix}},}$ куда ${displaystyle rin R}$. Эта группа изоморфна аддитивной группе р.

Мы называем функцию ${displaystyle fin L^{2}(G_{mathbb {Q} }ackslash G_{mathbb {A} }^{1})}$ куспид, если

${displaystyle int _{N_{mathbb {Q} }ackslash N_{mathbb {A} }}f(nx)dn=0}$

касается почти всех${displaystyle xin G_{mathbb {Q} }ackslash G_{mathbb {A} }^{1}}$. Позволять ${displaystyle L_{ ext{cusp}}^{2}(G_{mathbb {Q} }ackslash G_{mathbb {A} }^{1})}$ (или просто ${displaystyle L_{ ext{cusp}}^{2}}$) - векторное пространство этих касп-форм. ${displaystyle L_{ ext{cusp}}^{2}}$ является замкнутым подпространством в ${displaystyle L^{2}(G_{mathbb {Q} }Z_{mathbb {R} }ackslash G_{mathbb {A} })}$ и инвариантен относительно правильного регулярного представления ${displaystyle G_{mathbb {A} }^{1}.}$

Снова интересует разложение ${displaystyle L_{ ext{cusp}}^{2}}$ на неприводимые замкнутые подпространства.

У нас есть следующие теорема :

Космос ${displaystyle L_{ ext{cusp}}^{2}}$ разлагается в прямую сумму неприводимых гильбертовых пространств конечной кратности ${displaystyle N_{ ext{cusp}}(pi )in mathbb {N} _{0}}$ :

${displaystyle L_{ ext{cusp}}^{2}={widehat {igoplus _{pi in {widehat {G}}_{mathbb {A} }}}}N_{ ext{cusp}}(pi )pi }$

Расчет этих кратностей ${displaystyle N_{ ext{cusp}}(pi )}$ - одна из важнейших и самых сложных проблем теории автоморфных форм.

Куспиальные представления группы аделей

Неприводимое представление ${displaystyle pi }$ группы ${displaystyle G_{mathbb {A} }}$ называется каспидальным, если оно изоморфно подпредставлению ${displaystyle L_{ ext{cusp}}^{2}}$ ист.

Неприводимое представление ${displaystyle pi }$ группы ${displaystyle G_{mathbb {A} }}$ называется допустимой, если существует компактная подгруппа ${displaystyle K}$ из ${displaystyle Ksubset G_{mathbb {A} }}$, так что ${displaystyle dim _{K}(V_{pi },V_{ au })<infty }$ для всех ${displaystyle au in {widehat {G}}_{mathbb {A} }}$.

Можно показать, что любое каспидальное представление допустимо.

Допустимость необходима для доказательства так называемой тензорной теоремы anzuwenden, которая гласит, что каждое неприводимое, унитарное и допустимое представление группы ${displaystyle G_{mathbb {A} }}$ изоморфно бесконечному тензорному произведению

${displaystyle igotimes _{pleq infty }pi _{p}.}$

В ${displaystyle pi _{p}}$ неприводимые представления группы ${displaystyle G_{p}}$. Практически все они нуждаются в уммификации.

(Представление ${displaystyle pi _{p}}$ группы ${displaystyle G_{p}}$ ${displaystyle (p<infty )}$ называется неразветвленным, если векторное пространство

${displaystyle V_{pi _{p}}^{K_{p}}={vin V_{pi _{p}}mid pi _{p}(k)v=vforall kin K_{p}}}$

не нулевое пространство.)

Конструкцию бесконечного тензорного произведения можно найти в Дейтмар, С.7.

Автоморфные L-функции

Позволять ${displaystyle pi }$ - неприводимое допустимое унитарное представление ${displaystyle G_{mathbb {A} }}$. По теореме о тензорном произведении ${displaystyle pi }$ имеет форму ${displaystyle pi =igotimes _{pleq infty }pi _{p}}$ (см. каспидальные представления группы аделей)

Позволять ${displaystyle S}$ - конечное множество мест, содержащих ${displaystyle infty }$ и все разветвленные места. Один определяет глобальную функцию Гекке ${displaystyle pi }$ в качестве

${displaystyle L^{S}(s,pi ):=prod _{potin S}L(s,pi _{p})}$

куда ${displaystyle L(s,pi _{p})}$ является так называемой локальной L-функцией локального представления ${displaystyle pi _{p}}$. Конструкцию локальных L-функций можно найти в Дейтмар С. 8.2.

Если ${displaystyle pi }$ является каспидальным представлением, L-функция ${displaystyle L^{S}(s,pi )}$ имеет мероморфное продолжение на ${displaystyle mathbb {C} .}$ Это возможно, так как ${displaystyle L^{S}(s,pi )}$, удовлетворяет некоторым функциональным уравнениям.

Смотрите также

• Гармоническая форма Маасса
• Макет модульной формы
• Реальный аналитический ряд Эйзенштейна
• Автоморфная форма
• Модульная форма
• Формула Вороного

Рекомендации

• Брингманн, Катрин; Фолсом, Аманда (2014), «Почти гармонические формы Маасса и характеры Каца – Вакимото», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 694: 179–202, arXiv:1112.4726, Дои:10.1515 / crelle-2012-0102, МИСТЕР  3259042
• Bump, Дэниел (1997), Автоморфные формы и представления, Кембриджские исследования по высшей математике, 55, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511609572, ISBN  978-0-521-55098-7, МИСТЕР  1431508
• Антон Дейтмар: Автоморф Формен. Springer, Berlin / Heidelberg u. а. 2010, ISBN  978-3-642-12389-4.
• Герцог, В.; Фридлендер, Дж. Б.; Иванец, Х. (2002), "Проблема субвыпуклости для Артина L-функции », Inventiones Mathematicae, 149 (3): 489–577, Дои:10.1007 / s002220200223, МИСТЕР  1923476
• Хенрик Иванец  : Спектральные методы автоморфных форм (аспирантура по математике). Американское математическое общество; Auflage: 2. (ноябрь 2002 г.), ISBN  978-0821831601.
• Маасс, Ганс (1949), "Uber eine neue Art von nichtanalytischen automorphen Funktionen und die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen", Mathematische Annalen, 121: 141–183, Дои:10.1007 / BF01329622, МИСТЕР  0031519