Магический гиперпучок - Magic hyperbeam

А магический гиперпучок (n-мерный магический прямоугольник) является вариацией магический гиперкуб где заказы по каждому направлению могут быть разными. Как таковой магический гиперпучок обобщает двумерный магический прямоугольник и трехмерный волшебный луч, серия, имитирующая серию магический квадрат, волшебный куб и магический гиперкуб. Эта статья будет имитировать магические гиперкубы статья в подробностях, и так же, как эта статья служит просто введением в тему.

Конвенции

Принято обозначать измерение с буквой "н" и заказы гиперпучка с буквой «м» (с добавленным номером в нижнем индексе направления, к которому он применяется).

• (п) Измерение : количество направлений внутри гиперпучка.
• (м_k) Заказ : количество чисел вдоль kй моногональный k = 0, ..., п − 1.

Далее: В этой статье аналитический диапазон чисел [0 .._{к = 0}∏^п-1м_k-1] уже используется.

Обозначения

для того, чтобы держать вещи под рукой, были разработаны специальные обозначения:

• [ _kя; k = [0..n-1]; я = [0..м_k-1] ]: позиции в гиперпучке
• < _kя; k = [0..n-1]; я = [0..м_k-1] >: векторы через гиперпучок

Примечание. Обозначение позиции также может использоваться для значения в этой позиции. Там, где это соответствующий размер и к нему могут быть добавлены заказы, формируя: ^п[_kя]_{м0, .., мп-1}

Строительство

Базовый

Здесь можно разместить описание более общих методов, я не часто создаю гипербуч, поэтому не знаю, работает ли здесь Knightjump или Latin Prescription. Иногда достаточно других специальных методов, мне нужен гипербол.

Умножение

Среди различных способов сложения умножение^[1] можно рассматривать как самый простой из этих методов. В базовое умножение дан кем-то:

пB(м ..)1 * пB(м ..)2 : п[kя](м ..)1(м ..)2 = п[ [[kяk2]](м ..)1к = 0∏п-1мk1](м ..)2 + [kяk2](м ..)2](м ..)1(м ..)2

(м ..) сокращенно: м₀, .., м_п-1.
(м ..)₁(м ..)₂ сокращения: м₀₁м₀₂, .., м_п-11м_п-12.

Любопытства

все заказы либо четные, либо нечетные

Факт, который легко увидеть, поскольку магические суммы:

Sk = мk (j = 0∏п-1мj - 1) / 2

Когда любой из заказов м_k четное, произведение четное и, следовательно, единственный способ S_k оказывается целое число, когда все m_k четные.
Таким образом, достаточно: все m_k либо четные, либо нечетные.

Это за исключением m_k= 1, конечно, что позволяет использовать такие общие тождества, как:

• N_м^т = N_{м, 1} * N_{1, м}
• N_м = N_{1, м} * N_{м, 1}

Что выходит за рамки этой вводной статьи

Только одно направление с порядком = 2

поскольку любое число имеет только одно дополнение, только одно из направлений может иметь m_k = 2.

Аспекты

Гиперпучок знает 2^п Аспективные варианты, полученные путем согласованного отражения ([_ki] -> [_k(-i)]) фактически дает Аспективный вариант:

пB(м0..мп-1)~ R ; R = к = 0∑п-1 ((отразить (k))? 2k : 0) ;

Где отражать (k) истина, если и только если координата k отражается, только тогда 2^k добавляется к R.

Если рассматривать разные ориентации луча как равные, можно увидеть количество аспектов. п! 2^п так же, как с магические гиперкубы, направления с равным порядком влияют на факторы в зависимости от порядков гиперпучка. Это выходит за рамки данной статьи.

Основные манипуляции

Помимо более конкретных манипуляций, следующие имеют более общий характер.

• ^ [разрешить (0..n-1)] : согласованная перестановка (n == 2: транспонировать)
• _2^ось[пермь (0..м-1)] : моногональная перестановка (ось ε [0..n-1])

Примечание. '^' И '_' являются неотъемлемой частью обозначения и используются в качестве селекторов манипуляции.

Координатная перестановка

Обмен coördinaat [_kя] в [_{пермь (к)}i], поскольку из-за n координат требуется перестановка по этим n направлениям.
Период, термин транспонировать (обычно обозначается ^т) используется с двумерными матрицами, хотя, возможно, предпочтительнее будет "согласованная перестановка".

Монагональная перестановка

Определяется как изменение [_kя] в [_kпермь (я)] рядом с заданным «осевым» направлением. Равные перестановки по различным осям с равными порядками можно объединить, добавив множители 2^ось. Таким образом, определяя все виды r-агональных перестановок для любого r. Легко видеть, что все возможности даются соответствующей перестановкой m чисел.

нормальное положение

Если никакие ограничения на n-агонали не рассматриваются, можно представить магический гиперпучок, показанный на "нормальное положение" к:

[ki] <[k(i + 1)]; я = 0..мk-2 (моногональной перестановкой)

Квалификация

Квалификационный гипербрус менее развит, чем на магические гиперкубы фактически только k-е моногональное направление необходимо суммировать:

Sk = мk (j = 0∏п-1мj - 1) / 2

для всех k = 0..n-1 для аттестации гипербуча {магия}

Когда заказы не являются относительно простыми, n-агональная сумма может быть ограничена до:

S = lcm (мя ; я = 0..n-1) (j = 0∏п-1мj - 1) / 2

со всеми порядками относительно простых это достигает максимума:

SМаксимум = j = 0∏п-1мj (j = 0∏п-1мj - 1) / 2

Специальные гипербучи

Следующие гиперпучки служат для специальных целей:

«Нормальный гиперпучок»

пNм0, .., мп-1 : [kя] = к = 0∑п-1 kяkk

Этот гиперпучок можно рассматривать как источник всех чисел. Процедура называется «Динамическая нумерация» использует изоморфизм каждого гиперпучка с этой нормалью, изменяя источник, изменяет гиперпучок. Базовые умножения нормальных гиперпучков играют особую роль с «Динамическая нумерация» из магические гиперкубы порядка _{к = 0}∏^п-1 м^k.

«Константа 1»

п1м0, .., мп-1 : [kя] = 1

Гиперпучок, который обычно добавляют, чтобы изменить используемый здесь «аналитический» диапазон чисел на «обычный» диапазон чисел. Другие постоянные гиперпучки, конечно, кратны этому.

Смотрите также

• Магические гиперкубы

Рекомендации

1. это гиперпучковая версия (pe.): Умножение магического квадрата алана адлера

дальнейшее чтение

• Томас Р. Хагедорн, О существовании магических n-мерных прямоугольников, Дискретная математика 207 (1999), 53-63.
• Томас Р. Хагедорн, Возвращение к волшебным прямоугольникам, Дискретная математика 207 (1999), 65-72.
• Мариан Тренклер, Волшебные прямоугольники, The Mathematical Gazette 83 (1999), 102-105.
• Харви Д. Хайнц и Джон Р. Хендрикс, Magic Square Lexicon: Illustrated, самоиздан, 2000, ISBN  0-9687985-0-0.

внешняя ссылка

• http://www.magichypercubes.com/Encyclopedia
• Мариан Тренклар Куб-Ref.html
• Мицутоши Накамура: Прямоугольники