Пандиагональный магический квадрат - Pandiagonal magic square

А пандиагональный магический квадрат или панмагический квадрат (также дьявольский квадрат, дьявольский квадрат или дьявольский магический квадрат) это магический квадрат с дополнительным свойством, что ломаные диагонали, т.е. диагонали, которые закругляются по краям квадрата, также складываются в магическая константа.

Пандиагональный магический квадрат остается пандиагональным магическим не только под вращение или отражение, но также, если строка или столбец переехал с одной стороны квадрата на противоположную. Таким образом, ${\displaystyle n\times n}$ пандиагональный магический квадрат можно рассматривать как имеющий ${\displaystyle 8n^{2}}$ ориентации.

3 × 3 пандиагональных магических квадрата

Можно показать, что нетривиальный пандиагональных магических квадратов третьего порядка не существует. Предположим, что квадрат

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline \!\!a_{11}\!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!&\!\!a_{13}\!\!\!\\\hline \!\!a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!&\!\!a_{23}\!\!\!\\\hline \!\!a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!&\!\!a_{33}\!\!\!\\\hline \end{array}}}$

пандиагонально магия с магической суммой ${\displaystyle s}$. Суммы складываются ${\displaystyle a_{11}+a_{22}+a_{33},}$ ${\displaystyle a_{12}+a_{22}+a_{32},}$ и ${\displaystyle a_{13}+a_{22}+a_{31}}$ приводит к ${\displaystyle 3s}$. Вычитание ${\displaystyle a_{11}+a_{12}+a_{13}}$ и ${\displaystyle a_{31}+a_{32}+a_{33},}$ мы получаем ${\displaystyle 3a_{22}=s}$. Однако, если мы переместим третий столбец вперед и проведем то же доказательство, мы получим ${\displaystyle 3a_{21}=s}$. Фактически, используя симметрии магических квадратов 3 × 3, все клетки должны быть равны ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}s}$. Следовательно, все пандиагональные магические квадраты 3 × 3 должны быть тривиальными.

Однако, если обобщить концепцию магического квадрата и включить геометрические фигуры вместо чисел, то геометрические магические квадраты обнаружен Ли Саллоус - Пандиагональный магический квадрат 3 × 3 действительно существует.

4 × 4 пандиагональных магических квадрата

Диаграмма Эйлера требований некоторых типов магических квадратов 4 × 4. Ячейки одного цвета суммируются с магической константой.

Самые маленькие нетривиальные пандиагональные магические квадраты - это квадраты 4 × 4. Все пандиагональные магические квадраты 4 × 4 должны быть трансляционно симметричный к форме ^[1]

а	а + б + c + е	а + c + d	а + б + d + е
а + б + c + d	а + d + е	а + б	а + c + е
а + б + е	а + c	а + б + c + d + е	а + d
а + c + d + е	а + б + d	а + е	а + б + c

Поскольку каждый подквадрат 2 × 2 суммируется с магической постоянной, пандиагональные магические квадраты 4 × 4 равны самый совершенный магический квадрат. Кроме того, два числа в противоположных углах любого квадрата 3 × 3 в сумме составляют половину магической суммы. Следовательно, все пандиагональные магические квадраты 4 × 4, которые ассоциативный должны иметь повторяющиеся ячейки.

Все пандиагональные магические квадраты 4 × 4 с числами 1-16 без дубликатов получаются, если а равно 1; позволяя б, c, d, и е равны 1, 2, 4 и 8 в некотором порядке; и применяя некоторые перевод. Например, с б = 1, c = 2, d = 4, и е = 8, у нас есть магический квадрат

1	8	13	12
14	11	2	7
4	5	16	9
15	10	3	6

Количество пандиагональных магических квадратов 4 × 4, использующих числа 1-16 без дубликатов, составляет 384 (16 × 24, где 16 составляет перевод, а 24 - 4! Способов присвоить 1, 2, 4 и 8 значениям б, c, d, и е).

Пандиагональные магические квадраты 5 × 5

Есть много пандиагональных магических квадратов 5 × 5. В отличие от пандиагональных магических квадратов 4 × 4, они могут быть ассоциативный. Ниже приведен ассоциативный пандиагональный магический квадрат 5 × 5:

20	8	21	14	2
11	4	17	10	23
7	25	13	1	19
3	16	9	22	15
24	12	5	18	6

Помимо строк, столбцов и диагоналей, пандиагональный магический квадрат 5 × 5 также показывает свою магическую сумму в четырех "Quincunx "шаблоны, которые в приведенном выше примере:

17 + 25 + 13 + 1 + 9 = 65 (центр плюс квадраты соседних строк и столбцов)

21 + 7 + 13 + 19 + 5 = 65 (центр плюс оставшиеся квадраты строки и столбца)

4 + 10 + 13 + 16 + 22 = 65 (центр плюс прилегающие по диагонали квадраты)

20 + 2 + 13 + 24 + 6 = 65 (центр плюс оставшиеся квадраты на его диагоналях)

Каждый из этих квинконсов может быть переведен в другие позиции в квадрате путем циклической перестановки строк и столбцов (обертывания), что в пандиагональном магическом квадрате не влияет на равенство магических сумм. Это приводит к 100 сумм квинконса, включая сломанные квинконсы, аналогичные сломанным диагоналям.

Суммы quincunx можно доказать, взяв линейные комбинации сумм по строкам, столбцам и диагонали. Рассмотрим пандиагональный магический квадрат

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \!\!a_{11}\!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!&\!\!a_{13}\!\!\!&\!\!a_{14}\!\!\!&\!\!a_{15}\!\!\!\\\hline \!\!a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!&\!\!a_{23}\!\!\!&\!\!a_{24}\!\!\!&\!\!a_{25}\!\!\!\\\hline \!\!a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!&\!\!a_{33}\!\!\!&\!\!a_{34}\!\!\!&\!\!a_{35}\!\!\!\\\hline \!\!a_{41}\!\!\!&\!\!a_{42}\!\!\!&\!\!a_{43}\!\!\!&\!\!a_{44}\!\!\!&\!\!a_{45}\!\!\!\\\hline \!\!a_{51}\!\!\!&\!\!a_{52}\!\!\!&\!\!a_{53}\!\!\!&\!\!a_{54}\!\!\!&\!\!a_{55}\!\!\!\\\hline \end{array}}}$

с магической суммой s. Чтобы доказать сумму quincunx ${\displaystyle a_{11}+a_{15}+a_{33}+a_{51}+a_{55}=s}$ (что соответствует приведенному выше примеру 20 + 2 + 13 + 24 + 6 = 65), мы можем сложить вместе следующее:

3 раза каждую диагональную сумму ${\displaystyle a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}+a_{55}}$ и ${\displaystyle a_{15}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{51}}$,

Диагональные суммы ${\displaystyle a_{11}+a_{25}+a_{34}+a_{43}+a_{52}}$, ${\displaystyle a_{12}+a_{23}+a_{34}+a_{45}+a_{51}}$, ${\displaystyle a_{14}+a_{23}+a_{32}+a_{41}+a_{55}}$, и ${\displaystyle a_{15}+a_{21}+a_{32}+a_{43}+a_{54}}$,

Суммы строк ${\displaystyle a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}+a_{15}}$ и ${\displaystyle a_{51}+a_{52}+a_{53}+a_{54}+a_{55}}$.

Из этой суммы вычтите следующее:

Суммы строк ${\displaystyle a_{21}+a_{22}+a_{23}+a_{24}+a_{25}}$ и ${\displaystyle a_{41}+a_{42}+a_{43}+a_{44}+a_{45}}$,

Сумма столбца ${\displaystyle a_{13}+a_{23}+a_{33}+a_{43}+a_{53}}$,

Дважды каждая сумма столбца ${\displaystyle a_{12}+a_{22}+a_{32}+a_{42}+a_{52}}$ и ${\displaystyle a_{14}+a_{24}+a_{34}+a_{44}+a_{54}}$.

Чистый результат ${\displaystyle 5a_{11}+5a_{15}+5a_{33}+5a_{51}+5a_{55}=5s}$, которое делится на 5, дает сумму квинконса. Подобные линейные комбинации могут быть построены для других паттернов квинконса. ${\displaystyle a_{23}+a_{32}+a_{33}+a_{34}+a_{43}}$, ${\displaystyle a_{13}+a_{31}+a_{33}+a_{35}+a_{53}}$, и ${\displaystyle a_{22}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{44}}$.

(4п+2)×(4п+2) пандиагональные магические квадраты с непоследовательными элементами

Не существует пандиагонального магического квадрата порядка ${\displaystyle 4n+2}$ если используются последовательные целые числа. Но некоторые последовательности непоследовательных целых чисел допускают порядок - (${\displaystyle 4n+2}$) пандиагональные магические квадраты.

Рассмотрим сумму 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 = 24. Эту сумму можно разделить пополам, взяв соответствующие группы из трех слагаемых, или на трети, используя группы из двух слагаемых:

1+5+6 = 2+3+7 = 12

1+7 = 2+6 = 3+5 = 8

Дополнительное равное разбиение суммы квадратов гарантирует полумагическое свойство, указанное ниже:

1²+5²+6² = 2²+3²+7² = 62

Обратите внимание, что последовательная целочисленная сумма 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, нечетная сумма, не имеет половинного разделения.

При наличии обоих одинаковых разделов числа 1, 2, 3, 5, 6, 7 могут быть организованы в пандигональные узоры 6x6. А и Bсоответственно:

1	5	6	7	3	2
5	6	1	3	2	7
6	1	5	2	7	3
1	5	6	7	3	2
5	6	1	3	2	7
6	1	5	2	7	3

6	5	1	6	5	1
1	6	5	1	6	5
5	1	6	5	1	6
2	3	7	2	3	7
7	2	3	7	2	3
3	7	2	3	7	2

потом ${\displaystyle 7A+B-7C}$ (где C - магический квадрат с 1 для всех ячеек) дает непоследовательный пандиагональный квадрат 6x6:

6	33	36	48	19	8
29	41	5	15	13	47
40	1	34	12	43	20
2	31	42	44	17	14
35	37	3	21	9	45
38	7	30	10	49	16

с максимальным элементом 49 и пандиагональной магической суммой 150. Этот квадрат является пандиагональным и полубимагическим, это означает, что строки, столбцы, главные диагонали и ломаные диагонали имеют сумму 150 и, если возвести в квадрат все числа в квадрате, только строки и столбцы являются магическими и имеют сумму 5150.

Для 10-го порядка аналогичное построение возможно с использованием равных разбиений суммы 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 70:

1+3+9+10+12 = 2+4+5+11+13 = 35

1+13 = 2+12 = 3+11 = 4+10 = 5+9 = 14

1²+3²+9²+10²+12² = 2²+4²+5²+11²+13² = 335 (равное разбиение квадратов; полумагическое свойство)

Это приводит к квадратам, имеющим максимальный элемент 169 и пандиагональную магическую сумму 850, которые также являются полумагическими с суммой квадратов в каждой строке или столбце, равной 102 850.

(6п±1)×(6п± 1) пандиагональные магические квадраты

А ${\displaystyle (6n\pm 1)\times (6n\pm 1)}$ Пандиагональный магический квадрат можно построить по следующему алгоритму.

1. Установите первый столбец квадрата с первым ${\displaystyle 6n\pm 1}$ натуральные числа.

   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7

2. Скопируйте первый столбец во второй столбец, но сдвиньте его по кольцу на 2 строки.

   1	6
   2	7
   3	1
   4	2
   5	3
   6	4
   7	5

3. Продолжайте копировать текущий столбец в следующий столбец с кольцевым сдвигом на 2 строки, пока квадрат не заполнится полностью.

   1	6	4	2	7	5	3
   2	7	5	3	1	6	4
   3	1	6	4	2	7	5
   4	2	7	5	3	1	6
   5	3	1	6	4	2	7
   6	4	2	7	5	3	1
   7	5	3	1	6	4	2

4. Постройте второй квадрат и скопируйте в него транспонирование первого квадрата.

   А   1    6    4    2    7    5    3    2    7    5    3    1    6    4    3    1    6    4    2    7    5    4    2    7    5    3    1    6    5    3    1    6    4    2    7    6    4    2    7    5    3    1    7    5    3    1    6    4    2

   ${\displaystyle A^{T}}$   1    2    3    4    5    6    7    6    7    1    2    3    4    5    4    5    6    7    1    2    3    2    3    4    5    6    7    1    7    1    2    3    4    5    6    5    6    7    1    2    3    4    3    4    5    6    7    1    2

5. Постройте последний квадрат, умножив второй квадрат на ${\displaystyle 6n\pm 1}$, складывая первый квадрат и вычитая ${\displaystyle 6n\pm 1}$ в каждой ячейке квадрата.

   Пример: ${\displaystyle A+(6n\pm 1)A^{T}-(6n\pm 1)B}$, где B - это магический квадрат, в котором все ячейки равны 1.

   1	13	18	23	35	40	45
   37	49	5	10	15	27	32
   24	29	41	46	2	14	19
   11	16	28	33	38	43	6
   47	3	8	20	25	30	42
   34	39	44	7	12	17	22
   21	26	31	36	48	4	9

4п×4п пандиагональные магические квадраты

А ${\displaystyle 4n\times 4n}$ Пандиагональный магический квадрат можно построить по следующему алгоритму.

1. Поставь первый ${\displaystyle 2n}$ натуральные числа в первую строку и первую ${\displaystyle 2n}$ столбцы квадрата.

   1	2	3	4

2. Поставить следующий ${\displaystyle 2n}$ натуральные числа под первым ${\displaystyle 2n}$ натуральные числа наоборот. Каждая вертикальная пара должна иметь одинаковую сумму.

   1	2	3	4
   8	7	6	5

3. Скопируй это ${\displaystyle 2\times 2n}$ прямоугольник ${\displaystyle 2n-1}$ раз ниже первого прямоугольника.

   1	2	3	4
   8	7	6	5
   1	2	3	4
   8	7	6	5
   1	2	3	4
   8	7	6	5
   1	2	3	4
   8	7	6	5

4. Скопируйте левую ${\displaystyle 4n\times 2n}$ прямоугольник вправо ${\displaystyle 4n\times 2n}$ прямоугольник, но сдвиньте его по кольцу на один ряд.

   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4
   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4
   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4
   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4

5. Постройте второй квадрат 4n × 4n и скопируйте в него первый квадрат, но поверните его на 90 °.

   А   1    2    3    4    8    7    6    5    8    7    6    5    1    2    3    4    1    2    3    4    8    7    6    5    8    7    6    5    1    2    3    4    1    2    3    4    8    7    6    5    8    7    6    5    1    2    3    4    1    2    3    4    8    7    6    5    8    7    6    5    1    2    3    4

   B   5    4    5    4    5    4    5    4    6    3    6    3    6    3    6    3    7    2    7    2    7    2    7    2    8    1    8    1    8    1    8    1    4    5    4    5    4    5    4    5    3    6    3    6    3    6    3    6    2    7    2    7    2    7    2    7    1    8    1    8    1    8    1    8

6. Постройте последний квадрат, умножив второй квадрат на ${\displaystyle 4n}$, складывая первый квадрат и вычитая ${\displaystyle 4n}$ в каждой ячейке квадрата.

   Пример: ${\displaystyle A+4nB-4nC}$, где C - это магический квадрат, в котором все ячейки равны 1.

   33	26	35	28	40	31	38	29
   48	23	46	21	41	18	43	20
   49	10	51	12	56	15	54	13
   64	7	62	5	57	2	59	4
   25	34	27	36	32	39	30	37
   24	47	22	45	17	42	19	44
   9	50	11	52	16	55	14	53
   8	63	6	61	1	58	3	60

Если мы построим ${\displaystyle 4n\times 4n}$ пандиагональный магический квадрат с этим алгоритмом то каждый ${\displaystyle 2\times 2}$ квадрат в ${\displaystyle 4n\times 4n}$ квадрат будет иметь такую ​​же сумму. Поэтому многие симметричные паттерны ${\displaystyle 4n}$ ячейки имеют ту же сумму, что и любая строка и любой столбец ${\displaystyle 4n\times 4n}$ квадрат. Особенно каждый ${\displaystyle 2n\times 2}$ и каждый ${\displaystyle 2\times 2n}$ прямоугольник будет иметь ту же сумму, что и любая строка и любой столбец ${\displaystyle 4n\times 4n}$ квадрат. В ${\displaystyle 4n\times 4n}$ квадрат также Самый совершенный магический квадрат.

(6п+3)×(6п+3) пандиагональные магические квадраты

А ${\displaystyle (6n+3)\times (6n+3)}$ Пандиагональный магический квадрат можно построить по следующему алгоритму.

1. Создать ${\displaystyle (2n+1)\times 3}$ прямоугольник с первым ${\displaystyle 6n+3}$ натуральные числа, чтобы в каждом столбце была одинаковая сумма. Вы можете сделать это, начав с магического квадрата 3 × 3 и расположив остальные ячейки прямоугольника в меандр -стиль. Вы также можете использовать узор, показанный в следующих примерах.

   Для квадрата 9 × 9  1   2   3   5   6   4   9   7   8  сумма по вертикали = 15

   Для квадрата 15 × 15  1   2   3   5   6   4   9   7   8   10   11   12   15   14   13  сумма по вертикали = 40

   Для квадрата 21 × 21  1   2   3   5   6   4   9   7   8  10 11 12 15 14 13 16 17 18 21 20 19 сумма по вертикали = 77

2. Поместите этот прямоугольник в левый верхний угол ${\displaystyle (6n+3)\times (6n+3)}$ квадрат и две копии прямоугольника под ним так, чтобы первые 3 столбца квадрата были заполнены полностью.

   1	2	3
   5	6	4
   9	7	8
   1	2	3
   5	6	4
   9	7	8
   1	2	3
   5	6	4
   9	7	8

3. Скопируйте 3 левых столбца в следующие 3 столбца, но сдвиньте их по кольцу на 1 строку.

   1	2	3	9	7	8
   5	6	4	1	2	3
   9	7	8	5	6	4
   1	2	3	9	7	8
   5	6	4	1	2	3
   9	7	8	5	6	4
   1	2	3	9	7	8
   5	6	4	1	2	3
   9	7	8	5	6	4

4. Продолжайте копировать текущие 3 столбца в следующие 3 столбца, сдвинутые по кольцу на 1 строку, пока квадрат не заполнится полностью.

   1	2	3	9	7	8	5	6	4
   5	6	4	1	2	3	9	7	8
   9	7	8	5	6	4	1	2	3
   1	2	3	9	7	8	5	6	4
   5	6	4	1	2	3	9	7	8
   9	7	8	5	6	4	1	2	3
   1	2	3	9	7	8	5	6	4
   5	6	4	1	2	3	9	7	8
   9	7	8	5	6	4	1	2	3

5. Постройте второй квадрат и скопируйте в него транспонирование первого квадрата.

   А   1    2    3    9    7    8    5    6    4   5   6   4   1   2   3   9   7   8   9   7   8   5   6   4   1   2   3   1   2   3   9   7   8   5   6   4   5   6   4   1   2   3   9   7   8   9   7   8   5   6   4   1   2   3   1   2   3   9   7   8   5   6   4   5   6   4   1   2   3   9   7   8   9   7   8   5   6   4   1   2   3

   ${\displaystyle A^{T}}$   1    5    9    1    5    9    1    5    9   2   6   7   2   6   7   2   6   7   3   4   8   3   4   8   3   4   8   9   1   5   9   1   5   9   1   5   7   2   6   7   2   6   7   2   6   8   3   4   8   3   4   8   3   4   5   9   1   5   9   1   5   9   1   6   7   2   6   7   2   6   7   2   4   8   3   4   8   3   4   8   3

6. Постройте последний квадрат, умножив второй квадрат на ${\displaystyle 6n+3}$, складывая первый квадрат и вычитая ${\displaystyle 6n+3}$ в каждой ячейке квадрата.

   Пример: ${\displaystyle A+(6n+3)A^{T}-(6n+3)B}$, где B - это магический квадрат, в котором все ячейки равны 1.

   1	38	75	9	43	80	5	42	76
   14	51	58	10	47	57	18	52	62
   27	34	71	23	33	67	19	29	66
   73	2	39	81	7	44	77	6	40
   59	15	49	55	11	48	63	16	53
   72	25	35	68	24	31	64	20	30
   37	74	3	45	79	8	41	78	4
   50	60	13	46	56	12	54	61	17
   36	70	26	32	69	22	28	65	21

использованная литература

1. Нг, Луи (13 мая 2018 г.). «Магический счет с вывернутыми наизнанку многогранниками» (PDF).

• У. С. Эндрюс, Магические квадраты и кубики. Нью-Йорк: Довер, 1960. Первоначально напечатано в 1917 году. См. Особенно главу X.

внешние ссылки

• Panmagic Square в MathWorld
• http://www.azspcs.net/Contest/PandiagonalMagicSquares