Производная Маллявэна - Malliavin derivative

В математика, то Производная Маллявэна это понятие производная в Исчисление Маллявэна. Интуитивно это понятие производной подходит для путей в классическое винеровское пространство, которые «обычно» не дифференцируемы в обычном смысле.^{[нужна цитата ]}

Определение

Позволять ${displaystyle H}$ быть Пространство Камерона – Мартина, и ${displaystyle C_{0}}$ обозначать классическое винеровское пространство:

${displaystyle H:={fin W^{1,2}([0,T];mathbb {R} ^{n});|;f(0)=0}:={{ ext{paths starting at 0 with first derivative in }}L^{2}}}$;

${displaystyle C_{0}:=C_{0}([0,T];mathbb {R} ^{n}):={{ ext{continuous paths starting at 0}}};}$

Посредством Теорема вложения Соболева, ${displaystyle Hsubset C_{0}}$. Позволять

${displaystyle i:H o C_{0}}$

обозначить карта включения.

Предположим, что ${displaystyle F:C_{0} o mathbb {R} }$ является Дифференцируемый по Фреше. Затем Производная Фреше это карта

${displaystyle mathrm {D} F:C_{0} o mathrm {Lin} (C_{0};mathbb {R} );}$

т.е. для путей ${displaystyle sigma in C_{0}}$, ${displaystyle mathrm {D} F(sigma );}$ является элементом ${displaystyle C_{0}^{*}}$, то двойное пространство к ${displaystyle C_{0};}$. Обозначим через ${displaystyle mathrm {D} _{H}F(sigma );}$ то непрерывный линейная карта ${displaystyle H o mathbb {R} }$ определяется

${displaystyle mathrm {D} _{H}F(sigma ):=mathrm {D} F(sigma )circ i:H o mathbb {R} ,}$

иногда известный как ЧАС-производный. Теперь определим ${displaystyle abla _{H}F:C_{0} o H}$ быть прилегающий из ${displaystyle mathrm {D} _{H}F;}$ в том смысле, что

${displaystyle int _{0}^{T}left(partial _{t}abla _{H}F(sigma )ight)cdot partial _{t}h:=langle abla _{H}F(sigma ),hangle _{H}=left(mathrm {D} _{H}Fight)(sigma )(h)=lim _{t o 0}{frac {F(sigma +ti(h))-F(sigma )}{t}}.}$

Затем Производная Маллявэна ${displaystyle mathrm {D} _{t}}$ определяется

${displaystyle left(mathrm {D} _{t}Fight)(sigma ):={frac {partial }{partial t}}left(left(abla _{H}Fight)(sigma )ight).}$

В домен из ${displaystyle mathrm {D} _{t}}$ это набор ${displaystyle mathbf {F} }$ всех дифференцируемых по Фреше вещественнозначных функций на ${displaystyle C_{0};}$; то codomain является ${displaystyle L^{2}([0,T];mathbb {R} ^{n})}$.

В Скороход интеграл ${displaystyle delta ;}$ определяется как прилегающий производной Маллявэна:

${displaystyle delta :=left(mathrm {D} _{t}ight)^{*}:operatorname {image} left(mathrm {D} _{t}ight)subseteq L^{2}([0,T];mathbb {R} ^{n}) o mathbf {F} ^{*}=mathrm {Lin} (mathbf {F} ;mathbb {R} ).}$

Смотрите также

• H-производная

Рекомендации