Мысленный расчет - Mental calculation

Мысленный расчет состоит из арифметический расчеты используя только человеческий мозг без помощи каких-либо расходных материалов (например, карандашей и бумаги) или таких устройств, как калькулятор. Люди используют мысленный расчет, когда вычислительные инструменты недоступны, когда он быстрее, чем другие средства расчета (например, традиционные методы образовательного учреждения), или даже в конкурентный контекст. Мысленный расчет часто включает использование определенных методов, разработанных для конкретных типов задач.^[1] Людей с необычно высокой способностью к мысленным вычислениям называют ментальные калькуляторы или же калькулятор молнийс.

Многие из этих методов используют преимущества или полагаются на десятичный система счисления. Обычно выбор основание это то, что определяет, какой метод или методы использовать.

Методы и приемы

Изгнание девяток

Основная статья: Изгнание девяток

После применения арифметической операции к двум операндам и получения результата можно использовать следующую процедуру для повышения уверенности в правильности результата:

1. Суммируйте цифры первого операнда; любые 9 (или наборы цифр, которые добавляют к 9) могут быть засчитаны как 0.
2. Если итоговая сумма состоит из двух или более цифр, просуммируйте эти цифры, как на первом шаге; повторяйте этот шаг, пока в итоговой сумме не будет только одна цифра.
3. Повторите шаги один и два со вторым операндом. Есть два однозначных числа, одно из которых состоит из первого операнда, а другое из второго операнда. (Эти однозначные числа также являются остатками, полученными в результате деления исходных операндов на 9; математически говоря, это исходные операнды по модулю 9.)
4. Примените первоначально заданную операцию к двум сжатым операндам, а затем примените процедуру суммирования цифр к результату операции.
5. Просуммируйте цифры результата, которые были первоначально получены для первоначального расчета.
6. Если результат шага 4 не совпадает с результатом шага 5, то исходный ответ неверен. Если два результата совпадают, то исходный ответ может быть правильным, хотя это не гарантируется.

Пример

• Предположим, что результаты расчета 6338 × 79 равны 500702

1. Суммируйте цифры 6338: (6 + 3 = 9, поэтому посчитайте это как 0) + 3 + 8 = 11
2. Итерируйте по мере необходимости: 1 + 1 = 2
3. Суммируйте цифры 79: 7 + (9 считается как 0) = 7
4. Выполните первоначальную операцию над сжатыми операндами и цифрами суммы: 2 × 7 = 14; 1 + 4 = 5
5. Суммируйте цифры 500702: 5 + 0 + 0 + (7 + 0 + 2 = 9, что считается как 0) = 5
6. 5 = 5, так что есть большая вероятность, что предсказание, что 6338 × 79 равно 500702, верное.

Эту же процедуру можно использовать для нескольких операций, повторяя шаги 1 и 2 для каждой операции.

Оценка

Проверяя мысленный расчет, полезно думать о нем с точки зрения масштабирования. Например, при работе с большими числами, скажем, 1531 × 19625, оценка дает указание знать количество цифр, ожидаемых для окончательного значения. Полезный способ проверки - оценить. 1531 - около 1500, а 19625 - около 20000, поэтому результат около 20000 × 1500 (30000000) будет хорошей оценкой для фактического ответа (30045875). Поэтому, если в ответе слишком много цифр, произошла ошибка.

Факторы

При умножении полезно помнить, что множители операндов остаются. Например, утверждать, что 14 × 15 было 211, было бы неразумно. Поскольку 15 кратно 5, произведение должно быть таким же. Аналогично, 14 кратно 2, поэтому произведение должно быть четным. Кроме того, любое число, кратное 5 и 2, обязательно кратно 10, а в десятичной системе будет заканчиваться на 0. Правильный ответ - 210. Это кратное 10, 7 (другой простой множитель. из 14) и 3 (другой простой множитель 15).

Расчет разницы: а − б

Прямой расчет

Когда цифры б все меньше, чем соответствующие цифры а, расчет можно производить по цифрам. Например, оцените 872–41, просто вычтя 1 из 2 в разряде единиц и 4 из 7 в разряде десятков: 831.

Косвенный расчет

Когда описанная выше ситуация неприменима, проблему иногда можно изменить:

• Если только одна цифра в б больше соответствующей цифры в а, уменьшите оскорбительную цифру в б пока он не станет равным соответствующей цифре в а. Затем вычтите дальше сумму б уменьшилось на а. Например, чтобы вычислить 872–92, превратите задачу в 872–72 = 800. Затем вычтите 20 из 800: 780.
• Если больше одной цифры в б больше соответствующей цифры в а, может быть проще определить, сколько нужно добавить к б получить а. Например, чтобы вычислить 8192–732, добавьте 8 к 732 (в результате получится 740), затем добавьте 60 (чтобы получить 800), затем 200 (для 1000). Затем прибавьте 192, чтобы получить 1192, и, наконец, прибавьте 7000, чтобы получить 8192. Окончательный ответ - 7460.
• Другой полезный метод - округление одной из цифр (большей или меньшей цифры до ближайшего числа, предпочтительно содержащего одну ненулевую цифру). Например, чтобы вычислить 8192–732, округлите 732 до 1000, прибавив к нему 268 (значение 268 можно найти, вычтя 732 из 1000 мысленно. Человеческий мозг легче справляется с округленными числами). Затем вычтите 1000 из 8192 и получите 7192 в качестве ответа. Добавление 268 к 7192 приведет к получению 7460 в качестве ответа.
• Или замените числа, чтобы округлить числа, как в данной задаче. Например, для вычисления 8192-732 можно просто добавить 268 к обеим сторонам, что даст 8460-1000, что легче вычислить, в результате получится 7460.
• При выборе числа для округления нужно проявлять осторожность. Для вычисления 8192–732 можно округлить 8192 до 9000, добавив 808. Затем вычислить 9000–732, что даст 8268. Затем вычтите 808 из 8268, чтобы получить 7460 в качестве ответа. Но, как можно заметить, это делает расчеты сложными и длинными.
• Можно также выполнить расчет традиционным способом, но разумно. Для вычисления 8192 - 732 удалите 2 в единицах места, т.е. замените их на 0. Затем вычтите 3 из 9, получив 6. Наконец, вычтите 7 из 81, получив 74. Затем переставьте части, чтобы получить 7460 в качестве ответа.
• Возможно, будет проще начать сначала слева (большие числа).

Можно догадываться, что нужно, и накапливать догадки. Предположение является хорошим, если оно не выходит за пределы "целевого" числа 8192 - 732, мысленно нужно прибавить 8000, но это будет слишком много, поэтому прибавьте 7000, затем 700 к 1100, будет 400 (пока у одного 7400), а от 32 до 92 можно легко распознать как 60. Результат - 7460.

Метод упреждающего заимствования

Этот метод можно использовать для вычитания чисел слева направо, и если все, что требуется, - это прочитать результат вслух, он требует небольшой памяти пользователя даже для вычитания чисел произвольного размера.

Обрабатывается одно место слева направо.

Пример: 4075 - 1844 ------ Тысячи: 4 - 1 = 3, посмотрите направо, 075 <844, нужно занять. 3 - 1 = 2, скажем «Две тысячи». Один из них выполняет 3 - 1, а не 4 - 1, потому что столбец справа будет заимствовать из разряда тысяч. Сотни: 0-8 = отрицательные числа здесь не разрешены. Это место будет увеличиваться с помощью номера один, взятого из столбца слева. Следовательно: 10 - 8 = 2. Это 10, а не 0, потому что один заимствован из разряда тысяч. 75> 44, поэтому не нужно брать в долг, скажем "двести" Десятки: 7-4 = 3, 5> 4, поэтому 5-4 = 1

Следовательно, результат 2231.

Расчет продуктов: а × б

Многие из этих методов работают из-за распределительное свойство.

Умножение любых двух чисел путем присоединения, вычитания и маршрутизации

Артем Чепрасов открыл метод умножения, который позволяет пользователю использовать 3 шага для быстрого умножения чисел любого размера друг на друга тремя уникальными способами.^[2][3]

Во-первых, этот метод позволяет пользователю прикреплять числа друг к другу, а не добавлять или вычитать их во время промежуточных этапов, чтобы ускорить скорость умножения. Например, вместо добавления или вычитания промежуточных результатов, таких как 357 и 84, пользователь может просто сложить числа вместе (35784), чтобы упростить и ускорить задачу умножения. Прикрепление чисел друг к другу помогает избежать ненужных шагов, которые можно найти в традиционных методах умножения.

Во-вторых, в этом методе при необходимости используются отрицательные числа, даже при умножении двух положительных целых чисел, чтобы увеличить скорость умножения за счет вычитания. Это означает, что два положительных целых числа можно перемножить, чтобы получить отрицательные промежуточные шаги, но в итоге получить правильный положительный ответ. Эти отрицательные числа фактически автоматически выводятся из самих шагов умножения и, таким образом, являются уникальными для конкретной задачи. Опять же, такие отрицательные промежуточные шаги призваны ускорить умственную математику.

Наконец, еще одним уникальным аспектом использования этого метода является то, что пользователь может выбрать один из нескольких различных «путей умножения» к конкретной задаче умножения, основываясь на своих субъективных предпочтениях или сильных и слабых сторонах конкретных целых чисел.

Несмотря на одинаковые начальные целые числа, разные маршруты умножения дают разные промежуточные числа, которые автоматически выводятся для пользователя по мере умножения. Некоторые из этих посредников могут быть проще, чем другие (например, некоторые пользователи могут найти маршрут, в котором используется отрицательное 7, в то время как другой маршрут использует 5 или 0, с которыми обычно легче работать мысленно для большинства людей, но не во всех случаях).

Если один «маршрут» кажется более сложным для одного ученика по сравнению с другим маршрутом и его промежуточными числами, этот ученик может просто выбрать для себя другой более простой путь умножения, даже если это та же исходная задача.

Формула "концов пяти"

Для любой задачи умножения 2 на 2 цифры, если оба числа оканчиваются на пять, можно использовать следующий алгоритм для быстрого их умножения:^[2]

${\displaystyle Ex:35\times 75}$

В качестве предварительного шага просто округлите меньшее число в меньшую сторону и большее в большую сторону до ближайшего числа, кратного десяти. В этом случае:

${\textstyle 35-5=30=X}$

${\displaystyle 75+5=80=Y}$

Алгоритм гласит:

${\displaystyle (X\times Y)+50(t_{1}-t_{2})+25}$

Где т₁ - единица десятков исходного большего числа (75), а t₂ является единицей десятков исходного меньшего числа (35).

${\displaystyle =30\times 80+50(7-3)+25=2625}$

Автор также описывает другой похожий алгоритм, если кто-то хочет вместо этого округлить исходное большее число в меньшую сторону, а исходное меньшее число в большую сторону.

Формула «заемщика»

Если два числа равноудалены от ближайшего кратного 100, то для поиска продукта можно использовать простой алгоритм.^[2]

В качестве простого примера:

${\displaystyle 33\times 67}$

Оба числа находятся на одинаковом расстоянии (33) от ближайшего кратного 100 (0 и 100 соответственно).

В качестве предварительного шага просто округлите меньшее число в меньшую сторону и большее в большую сторону до ближайшего числа, кратного десяти. В этом случае:

${\textstyle 33-3=30=X}$

${\displaystyle 67+3=70=Y}$

Алгоритм гласит:

${\displaystyle (X\times Y)+u_{1}\times u_{2}+u_{2}(T_{1}-T_{2})}$

Где ты₁ - цифра единиц исходного большего числа (67), а u₂ - цифра единиц (33) исходного меньшего числа. Т₁ - цифра десятков исходного большего числа, а T₂ - это цифра десятков исходного большего числа, умноженная на соответствующую степень (в данном случае на 10 для разряда десятков).

И так:

${\displaystyle (30\times 70)+7\times 3+3(60-30)=2100+21+90=2211}$

Умножение любых двузначных чисел

Чтобы легко перемножить любые двузначные числа вместе, простой алгоритм выглядит следующим образом (где a - цифра десятков первого числа, b - цифра единиц первого числа, c - цифра десятков второго числа, а d - цифра единица цифры второго числа):

${\displaystyle (10a+b)\cdot (10c+d)}$

${\displaystyle =100(a\cdot c)+10(b\cdot c)+10(a\cdot d)+b\cdot d}$

Например,

${\displaystyle 23\cdot 47=100(2\cdot 4)+10(3\cdot 4)+10(2\cdot 7)+3\cdot 7}$

  800 +120 +140 + 21----- 1081

Обратите внимание, что это то же самое, что и обычная сумма частичных произведений, но только для краткости. Чтобы свести к минимуму количество элементов, сохраняемых в памяти, может быть удобно сначала вычислить сумму «перекрестного» произведения умножения, а затем сложить два других элемента:

${\displaystyle (a\cdot d+b\cdot c)\cdot 10}$

${\displaystyle {}+b\cdot d}$ [из которых только цифры десятков будут мешать первому члену]

${\displaystyle {}+a\cdot c\cdot 100}$

т.е. в этом примере

(12 + 14) = 26, 26 × 10 = 260,

к которому легко добавить 21: 281, а затем 800: 1081

Для этого легко запомнить мнемонику ФОЛЬГА. F означает первый, O означает внешний, I означает внутренний и L означает последний. Например:

${\displaystyle 75\cdot 23}$

и

${\displaystyle ab\cdot cd}$

где 7 а, 5 - это б, 2 - это c а 3 - это d.

Учитывать

${\displaystyle a\cdot c\cdot 100+(a\cdot d+b\cdot c)\cdot 10+b\cdot d}$

это выражение аналогично любому числу в базе 10 с разрядами сотен, десятков и единиц. FOIL также можно рассматривать как число, где F - сотни, OI - десятки, а L - единицы.

${\displaystyle a\cdot c}$ - произведение первой цифры каждого из двух чисел; Ф.

${\displaystyle (a\cdot d+b\cdot c)}$ является сложением произведения внешних цифр и внутренних цифр; OI.

${\displaystyle b\cdot d}$ - произведение последней цифры каждого из двух чисел; Л.

Умножение на 2 или другие маленькие числа

Если одно умножаемое число достаточно мало, чтобы его можно было легко умножить на любую отдельную цифру, произведение можно легко вычислить цифра за цифрой справа налево. Это особенно легко умножить на 2, поскольку цифра переноса не может быть больше 1.

Например, чтобы вычислить 2 × 167: 2 × 7 = 14, поэтому последняя цифра будет 4, с перенесенной 1 и добавленной к 2 × 6 = 12, чтобы получить 13, так что следующая цифра будет 3 с перенесенной 1 и добавленной к 2 × 1 = 2, чтобы получить 3. Таким образом, получается произведение 334.

Умножение на 5

Чтобы умножить число на 5,

1. Сначала умножьте это число на 10, затем разделите на 2. Эти два шага взаимозаменяемы, то есть можно уменьшить вдвое число, а затем умножить его.

Следующий алгоритм - быстрый способ получить такой результат:

2. Добавьте ноль справа от нужного числа. (А.) 3. Затем, начиная с крайнего левого числа, разделите на 2 (B.) и добавьте каждый результат в соответствующем порядке, чтобы получить новое число; (дробные ответы следует округлить до ближайшего целого числа).

ПРИМЕР: Умножьте 176 на 5. A. Добавьте ноль к 176, чтобы получить 1760. B. Разделите на 2, начиная слева. 1. Разделите 1 на 2, чтобы получить 0,5 с округлением до нуля. 2. Разделите 7 на 2, чтобы получить 3,5, округлите до 3. 3. Разделите 6 на 2, чтобы получить 3. Ноль, разделенный на два, просто равен нулю.

В результате получается число 0330. (Это не окончательный ответ, это первое приближение, которое будет скорректировано на следующем шаге :)

     C. Добавьте 5 к числу, которое следует за любой отдельной цифрой в этом новом числе, которое было нечетным до деления на два;

ПРИМЕР: 176 (В ПЕРВОМ, ВТОРОМ ТРЕТЬЕМ МЕСТАХ):

           1. ПЕРВОЕ место - 1, что нечетно. ДОБАВИТЬ 5 к цифре после первого места в новом числе (0330), которое равно 3; 3 + 5 = 8. 2. Число на втором месте 176, 7 тоже нечетное. Соответствующее число (0 8 3 0) также увеличивается на 5; 3 + 5 = 8. 3. Цифра на третьем месте - 176, 6 - четная, поэтому окончательное число, ноль, в ответе не меняется. Последний ответ - 0880. Крайний левый ноль можно опустить, оставив 880. Итак, 176 умноженное на 5 равно 880.

ПРИМЕР: умножьте 288 на 5.

A. Разделите 288 на 2. Можно разделить каждую цифру по отдельности, чтобы получить 144 (проще разделить меньшее число).

Б. Умножьте на 10. Добавьте ноль, чтобы получить результат 1440.

Умножение на 9

Поскольку 9 = 10-1, чтобы умножить число на девять, умножьте его на 10, а затем вычтите исходное число из результата. Например, 9 × 27 = 270 - 27 = 243.

Этот метод можно настроить для умножения на восемь вместо девяти, удвоив вычитаемое число; 8 × 27 = 270 - (2 × 27) = 270 - 54 = 216.

Точно так же, добавляя вместо вычитания, те же методы могут использоваться для умножения на 11 и 12 соответственно (хотя существуют более простые методы умножения на 11).

Используя руки: 1–10 умножить на 9

Чтобы использовать этот метод, нужно положить руки перед собой ладонями к ним. Назначьте левый большой палец равным 1, левый указательный - 2, и так далее до большого пальца правой руки - десять. Каждый "|" символизирует поднятый палец, а «-» представляет согнутый палец.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | | | | | | | | | | левая правая рука

Согните палец, который представляет число, которое нужно умножить на девять, вниз.

Пример: 6 × 9 будет

| | | | |  − | | | |

Правый мизинец опущен. Возьмите количество пальцев, все еще поднятых слева от согнутого пальца, и добавьте его к количеству пальцев справа.

Пример: пять пальцев слева от мизинца правой руки и четыре справа от мизинца правой руки. Итак, 6 × 9 = 54.

    5           4| | | | |  − | | | |

Умножение на 10 (и степень десяти)

Чтобы умножить целое число на 10, просто добавьте дополнительный 0 в конец числа. Чтобы умножить нецелое число на 10, переместите десятичную запятую на одну цифру вправо.

В общем, для десятичной системы умножения на 10^п (куда п является целым числом), переместите десятичную точку п цифры справа. Если п отрицательно, переместите десятичную дробь |п| цифры слева.

Умножение на 11

Для однозначных чисел просто скопируйте число в разряд десятков, например: 1 × 11 = 11, 2 × 11 = 22, вплоть до 9 × 11 = 99.

Продукт для любого большего ненулевого целое число можно найти, добавив к каждой цифре справа налево, по два за раз.

Сначала возьмите единичную цифру и скопируйте ее во временный результат. Затем, начиная с разряда единиц множителя, прибавьте каждую цифру к цифре слева от нее. Каждая сумма затем добавляется слева от результата перед всеми остальными. Если сумма равна 10 или больше, возьмите цифру десятков, которая всегда будет 1, и перенесите ее в следующее сложение. Наконец, скопируйте крайнюю левую (наивысшую) цифру множителя в начало результата, добавив переносимый 1, если необходимо, чтобы получить конечный результат.

В случае отрицательного числа 11, множитель или оба знака применяют знак к конечному продукту, как при обычном умножении двух чисел.

Пошаговый пример 759 × 11:

1. Разряд множителя 9 копируется во временный результат.
   • результат: 9
2. Складываем 5 + 9 = 14, так что 4 помещается слева от результата и переносим 1.
   • результат: 49
3. Точно так же сложите 7 + 5 = 12, затем прибавьте перенесенную 1, чтобы получить 13. Добавьте 3 к результату и перенесите 1.
   • результат: 349
4. Добавьте перенесенную 1 к самой высокой цифре множителя, 7 + 1 = 8, и скопируйте результат для завершения.
   • Конечный продукт 759 × 11: 8349

Дополнительные примеры:

• −54 × −11 = 5 5+4(9) 4 = 594
• 999 × 11 = 9+1(10) 9+9+1(9) 9+9(8) 9 = 10989
  • Обратите внимание на обработку 9 + 1 как самой высокой цифры.
• −3478 × 11 = 3 3+4+1(8) 4+7+1(2) 7+8(5) 8 = −38258
• 62473 × 11 = 6 6+2(8) 2+4+1(7) 4+7+1(2) 7+3(0) 3 = 687203

Другой способ - просто умножить число на 10 и прибавить исходное число к результату.

Например:

17 × 11

     17 × 10 = 170

170 + 17 = 187

17 × 11 = 187

Последний простой способ:

Если у кого-то есть двузначное число, возьмите его, сложите два числа и поместите эту сумму в середину, и вы сможете получить ответ.

Например: 24 x 11 = 264, потому что 2 + 4 = 6, а 6 находится между 2 и 4.

Второй пример: 87 x 11 = 957, потому что 8 + 7 = 15, поэтому 5 идет между 8 и 7, а 1 переносится на 8. Таким образом, это в основном 857 + 100 = 957.

Или, если 43 x 11 равно первым 4 + 3 = 7 (для разряда десятков), то 4 для сотен и 3 для десятков. И ответ 473

Умножение двух двузначных чисел от 11 до 19

Чтобы легко перемножить двухзначные числа между 11 и 19, простой алгоритм выглядит следующим образом (где a - это единица первого числа, а b - единица второго числа):

(10 + a) × (10 + b) 100 + 10 × (a + b) + a × b, что можно представить в виде трех добавляемых частей: 1xx yy, например: 17 × 161 = 10013 (7 + 6) = 10 × (a + b) 42 (7 × 6) = a × b272 (всего)

Используя руки: 6–10, умноженное на другое число 6–10

Этот метод позволяет умножить число от 6 до 10 на другое число от 6 до 10.

Назначьте 6 на мизинец, 7 на безымянный палец, 8 на средний палец, 9 на указательный палец и 10 на большой палец. Соедините два желаемых числа вместе. Точка соприкосновения и нижняя часть считаются «нижней» частью, а все, что находится выше двух соприкасающихся пальцев, является частью «верхней» части. Ответ формируется путем прибавления десятикратного общего количества «нижних» пальцев к произведению количества «верхних» пальцев левой и правой руки.

Например, 9 × 6 будет выглядеть так, когда левый указательный палец касается мизинца правой:

                               = 10 ==: большой палец правой руки (вверху) == 9 ==: указательный палец правой руки (вверху) == 8 ==: средний палец правой руки (вверху) большой палец левой руки: = 10 == == 7 ==: безымянный палец правой руки (вверху) указательный палец левой руки: --9 ---> <--- 6--: мизинец правой руки (ВНИЗ) средний палец левой руки: -8-- (ВНИЗ) безымянный палец левой руки: --7-- ( НИЖНИЙ) левый мизинец: --6-- (НИЖНИЙ)

В этом примере есть 5 "нижних" пальцев (левый указательный, средний, безымянный и мизинец, плюс правый мизинец), 1 левый "верхний" палец (большой палец левой руки) и 4 правых "верхних" пальца. (большой, указательный, средний и безымянный палец правой руки). Таким образом, вычисление происходит следующим образом: 9 × 6 = (10 × 5) + (1 × 4) = 54.

Рассмотрим другой пример, 8 × 7:

                               = 10 ==: большой палец правой руки (вверху) большой палец левой руки: = 10 == == 9 ==: указательный палец правой руки (вверху) указательный палец левой руки: == 9 == == 8 ==: средний палец правой руки (вверху) средний палец левой руки: --8 ---> <--- 7--: безымянный палец правой руки (НИЖНИЙ) безымянный палец левой руки: --7-- --6--: мизинец правой руки (НИЖНИЙ) мизинец левой руки: --6-- (ВНИЗ)

Пять нижних пальцев составляют 5 десятков или 50. Два верхних левых пальца и три верхних правых пальца составляют произведение 6. Суммируя их, мы получаем ответ 56.

Другой пример, на этот раз с использованием 6 × 8:

 --8---><---6-- --7-- --6--

Четыре десятки (внизу) плюс два умноженных на четыре (вверху) дают 40 + 2 × 4 = 48.

Вот как это работает: каждый палец представляет собой число от 6 до 10. Когда соединяются пальцы, представляющие Икс и у, будет 10 - Икс "верхние" пальцы и Икс - 5 «нижних» пальцев левой руки; в правой руке будет 10 - у "верхние" пальцы и у - 5 «нижних» пальцев.

Позволять

${\displaystyle \,t_{L}=10-x\,}$ (количество «верхних» пальцев на левой руке)

${\displaystyle \,t_{R}=10-y\,}$ (количество «верхних» пальцев правой руки)

${\displaystyle \,b_{L}=x-5\,}$ (количество «нижних» пальцев левой руки)

${\displaystyle \,b_{R}=y-5\,}$ (количество "нижних" пальцев правой руки)

Затем, следуя приведенным выше инструкциям, вы получите

${\displaystyle \,10(b_{L}+b_{R})+t_{L}t_{R}}$

${\displaystyle \,=10[(x-5)+(y-5)]+(10-x)(10-y)}$

${\displaystyle \,=10(x+y-10)+(100-10x-10y+xy)}$

${\displaystyle \,=[10(x+y)-100]+[100-10(x+y)+xy]}$

${\displaystyle \,=[10(x+y)-10(x+y)]+[100-100]+xy}$

${\displaystyle \,=xy}$

который является желаемым продуктом.

Умножение двух чисел близких и меньших 100

Этот метод позволяет легко умножать числа, близкие и меньшие 100. (90-99)^[4] Переменными будут два числа, которые умножаются.

Произведение двух переменных в диапазоне от 90 до 99 даст 4-значное число. Первый шаг - найти разряды из единиц и десятков.

Вычтите обе переменные из 100, что даст 2 однозначных числа. Произведение двух однозначных чисел будет последними двумя цифрами конечного продукта.

Затем вычтите одну из двух переменных из 100. Затем вычтите разницу из другой переменной. Этой разницей будут первые две цифры конечного продукта, а полученное 4-значное число будет конечным продуктом.

Пример:

          95 x 97 ---- Последние две цифры: 100-95 = 5 (вычесть первое число из 100) 100-97 = 3 (вычесть второе число из 100) 5 * 3 = 15 (умножить две разности) Конечный продукт- yx15Первые две цифры: 100-95 = 5 (вычтите первое число уравнения из 100) 97-5 = 92 (вычтите этот ответ из второго числа уравнения) Теперь разница будет в первых двух цифрах                  Конечный продукт- 9215Заменить первые две цифры                  5 + 3 = 8 (сложите две отдельные цифры, полученные при вычислении «последних двух цифр» на предыдущем шаге) 100-8 = 92 (вычтите этот ответ из 100) Теперь разница будет в первых двух цифрах                  Конечный продукт- 9215

Использование квадратных чисел

Произведения малых чисел можно вычислить, используя квадраты целых чисел; например, чтобы вычислить 13 × 17, можно отметить, что 15 является средним из двух факторов, и представить его как (15-2) × (15 + 2), т.е. 15² − 2². Зная, что 15² это 225 и 2² равно 4, простое вычитание показывает, что 225-4 = 221, что является искомым продуктом.

Этот метод требует знания наизусть определенного количества квадратов:

1^2 = 1	6^2 = 36	11^2 = 121	16^2 = 256	21^2 = 441	26^2 = 676
2^2 = 4	7^2 = 49	12^2 = 144	17^2 = 289	22^2 = 484	27^2 = 729
3^2 = 9	8^2 = 64	13^2 = 169	18^2 = 324	23^2 = 529	28^2 = 784
4^2 = 16	9^2 = 81	14^2 = 196	19^2 = 361	24^2 = 576	29^2 = 841
5^2 = 25	10^2 = 100	15^2 = 225	20^2 = 400	25^2 = 625	30^2 = 900

Возведение чисел в квадрат

Может быть полезно знать, что разница между двумя последовательными квадратными числами - это сумма их соответствующих квадратных корней. Следовательно, если кто-то знает, что 12 × 12 = 144, и желает знать 13 × 13, вычислите 144 + 12 + 13 = 169.

Это потому что (Икс + 1)² − Икс² = Икс² + 2Икс + 1 − Икс² = Икс + (Икс + 1)

Икс² = (Икс − 1)² + (2Икс − 1)

Возведение любого числа в квадрат

Возьмите заданное число и добавьте и вычтите к нему определенное значение, которое упростит умножение. Например:

492²

492 близко к 500, что легко умножить на. Сложите и вычтите 8 (разница между 500 и 492), чтобы получить

492 -> 484, 500

Умножьте эти числа вместе, чтобы получить 242 000 (это можно эффективно сделать, разделив 484 на 2 = 242 и умножив на 1000). Наконец, добавьте разность (8) в квадрате (8² = 64) к результату:

492² = 242,064

Доказательство следует:

${\displaystyle n^{2}=n^{2}}$

${\displaystyle n^{2}=(n^{2}-a^{2})+a^{2}}$

${\displaystyle n^{2}=(n^{2}-an+an-a^{2})+a^{2}}$

${\displaystyle n^{2}=(n-a)(n+a)+a^{2}}$

Возведение в квадрат любого 2-значного целого числа

Этот метод требует запоминания квадратов однозначных чисел от 1 до 9.

Площадь млн, млн двузначное целое число, может быть вычислено как

10 × м(млн + п) + п²

Имея в виду квадрат млн можно найти, добавив п к млн, умножается на м, добавив 0 в конец и, наконец, добавив квадрат п.

Например, 23²:

23²

= 10 × 2(23 + 3) + 3²

= 10 × 2(26) + 9

= 520 + 9

= 529

Итак 23² = 529.

Возведение числа, заканчивающегося на 5, в квадрат

1. Возьмите цифру (а), предшествующую пяти: abc5, куда а, б, и c цифры
2. Умножьте это число на себя плюс один: abc(abc + 1)
3. Возьмите результат выше и прикрепите 25 к концу
   • Пример: 85 × 85
     1. 8
     2. 8 × 9 = 72
     3. Итак, 85² = 7,225
   • Пример: 125²
     1. 12
     2. 12 × 13 = 156
     3. Итак, 125² = 15,625
   • Математическое объяснение

(10Икс + 5)^2	= (10Икс + 5)(10Икс + 5)
	= 100Икс^2 + 100Икс + 25
	= 100(Икс^2 + Икс) + 25
	= 100Икс(Икс + 1) + 25

Возводя числа, очень близкие к 50

Предположим, нужно возвести в квадрат число п около 50.

Число может быть выражено как п = 50 − а поэтому его квадрат равен (50−а)² = 50² − 100а + а². Известно, что 50² равно 2500. Таким образом, вычитается 100а от 2500, а потом добавить а².

Например, предположим, что кто-то хочет возвести в квадрат 48, что составляет 50-2. Вычитаем 200 из 2500 и прибавляем 4, и получаем п² = 2304. Для чисел больше 50 (п = 50 + а), прибавляем 100 ×а вместо вычитания.

Возведение целого числа от 26 до 74 в квадрат

Этот метод требует запоминания квадратов от 1 до 24.

Площадь п (легче всего рассчитать, когда п от 26 до 74 включительно) составляет

(50 − п)² + 100(п − 25)

Другими словами, квадрат числа - это квадрат его разницы от пятидесяти, добавленной к сотне разности числа и двадцати пяти. Например, в квадрат 62:

(−12)² + [(62-25) × 100]

= 144 + 3,700

= 3,844

Возведение в квадрат целого числа около 100 (например, от 76 до 124)

Этот метод требует запоминания квадратов от 1 до а куда а абсолютная разница между п и 100. Например, ученики, которые запомнили свои квадраты от 1 до 24, могут применить этот метод к любому целому числу от 76 до 124.

Площадь п (т.е. 100 ± а) является

100(100 ± 2а) + а²

Другими словами, квадрат числа - это квадрат его разницы от 100, добавленной к произведению ста и разницы в сто и произведения двух и разницы в сто и числа. Например, в квадрат 93:

100(100 − 2(7)) + 7²

= 100 × 86 + 49

= 8,600 + 49

= 8,649

Другой способ взглянуть на это было бы так:

93² знак равно (равно −7 из 100)

93-7 = 86 (это дает первые две цифры)

(−7)² = 49 (это вторые две цифры)

93² = 8649

Другой пример:

 822 знак равно (−18 из 100) 82 - 18 = 64 (вычесть первые цифры.) (−18)2 = 324 (вторая пара цифр. Одна должна нести цифру 3.) 822 = 6724

Возведение в квадрат любого целого числа около 10^п (например, от 976 до 1024, от 9976 до 10024 и т. д.)

Этот метод является прямым расширением приведенного выше объяснения возведения в квадрат целого числа около 100.

 10122 знак равно (1012 это +12 из 1000) (+12)2 = 144      (п конечные цифры) 1012 + 12 = 1024 (ведущие цифры) 10122 = 1024144

 99972 знак равно (9997 это -3 из 10000) (-3)2 = 0009       (п конечные цифры) 9997 - 3 = 9994 (ведущие цифры) 99972 = 99940009

Возводя в квадрат любое целое число рядом м × 10^п (например, от 276 до 324, от 4976 до 5024, от 79976 до 80024)

Этот метод является прямым расширением объяснения, данного выше для целых чисел около 10^п.

 4072 знак равно (407 это +7 из 400) (+7)2 = 49      (п конечные цифры) 407 + 7 = 414 414 × 4 = 1656 (ведущие цифры; обратите внимание на это умножение на м не требовалось для целых чисел от 76 до 124, потому что их м = 1) 4072 = 165649

 799912 знак равно (79991 это -9 из 80000) (-9)2 = 0081        (п конечные цифры) 79991 - 9 79982 × 8 = 639856 (ведущие цифры) 799912 = 6398560081

Поиск корней

Аппроксимация квадратных корней

Простой способ приблизить квадратный корень числа заключается в использовании следующего уравнения:

${\displaystyle {\text{root }}\simeq {\text{ known square root}}-{\frac {{\text{known square}}-{\text{unknown square}}}{2\times {\text{known square root}}}}\,}$

Чем ближе известное квадрат к неизвестному, тем точнее приближение. Например, чтобы оценить квадратный корень из 15, можно начать со знания, что ближайший полный квадрат равен 16 (4²).

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{root}}&\simeq 4-{\frac {16-15}{2\times 4}}\\&\simeq 4-0.125\\&\simeq 3.875\\\end{aligned}}\,\!}$

Таким образом, квадратный корень из 15 равен 3,875. Фактический квадратный корень из 15 равен 3,872983 ... Следует отметить, что независимо от того, каким было исходное предположение, предполагаемый ответ всегда будет больше, чем фактический ответ из-за неравенство средних арифметических и геометрических. Таким образом, следует попробовать округлить предполагаемый ответ в меньшую сторону.

Обратите внимание, что если п² ближайший идеальный квадрат к желаемому квадрату Икс и d = Икс - п² является их различием, это приближение удобнее выразить в виде смешанной дроби как ${\displaystyle n{\tfrac {d}{2n}}}$. Таким образом, в предыдущем примере квадратный корень из 15 равен ${\displaystyle 4{\tfrac {-1}{8}}.}$ Другой пример: квадратный корень из 41 равен ${\displaystyle 6{\tfrac {5}{12}}=6.416}$ а фактическое значение - 6,4031 ...

Вывод

По определению, если р квадратный корень из x, тогда

${\displaystyle \mathrm {r} ^{2}=x\,\!}$

Затем переопределяют корень

${\displaystyle \mathrm {r} =a-b\,\!}$

куда а - известный корень (4 из приведенного выше примера) и б это разница между известным корнем и искомым ответом.

${\displaystyle (a-b)^{2}=x\,\!}$

Увеличение урожайности

${\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=x\,\!}$

Если 'a' близко к цели, 'b' будет достаточно маленьким числом, чтобы отобразить ${\displaystyle {}+b^{2}\,}$ элементом уравнения пренебрежимо мало. Таким образом, можно отбросить ${\displaystyle {}+b^{2}\,}$ и переписать уравнение на

${\displaystyle b\simeq {\frac {a^{2}-x}{2a}}\,\!}$

и поэтому

${\displaystyle \mathrm {root} \simeq a-{\frac {a^{2}-x}{2a}}\,\!}$

что можно свести к

${\displaystyle \mathrm {root} \simeq {\frac {a^{2}+x}{2a}}\,\!}$

Извлечение корней совершенных сил

Смотрите также: 13-й корень

Извлечение корней совершенные силы часто практикуется. Сложность задачи зависит не от количества цифр абсолютной степени, а от точности, то есть количества цифр корня. Кроме того, это также зависит от порядка корня; поиск идеальных корней, где порядок корня совмещать с 10 несколько проще, поскольку цифры шифруются одинаковым образом, как в следующем разделе.

Извлечение кубических корней

Простая задача для новичка - извлечь кубические корни из кубиков двухзначных чисел. Например, учитывая 74088, определите, какое двузначное число при умножении на само себя один раз и последующем умножении на это число снова дает 74088. Тот, кто знает этот метод, быстро узнает, что ответ 42, так как 42³ = 74088.

Перед тем, как разучить процедуру, требуется, чтобы исполнитель запомнил кубики цифр 1-10:

1^3 = 1	2^3 = 8	3^3 = 27	4^3 = 64	5^3 = 125
6^3 = 216	7^3 = 343	8^3 = 512	9^3 = 729	10^3 = 1000

Обратите внимание, что в самой правой цифре есть образец: сложение и вычитание с 1 или 3. Начиная с нуля:

• 0³ = 0
• 1³ = 1 вверх 1
• 2³ = 8 вниз 3
• 3³ = 27 вниз 1
• 4³ = 64 вниз 3
• 5³ = 125 вверх 1
• 6³ = 216 вверх 1
• 7³ = 343 вниз 3
• 8³ = 512 вниз 1
• 9³ = 729 вниз 3
• 10³ = 1000 вверх 1

Есть два шага, чтобы извлечь кубический корень из куба двузначного числа. Например, извлечение кубического корня из 29791. Определите единицу (единицы) двузначного числа. Поскольку куб оканчивается на 1, как показано выше, он должен быть 1.

• Если идеальный куб оканчивается на 0, его кубический корень должен заканчиваться на 0.
• Если идеальный куб заканчивается на 1, кубический корень его должен заканчиваться на 1.
• Если идеальный куб оканчивается на 2, его кубический корень должен заканчиваться на 8.
• Если идеальный куб оканчивается на 3, кубический корень из него должен заканчиваться на 7.
• Если идеальный куб оканчивается на 4, его кубический корень должен заканчиваться на 4.
• Если идеальный куб оканчивается на 5, его кубический корень должен заканчиваться на 5.
• Если идеальный куб оканчивается на 6, его кубический корень должен заканчиваться на 6.
• Если идеальный куб оканчивается на 7, его кубический корень должен заканчиваться на 3.
• Если идеальный куб оканчивается на 8, его кубический корень должен заканчиваться на 2.
• Если идеальный куб оканчивается на 9, его кубический корень должен заканчиваться на 9.

Обратите внимание, что каждая цифра соответствует самой себе, за исключением 2, 3, 7 и 8, которые просто вычитаются из десяти, чтобы получить соответствующую цифру.

Второй шаг - определить первую цифру двузначного корня куба, посмотрев на величину данного куба. Для этого удалите последние три цифры данного куба (29791 → 29) и найдите наибольший куб, которого он больше (здесь необходимо знать кубики с числами 1-10). Здесь 29 больше 1 куба, больше 2 кубов, больше 3 кубов, но не больше 4 кубов. Наибольший куб больше 3, поэтому первая цифра двузначного куба должна быть 3.

Следовательно, кубический корень из 29791 равен 31.

Другой пример:

• Найдите кубический корень из 456533.
• Кубический корень заканчивается на 7.
• После удаления последних трех цифр остается 456.
• 456 больше всех кубиков до 7 кубов.
• Первая цифра кубического корня - 7.
• Корень кубический из 456533 равен 77.

Этот процесс можно расширить, чтобы найти корни куба длиной 3 цифры, используя арифметику по модулю 11.^[5]

Уловки такого типа можно использовать в любом корне, где порядок корня взаимно прост с 10; таким образом, он не работает с квадратным корнем, поскольку степень 2 делится на 10. 3 не делит 10, поэтому кубические корни работают.

Приближение десятичных логарифмов (основание 10)

Чтобы аппроксимировать десятичный логарифм (по крайней мере с точностью до одной десятичной точки), требуется несколько правил логарифмирования и запоминание нескольких логарифмов. Надо знать:

• журнал (a × b) = журнал (a) + журнал (b)
• журнал (a / b) = журнал (a) - журнал (b)
• журнал (0) не существует
• журнал (1) = 0
• журнал (2) ~ .30
• журнал (3) ~ 0,48
• журнал (7) ~ 0,85

Из этой информации можно найти логарифм любого числа от 1 до 9.

• журнал (1) = 0
• журнал (2) ~ .30
• журнал (3) ~ 0,48
• журнал (4) = журнал (2 × 2) = журнал (2) + журнал (2) ~ 0,60
• журнал (5) = журнал (10/2) = журнал (10) - журнал (2) ~ 0,70
• журнал (6) = журнал (2 × 3) = журнал (2) + журнал (3) ~ 0,78
• журнал (7) ~ 0,85
• журнал (8) = журнал (2 × 2 × 2) = журнал (2) + журнал (2) + журнал (2) ~ 0,90
• журнал (9) = журнал (3 × 3) = журнал (3) + журнал (3) ~ 0,96
• журнал (10) = 1 + журнал (1) = 1

Первый шаг в приближении десятичного логарифма - ввести число, указанное в экспоненциальной нотации. Например, число 45 в экспоненциальном представлении равно 4,5 × 10.¹, но назовем это × 10^б. Затем найдите логарифм числа a, которое находится между 1 и 10. Начните с логарифма 4, который равен 0,60, а затем логарифма 5, который равен 0,70, потому что 4,5 находится между этими двумя. Затем, и умение в этом отношении приходит с практикой, поставьте 5 по логарифмической шкале между 0,6 и 0,7, где-то около 0,653 (ПРИМЕЧАНИЕ: фактическая ценность дополнительных мест всегда будет больше, чем если бы они были размещены на обычном т. е. можно было бы ожидать, что она будет равна 0,650, потому что это половина пути, но вместо этого она будет немного больше, в данном случае 0,653) После того, как вы получили логарифм a, просто добавьте к нему b, чтобы получить приближение десятичного логарифма. В этом случае a + b = 0,653 + 1 = 1,653. Фактическое значение log (45) ~ 1,65321.

Тот же процесс применяется для чисел от 0 до 1. Например, 0,045 будет записано как 4,5 × 10.⁻². Единственная разница в том, что b теперь отрицательное, поэтому при добавлении единицы происходит вычитание. Это даст результат 0,653 - 2 или -1,347.

Ментальная арифметика как психологический навык

Физическая нагрузка должного уровня может привести к увеличению производительности умственная задача, как делать мысленные вычисления, выполняемые потом.^[6] Было показано, что высокий уровень физической активности отрицательно сказывается на выполнении умственных задач.^[7] Это означает, что слишком большая физическая работа может снизить точность и производительность математических вычислений в уме. Физиологический меры, в частности ЭЭГ, оказались полезными при указании умственная нагрузка.^[8] Использование ЭЭГ в качестве меры умственной нагрузки после различных уровней физической активности может помочь определить уровень физических нагрузок, который будет наиболее благоприятным для умственной деятельности. Предыдущая работа, выполненная в Мичиганский технологический университет Ранджана Мехта включает в себя недавнее исследование, в котором участники одновременно выполняли умственные и физические задачи.^[9] В этом исследовании изучалось влияние умственных нагрузок на физическую работоспособность при различных уровнях физических нагрузок и в конечном итоге было обнаружено снижение физической работоспособности, когда умственные задачи выполнялись одновременно, с большей значительный эффект при более высоком уровне физической нагрузки. В Процедура Брауна-Петерсона широко известная задача с использованием ментальной арифметики. Эта процедура, в основном используемая в познавательный эксперименты, предполагает, что умственное вычитание полезно при проверке эффектов репетиция обслуживания может иметь на сколько краткосрочная память длится.

Чемпионат мира по ментальным вычислениям

Первый чемпионат мира по ментальным вычислениям прошел в 1997 году. Это событие повторяется каждый год. Он состоит из ряда различных задач, таких как сложение десяти десятизначных чисел, умножение двух восьмизначных чисел, вычисление квадратных корней, вычисление дней недели для заданных дат, вычисление кубических корней и некоторые неожиданные разные задачи.

Кубок мира по ментальному расчету

Основная статья: Кубок мира по ментальному расчету

Первый чемпионат мира по интеллектуальным вычислениям (Кубок мира по ментальному расчету )^[10] состоялись в 2004 году. Они повторяются раз в два года. Он состоит из шести различных задач: сложение десяти десятизначных чисел, умножение двух восьмизначных чисел, вычисление квадратных корней и вычисление дней недели для заданных дат, вычисление кубических корней плюс несколько неожиданных разных задач.

Memoriad - Всемирная олимпиада памяти, умственного расчета и скорочтения

Мемориада^[11] это первая платформа, объединяющая соревнования «мысленный расчет», «память» и «чтение фотографий». Игры и соревнования проводятся в год Олимпийских игр каждые четыре года. Первая Мемориада прошла в Стамбул, индюк, в 2008 г. Вторая Мемориада прошла в г. Анталия, индюк 24–25 ноября 2012 г. Участвовали 89 спортсменов из 20 стран. Всего награды и денежные призы были вручены по 10 номинациям; из которых 5 категорий должны были делать Ментальный расчет (Мысленное сложение, Ментальное умножение, Ментальные квадратные корни (не целые числа), Расчет дат в ментальном календаре и Flash Anzan).

Смотрите также

• Правило судного дня за расчет дня недели
• Психические счеты
• Психологический калькулятор
• Соробан

Рекомендации

1. Мастротаназ, Константинос; Геладари, Афина; Зервоудакис, Константинос; Стракалис, Панайотис (2018). «Стратегии учеников начальной школы для мысленных вычислений сложения и вычитания». Международный журнал образования и исследований. 6 (8): 43–56.
2. Чепрасов, Артем (3 сентября 2009 г.). О новом методе умножения и ярлыках. США: Независимая издательская платформа CreateSpace. ISBN  9781448689330.
3. «На записи с ... Артемом Чепрасовым». Northwest Herald. Получено 2015-06-01.
4. умножение двух чисел близко, меньше 100
5. Доррелл, Филип. «Как сделать кубические корни из 9-значных чисел в своей голове». Тяжело думать. Получено 19 июля 2015.
6. Ламбурн, Кейт; Томпоровский, Филипп (2010). «Влияние возбуждения, вызванного упражнениями, на выполнение когнитивных задач: мета-регрессионный анализ». Исследование мозга. 1341: 12–24. Дои:10.1016 / j.brainres.2010.03.091. PMID  20381468.
7. Brisswalter, J .; Arcelin, R .; Audiffren, M .; Делиньер, Д. (1997). «Влияние физических упражнений на время простой реакции: эффект физической подготовки». Перцептивные и моторные навыки. 85 (3): 1019–27. Дои:10.2466 / pms.1997.85.3.1019. PMID  9399313.
8. Мурата, Ацуо (2005). «Попытка оценить умственную нагрузку с помощью вейвлет-преобразования ЭЭГ». Человеческий фактор: журнал общества по человеческому фактору и эргономике. 47 (3): 498–508. Дои:10.1518/001872005774860096. PMID  16435692.
9. Mehta, Ranjana K .; Nussbaum, Maury A .; Агнью, Майкл Дж. (2012). «Мышечные и зависимые от задач реакции на одновременную физическую и умственную нагрузку во время периодической статической работы». Эргономика. 55 (10): 1166–79. Дои:10.1080/00140139.2012.703695. PMID  22849301.
10. Кубок мира по ментальному расчету
11. Мемориада

внешняя ссылка

• Кубок мира по ментальному расчету
• Memoriad - Всемирная интеллектуальная олимпиада
• Цурио-Мазойер, Натали; Песенти, Мауро; Заго, Лауре; Кривелло, Фабрис; Меллет, Эммануэль; Самсон, Дана; Дуру, Бруно; Серон, Ксавьер; Мазойер, Бернар (2001). «Психический расчет у вундеркинда поддерживается правой префронтальной и медиальной височными областями». Природа Неврология. 4 (1): 103–7. Дои:10.1038/82831. PMID  11135652.
• Rivera, S.M .; Reiss, AL; Эккерт, Массачусетс; Менон, V (2005). «Изменения в развитии ментальной арифметики: свидетельства повышения функциональной специализации левой нижней теменной коры». Кора головного мозга. 15 (11): 1779–90. Дои:10.1093 / cercor / bhi055. PMID  15716474.
• Большие волны ЭЭГ, выявленные с помощью ментального расчета PDF
• Матлетика - тренируйтесь или соревнуйтесь по ментальной математике
• Математические сокращения из ведической математики