Программа минимальной модели - Minimal model program

В алгебраическая геометрия, то программа минимальной модели является частью бирациональной классификации алгебраические многообразия. Его цель - построить бирациональную модель любого сложного проективное разнообразие что максимально просто. Предмет берет свое начало в классической бирациональная геометрия поверхностей, изученных Итальянская школа, и в настоящее время является активной областью исследований в области алгебраической геометрии.

Контур

Основная идея теории состоит в том, чтобы упростить бирациональную классификацию многообразий путем нахождения в каждом классе бирациональной эквивалентности многообразия, которое является «настолько простым, насколько это возможно». Точное значение этой фразы изменилось с развитием предмета; изначально для поверхностей это означало найти гладкую разновидность ${displaystyle X}$ для которого любой бирациональный морфизм ${displaystyle fcolon X o X'}$ с гладкой поверхностью ${displaystyle X'}$ является изоморфизм.

В современной формулировке цель теории заключается в следующем. Предположим, нам дано проективное многообразие ${displaystyle X}$, которое для простоты считается невырожденным. Есть два случая, основанные на его Кодаира измерение, ${displaystyle kappa (X)}$:^[1]

• ${displaystyle kappa (X)=-infty .}$ Мы хотим найти разнообразие ${displaystyle X'}$ бирациональный к ${displaystyle X}$, и морфизм ${displaystyle fcolon X' o Y}$ к проективному многообразию ${displaystyle Y}$ такой, что ${displaystyle dim Y<dim X',}$ с антиканонический класс ${displaystyle -K_{F}}$ из обычного волокна ${displaystyle F}$ существование обильный. Такой морфизм называется Волоконное пространство Фано.
• ${displaystyle kappa (X)geqslant 0.}$ Мы хотим найти ${displaystyle X'}$ бирациональный к ${displaystyle X}$, с каноническим классом ${displaystyle K_{X^{prime }}}$ неф. В этом случае, ${displaystyle X'}$ это минимальная модель за ${displaystyle X}$.

Вопрос о том, пригодны ли сорта ${displaystyle X'}$ и ${displaystyle X}$ приведенные выше не являются единственными. Кажется естественным надеяться, что если мы начнем с гладкого ${displaystyle X}$, то внутри категории гладких многообразий всегда можно найти минимальную модель или расслоение Фано. Однако это не так, и поэтому возникает необходимость рассматривать также особые разновидности. Возникающие особенности называются терминальные особенности.

Минимальные модели поверхностей

Основная статья: Классификация Энриквеса-Кодаира

Каждая неприводимая комплексная алгебраическая кривая бирациональна единственной гладкой проективной кривой, поэтому теория кривых тривиальна. Случай поверхностей был впервые исследован геометрами итальянской школы около 1900 г .; то теорема о сжатии из Гвидо Кастельнуово по сути описывает процесс построения минимальной модели любой поверхности. Теорема утверждает, что любой нетривиальный бирациональный морфизм ${displaystyle fcolon X o Y}$ должен сжимать −1-кривую в гладкую точку, и, наоборот, любая такая кривая может быть гладко сжата. Здесь −1-кривая - гладкая рациональная кривая C с самопересечением ${displaystyle Ccdot C=-1.}$ Любая такая кривая должна иметь ${displaystyle Kcdot C=-1}$ что показывает, что если канонический класс равен nef, то поверхность не имеет −1-кривых.

Из теоремы Кастельнуово следует, что для построения минимальной модели гладкой поверхности мы просто договор все −1-кривые на поверхности и получившееся многообразие Y является либо (единственной) минимальной моделью с K nef или линейчатая поверхность (которая аналогична двумерному расслоению Фано и является либо проективной плоскостью, либо линейчатой ​​поверхностью над кривой). Во втором случае линейчатая поверхность бирациональна к Икс не уникален, хотя существует единственный, изоморфный произведению проективной прямой и кривой.

Многомерные минимальные модели

В измерениях больше 2 теория становится более сложной. В частности, существуют гладкие сорта ${displaystyle X}$ которые не бирациональны ни одному гладкому многообразию ${displaystyle X'}$ с nef canonical класс. Главный концептуальный прогресс 1970-х и начала 1980-х годов заключался в том, что построение минимальных моделей все еще возможно при условии, что кто-то будет осторожен с типами возникающих сингулярностей. (Например, мы хотим решить, ${displaystyle K_{X'}}$ является nef, поэтому числа пересечений ${displaystyle K_{X'}cdot C}$ должен быть определен. Следовательно, по крайней мере, наши сорта должны иметь ${displaystyle nK_{X'}}$ быть Делитель Картье для некоторого положительного целого числа ${displaystyle n}$.)

Первый ключевой результат - это теорема о конусе из Шигефуми Мори, описывающий структуру конуса кривых ${displaystyle X}$. Вкратце теорема показывает, что начиная с ${displaystyle X}$, можно индуктивно построить последовательность многообразий ${displaystyle X_{i}}$, каждый из которых «ближе», чем предыдущий, к наличию ${displaystyle K_{X_{i}}}$ неф. Однако в процессе могут возникнуть сложности: в какой-то момент разнообразие ${displaystyle X_{i}}$ может стать «слишком необычным». Предполагаемое решение этой проблемы - кувырок, своего рода хирургическая операция коразмерности-2 на ${displaystyle X_{i}}$. Неясно, существуют ли требуемые флипы или что они всегда заканчиваются (то есть, что достигается минимальная модель ${displaystyle X'}$ за конечное число шагов.) Мори (1988) показал, что флипы существуют в трехмерном случае.

Существование более общих журналов было установлено Вячеслав Шокуров в трех и четырех измерениях. Впоследствии это было обобщено на более высокие измерения Caucher Birkar, Паоло Кашини, Кристофер Хакон, и Джеймс МакКернан опираясь на более ранние работы Шокурова, Хакона и МакКернана. Они также доказали несколько других проблем, включая конечную генерацию лог-канонических колец и существование минимальных моделей для многообразий лог-канонического типа.

Проблема прекращения переворотов журнала в более высоких измерениях остается предметом активных исследований.

Смотрите также

• Гипотеза изобилия
• Минимальная рациональная поверхность

Рекомендации

1. Обратите внимание, что измерение Кодаира п-мерное разнообразие либо ${displaystyle -infty }$ или целое число в диапазоне от 0 до п.

• Биркар, Кошер; Кашини, Паоло; Хакон, Кристофер; МакКернан, Джеймс (2010), «Существование минимальных моделей для многообразий общего типа бревен», Журнал Американского математического общества, 23 (2): 405–468, arXiv:математика / 0610203, Bibcode:2010JAMS ... 23..405B, Дои:10.1090 / S0894-0347-09-00649-3, МИСТЕР  2601039
• Клеменс, Герберт; Коллар, Янош; Мори, Шигефуми (1988), "Многомерная комплексная геометрия", Astérisque (166): 144 стр. (1989), ISSN  0303-1179, МИСТЕР  1004926
• Фуджино, Осаму (2009), «Новые разработки в теории минимальных моделей», Сугаку, Математическое общество Японии, 61 (2): 162–186, ISSN  0039-470X, МИСТЕР  2560253
• Коллар, Янош (1987), «Структура трехмерных алгебраических многообразий: введение в программу Мори», Бюллетень Американского математического общества, Новая серия, 17 (2): 211–273, Дои:10.1090 / S0273-0979-1987-15548-0, ISSN  0002-9904, МИСТЕР  0903730
• Коллар, Янош (1989), «Минимальные модели трехмерных алгебраических многообразий: программа Мори», Astérisque (177): 303–326, ISSN  0303-1179, МИСТЕР  1040578
• Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые на алгебраических многообразиях, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике. 32, Берлин: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-662-03276-3, ISBN  978-3-642-08219-1, МИСТЕР  1440180
• Коллар, Янош; Мори, Шигефуми (1998), Бирациональная геометрия алгебраических многообразий, Кембриджские трактаты по математике, 134, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511662560, ISBN  978-0-521-63277-5, МИСТЕР  1658959
• Мацуки, Кендзи (2002), Введение в программу Мори, Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4757-5602-9, ISBN  978-0-387-98465-0, МИСТЕР  1875410
• Мори, Шигефуми (1988), "Теорема о перевороте и существование минимальных моделей для трехмерных многообразий", Журнал Американского математического общества, Американское математическое общество, 1 (1): 117–253, Дои:10.2307/1990969, ISSN  0894-0347, JSTOR  1990969, МИСТЕР  0924704
• Кавамата, Юдзиро (2001) [1994], "Теория экстремальных лучей Мори", Энциклопедия математики, EMS Press