В математика, то Формула Минковского – Штейнера формула, связывающая площадь поверхности и объем из компактный подмножества из Евклидово пространство. Точнее, он определяет площадь поверхности как «производную» замкнутого объема в соответствующем смысле.
Формула Минковского – Штейнера используется вместе с формулой Теорема Брунна – Минковского., чтобы доказать изопериметрическое неравенство. Он назван в честь Герман Минковски и Якоб Штайнер.
Постановка формулы Минковского-Штейнера.
Позволять
, и разреши
компактное множество. Позволять
обозначить Мера Лебега (Объем от
. Определите количество
посредством Формула Минковского – Штейнера

куда

обозначает закрытый мяч из радиус
, и

это Сумма Минковского из
и
, так что

Измерение поверхности
Для «достаточно регулярных» множеств
, количество
действительно соответствует
-размерная мера граница
из
. См. Федерер (1969) для полного рассмотрения этой проблемы.
Выпуклые множества
Когда набор
это выпуклый набор, то лим-инф выше это правда предел, и можно показать, что

где
некоторые непрерывные функции из
(видеть квермассинтегралы ) и
обозначает меру (объем) единичный мяч в
:

куда
обозначает Гамма-функция.
Пример: объем и площадь шара.
Принимая
дает следующую известную формулу для площади поверхности сфера радиуса
,
:

![{ displaystyle = lim _ { delta to 0} { frac {[(R + delta) ^ {n} -R ^ {n}] omega _ {n}} { delta}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2dab443dccfcaa5e285f5476539fe9f5c54406)

куда
как указано выше.
Рекомендации