Монотонная сравнительная статика - Monotone comparative statics - Wikipedia

Монотонная сравнительная статика является подполе сравнительная статика который фокусируется на условиях, при которых эндогенные переменные подвергаются монотонным изменениям (то есть либо увеличиваются, либо уменьшаются), когда происходит изменение экзогенных параметров. Традиционно сравнительные результаты в экономике получают с помощью Теорема о неявной функции, подход, который требует вогнутости и дифференцируемости целевой функции, а также внутренности и единственности оптимального решения. Методы монотонной сравнительной статики обычно обходятся без этих предположений. Он фокусируется на основном свойстве, лежащем в основе монотонной сравнительной статики, которое является формой взаимодополняемости между эндогенной переменной и экзогенным параметром. Грубо говоря, проблема максимизации демонстрирует комплементарность, если более высокое значение экзогенного параметра увеличивает предельную отдачу эндогенной переменной. Это гарантирует, что набор решений задачи оптимизации увеличивается по экзогенному параметру.

Основные результаты

Мотивация

Позволять ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$ и разреши ${\displaystyle f(\cdot ;s):X\rightarrow \mathbb {R} }$ - семейство функций, параметризованных ${\displaystyle s\in S}$, куда ${\displaystyle (S,\geq _{S})}$ это частично заказанный набор (или для краткости позет). Каким образом переписка ${\displaystyle \arg \max \limits _{x\in X}f(x;s)}$ варьироваться в зависимости от ${\displaystyle s}$?

Стандартный подход сравнительной статики: Предположим, что множество ${\displaystyle X}$ компактный интервал и ${\displaystyle f(\cdot ;s)}$ является непрерывным дифференцируемый, строго квазивогнутый функция ${\displaystyle x}$. Если ${\displaystyle {\bar {x}}(s)}$ является единственным максимизатором ${\displaystyle f(\cdot ;s)}$, достаточно показать, что ${\displaystyle f'({\bar {x}}(s);s')\geq 0}$ для любого ${\displaystyle s'>s}$, что гарантирует, что ${\displaystyle {\bar {x}}(s)}$ увеличивается в ${\displaystyle s}$. Это гарантирует смещение оптимума вправо, т. Е. ${\displaystyle {\bar {x}}(s')\geq {\bar {x}}(s)}$. Этот подход делает различные предположения, в первую очередь квазивогнутость ${\displaystyle f(\cdot ;s)}$.

Одномерные задачи оптимизации

Хотя ясно, что означает увеличение уникального оптимального решения, не сразу понятно, что это означает для соответствия. ${\displaystyle \arg \max _{x\in X}f(x;s)}$ увеличиваться в ${\displaystyle s}$. Стандартное определение, принятое в литературе, следующее.

Определение (строгий порядок набора):^[1] Позволять ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle Y'}$ быть подмножествами ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Набор ${\displaystyle Y'}$ доминирует ${\displaystyle Y}$ в строгий порядок набора (${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$) если для любого ${\displaystyle x'}$ в ${\displaystyle Y'}$ и ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle Y}$, у нас есть ${\displaystyle \max\{x',x\}}$ в ${\displaystyle Y'}$ и ${\displaystyle \min\{x',x\}}$ в ${\displaystyle Y}$.

В частности, если ${\displaystyle Y:=\{x\}}$ и ${\displaystyle Y':=\{x'\}}$, тогда ${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$ если и только если ${\displaystyle x'\geq x}$. Переписка ${\displaystyle \arg \max _{x\in X}f(x;s)}$ считается возрастающим, если ${\displaystyle \arg \max _{x\in X}f(x;s')\geq _{SSO}\arg \max _{x\in X}f(x;s)}$ в любое время ${\displaystyle s'>_{S}s}$.

Идея комплементарности между экзогенными и эндогенными переменными формально фиксируется однократными перекрестными различиями.

Определение (функция одиночного пересечения): Позволять ${\displaystyle \phi :S\rightarrow \mathbb {R} }$. потом ${\displaystyle \phi }$ это функция одиночного пересечения если для любого ${\displaystyle s'\geq _{S}s}$ у нас есть ${\displaystyle \phi (s)\geq (>)\ 0\ \Rightarrow \ \phi (s')\geq (>)\ 0}$.

Определение (одиночные перекрестные различия):^[2] Семейство функций ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$, ${\displaystyle f:X\times S\to \mathbb {R} }$, подчиниться одиночные перекрестные различия (или удовлетворить сингл пересечение собственности) если для всех ${\displaystyle x'\geq x}$, функция ${\displaystyle \Delta (s)=f(x';s)-f(x;s)}$ - функция одиночного пересечения.

Очевидно, что возрастающая функция - это функция однократного пересечения и, если ${\displaystyle \Delta (s)}$ увеличивается в ${\displaystyle s}$ (в приведенном выше определении для любого ${\displaystyle x'>x}$), мы говорим, что ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$ подчиниться возрастающие различия. В отличие от возрастающих различий, одиночные перекрестные различия - это порядковая собственность, т.е. если ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$ подчиняться одиночным перекрестным различиям, то так же ${\displaystyle \{g(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$, куда ${\displaystyle g(x;s)=H(f(x;s);s)}$ для какой-то функции ${\displaystyle H(\cdot ;s)}$ что строго увеличивается в ${\displaystyle x}$.

Теорема 1:^[3] Определять ${\displaystyle F_{Y}(s):=\arg \max _{x\in Y}f(x;s)}$. Семья ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$ подчиняться одиночным пересекающимся различиям тогда и только тогда, когда для всех ${\displaystyle Y\subseteq X}$, у нас есть ${\displaystyle F_{Y}(s')\geq _{SSO}F_{Y}(s)}$ для любого ${\displaystyle s'\geq _{S}s}$.

Доказательство: Предполагать ${\displaystyle s'\geq _{S}s}$ и ${\displaystyle x\in F_{Y}(s)}$, и ${\displaystyle x'\in F_{Y}(s')}$. Мы должны показать, что ${\displaystyle \max\{x',x\}\in F_{Y}(s')}$ и ${\displaystyle \min\{x',x\}\in F_{Y}(s)}$. Нам нужно только рассмотреть случай, когда ${\displaystyle x>x'}$. С ${\displaystyle x\in F_{Y}(s)}$, мы получаем ${\displaystyle f(x;s)\geq f(x';s)}$, что гарантирует, что ${\displaystyle x\in F_{Y'}(s')}$. Более того, ${\displaystyle f(x;s)=f(x';s)}$ так что ${\displaystyle x'\in F_{Y}(s)}$. Если не, ${\displaystyle f(x;s)>f(x';s)}$ что означает (путем однократного пересечения разностей), что ${\displaystyle f(x;s')>f(x';s')}$, что противоречит оптимальности ${\displaystyle x'}$ в ${\displaystyle s'}$. Чтобы показать необходимость однократных пересечений разностей, установите ${\displaystyle Y:=\{x,{\bar {x}}\}}$, куда ${\displaystyle {\bar {x}}\geq x}$. потом ${\displaystyle F_{Y}(s')\geq _{SSO}F_{Y}(s)}$ для любого ${\displaystyle s'\geq _{S}s}$ гарантирует, что если ${\displaystyle f({\bar {x}};s)\geq (>)\ f(x;s)}$, тогда ${\displaystyle f({\bar {x}};s')\geq (>)\ f(x;s')}$. Q.E.D.

Применение (монопольный выпуск и изменение затрат): Монополист выбирает ${\displaystyle x\in X\subseteq \mathbb {R} _{+}}$ максимизировать свою прибыль ${\displaystyle \Pi (x;-c)=xP(x)-cx}$, куда ${\displaystyle P:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}}$ - обратная функция спроса и ${\displaystyle c\geq 0}$ постоянные предельные затраты. Обратите внимание, что ${\displaystyle \{\Pi (\cdot ,-c)\}_{(-c)\in \mathbb {R} _{-}}}$ подчиняются одиночным перекрестным различиям. Действительно, возьмите любой ${\displaystyle x'\geq x}$ и предположим, что ${\displaystyle x'P(x')-cx'\geq (>)\ xP(x)-cx}$; для любого ${\displaystyle c'}$ такой, что ${\displaystyle (-c')\geq (-c)}$, мы получаем ${\displaystyle x'P(x')-c'x'\geq (>)\ xP(x)-c'x}$. Согласно теореме 1, выпуск, максимизирующий прибыль, уменьшается по мере увеличения предельных издержек выпуска, т. Е. Когда ${\displaystyle (-c)}$ уменьшается.

Порядок интервального доминирования

Однократные пересечения разностей не являются необходимым условием для увеличения оптимального решения по параметру. Фактически условие необходимо только для ${\displaystyle \arg \max _{x\in Y}f(x;s)}$ увеличиваться в ${\displaystyle s}$ за любой ${\displaystyle Y\subset X}$. Как только наборы ограничиваются более узким классом подмножеств ${\displaystyle X}$, условие одиночных пересекающихся разностей больше не требуется.

Определение (интервал):^[4] Позволять ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$. Множество ${\displaystyle Y\subseteq X}$ является интервал из ${\displaystyle X}$ если, когда ${\displaystyle x^{*}}$ и ${\displaystyle x^{**}}$ находятся в ${\displaystyle Y}$, то любой ${\displaystyle x\in X}$ такой, что ${\displaystyle x^{*}\leq x\leq x^{**}}$ также в ${\displaystyle Y}$.

Например, если ${\displaystyle X=\mathbb {N} }$, тогда ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$ это интервал ${\displaystyle X}$ но нет ${\displaystyle \{1,2,4\}}$. Обозначить ${\displaystyle [x^{*},x^{**}]=\{x\in X\ |\ x^{*}\leq x\leq x^{**}\}}$.

Определение (порядок интервального доминирования):^[5] Семья ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$ подчиняться порядок интервального доминирования (IDO) если для любого ${\displaystyle x''>x'}$ и ${\displaystyle s'\geq _{S}s}$, так что ${\displaystyle f(x'';s)\geq f(x;s)}$, для всех ${\displaystyle x\in [x',x'']}$, у нас есть ${\displaystyle f(x'';s)\geq (>)\ f(x';s)\ \Rightarrow \ f(x'';s')\geq (>)\ f(x';s')}$.

Подобно разностям одиночного пересечения, порядок доминирования интервала (IDO) является порядковым свойством. Примером семейства IDO является семейство квазивогнутых функций. ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$ куда ${\displaystyle \arg \max _{x\in X}f(x,s)}$ увеличивается в ${\displaystyle s}$. Такая семья не обязана подчиняться одиночным перекрестным различиям.

Функция ${\displaystyle f:X\times S\to \mathbb {R} }$ является обычный если ${\displaystyle \arg \max _{x\in [x^{*},x^{**}]}f(x;s)}$ непусто ни для каких ${\displaystyle x^{**}\geq x^{*}}$, куда ${\displaystyle [x^{*},x^{**}]}$ обозначает интервал ${\displaystyle \{x\in X\ |\ x^{*}\leq x\leq x^{**}\}}$.

Теорема 2:^[6] Обозначить ${\displaystyle F_{Y}(s):=\arg \max _{x\in Y}f(x;s)}$. Семейство обычных функций ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$ подчиняется интервальному порядку доминирования тогда и только тогда, когда ${\displaystyle F_{Y}(s)}$ увеличивается в ${\displaystyle s}$ для всех интервалов ${\displaystyle Y\subseteq X}$.

Доказательство: Чтобы показать достаточность IDO, возьмите любые два ${\displaystyle s'\geq _{S}s}$, и предположим, что ${\displaystyle x'\in F_{Y}(s)}$ и ${\displaystyle x''\in F_{Y}(s')}$. Нам нужно только рассмотреть случай, когда ${\displaystyle x'>x''}$. По определению ${\displaystyle f(x';s)\geq f(x;s)}$, для всех ${\displaystyle x\in [x'',x']\subset Y}$. Кроме того, по IDO у нас есть ${\displaystyle f(x';s')\geq f(x'';s')}$. Следовательно, ${\displaystyle x'\in F_{Y}(s')}$. Кроме того, должно быть, что ${\displaystyle f(x';s)=f(x'';s)}$. В противном случае, т.е. если ${\displaystyle f(x';s)>f(x'';s)}$, то по IDO имеем ${\displaystyle f(x';s')>f(x'';s')}$, что противоречит ${\displaystyle x''\in F_{Y}(s')}$. Чтобы показать необходимость IDO, предположим, что существует интервал ${\displaystyle [x'',x']}$ такой, что ${\displaystyle f(x';s)\geq f(x;s)}$ для всех ${\displaystyle x\in [x'',x']}$. Это означает, что ${\displaystyle x'\in \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s)}$. Есть два возможных нарушения IDO. Одна возможность состоит в том, что ${\displaystyle f(x'';s')>f(x';s')}$. В этом случае по регулярности ${\displaystyle f(\cdot ;s')}$, набор ${\displaystyle \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s')}$ не пусто, но не содержит ${\displaystyle x'}$ что невозможно, так как ${\displaystyle \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s)}$ увеличивается в ${\displaystyle s}$. Другое возможное нарушение IDO происходит, если ${\displaystyle f(x'';s')=f(x';s')}$ но ${\displaystyle f(x'';s)<f(x';s)}$. В этом случае набор ${\displaystyle \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s')}$ либо содержит ${\displaystyle x''}$, что невозможно, поскольку ${\displaystyle \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s)}$ увеличивается в ${\displaystyle s}$ (обратите внимание, что в этом случае ${\displaystyle x''\not \in \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s')}$) или не содержит ${\displaystyle x'}$, что также нарушает монотонность ${\displaystyle \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s)}$. Q.E.D.

Следующий результат дает полезные достаточные условия для разностей однократного пересечения и IDO.

Предложение 1:^[7] Позволять ${\displaystyle X}$ быть интервалом ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$ - семейство непрерывно дифференцируемых функций. (i) Если для любого ${\displaystyle s'\geq _{S}s}$, существует номер ${\displaystyle \alpha >0}$ такой, что ${\displaystyle f'(x;s')\geq \alpha f'(x;s)}$ для всех ${\displaystyle x\in X}$, тогда ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$ подчиняются одиночным перекрестным различиям. (ii) Если для любого ${\displaystyle s'\geq _{S}s}$, существует неубывающая строго положительная функция ${\displaystyle \alpha :X\rightarrow \mathbb {R} }$ такой, что ${\displaystyle f'(x;s')\geq \alpha (x)f'(x;s)}$ для всех ${\displaystyle x\in X}$, тогда ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$ подчиняться IDO.

Применение (проблема оптимальной остановки):^[8] В каждый момент времени агент получает прибыль в размере ${\displaystyle \pi (t)}$, которое может быть положительным или отрицательным. Если агент решит остановиться вовремя ${\displaystyle x}$, приведенная стоимость его накопленной прибыли равна

${\displaystyle V(x;-r)=\int _{0}^{x}e^{-rt}\pi (t)dt,}$

куда ${\displaystyle r>0}$ - ставка дисконтирования. С ${\displaystyle V'(x;-r)=e^{-rx}\pi (x)}$, функция ${\displaystyle V}$ имеет много поворотных моментов, и они не зависят от ставки дисконтирования. Мы утверждаем, что оптимальное время остановки уменьшается по ${\displaystyle r}$, т.е. если ${\displaystyle r'>r>0}$ тогда ${\displaystyle \arg \max _{x\geq 0}V(x;-r)\geq _{SSO}\arg \max _{x\geq 0}V(x;-r')}$. Возьми любой ${\displaystyle r'<r}$. Потом, ${\displaystyle V'(x;-r)=e^{-rx}\pi (x)=e^{(r'-r)x}V'(x;-r').}$ С ${\displaystyle \alpha (x)=e^{(r'-r)x}}$ положительно и возрастает, предложение 1 говорит, что ${\displaystyle \{V(\cdot ;-r)\}_{(-r)<0}}$ подчиняются IDO, и по теореме 2 набор оптимальных моментов остановки уменьшается.

Проблемы многомерной оптимизации

Приведенные выше результаты могут быть распространены на многомерную настройку. Позволять ${\displaystyle (X,\geq _{X})}$ быть решетка. Для любых двух ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x'}$ в ${\displaystyle X}$обозначим их супремум (или же наименьшая верхняя граница, или присоединиться) ${\displaystyle x'\vee x}$ и их инфимум (или же наибольшая нижняя граница, или встретиться) ${\displaystyle x'\wedge x}$.

Определение (строгий порядок набора):^[9] Позволять ${\displaystyle (X,\geq _{X})}$ быть решеткой и ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Y'}$ быть подмножествами ${\displaystyle X}$. Мы говорим что ${\displaystyle Y'}$ доминирует ${\displaystyle Y}$ в строгий порядок набора (${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$ ) если для любого ${\displaystyle x'}$ в ${\displaystyle Y'}$ и ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle Y}$, у нас есть ${\displaystyle x\vee x'}$ в ${\displaystyle Y'}$ и ${\displaystyle x\wedge x'}$ в ${\displaystyle Y}$.

Примеры сильного порядка в высших измерениях.

• Позволять ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ и ${\displaystyle Y:=[a,b]}$, ${\displaystyle Y':=[a',b']}$ быть некоторыми отрезками в ${\displaystyle X}$. Четко ${\displaystyle (X,\geq )}$, куда ${\displaystyle \geq }$ стандартный заказ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$, является решеткой. Следовательно, как было показано в предыдущем разделе ${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$ если и только если ${\displaystyle a'\geq a}$ и ${\displaystyle b'\geq b}$;
• Позволять ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Y'\subset X}$ быть некоторыми гипер прямоугольники. То есть существуют векторы ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle a'}$, ${\displaystyle b'}$ в ${\displaystyle X}$ такой, что ${\displaystyle Y:=\{x\in X\ |\ a\leq x\leq b\}}$ и ${\displaystyle Y':=\{x\in X\ |\ a'\leq x\leq b'\}}$, куда ${\displaystyle \geq }$ - естественный покоординатный порядок на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Обратите внимание, что ${\displaystyle (X,\geq )}$ это решетка. Более того, ${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$ если и только если ${\displaystyle a'\geq a}$ и ${\displaystyle b'\geq b}$;
• Позволять ${\displaystyle (X,\geq _{X})}$ быть пространством для всех распределения вероятностей с поддержкой, являющейся подмножеством ${\displaystyle \mathbb {R} }$, наделенный первым порядком стохастическое доминирование порядок ${\displaystyle \geq _{X}}$. Обратите внимание, что ${\displaystyle (X,\geq _{X})}$ это решетка. Позволять ${\displaystyle Y:=\Delta ([a,b])}$, ${\displaystyle Y':=\Delta ([a',b'])}$ обозначают множества распределений вероятностей с поддержкой ${\displaystyle [a,b]}$ и ${\displaystyle [a',b']}$ соответственно. Потом, ${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$ относительно ${\displaystyle \geq _{X}}$ если и только если ${\displaystyle a'\geq a}$ и ${\displaystyle b'\geq b}$.

Определение (квазисупермодулярная функция):^[10] Позволять ${\displaystyle (X,\geq _{X})}$ быть решеткой. Функция ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ является квазисупермодульный (QSM), если

${\displaystyle f(x)\geq (>)\ f(x\wedge x')\ \Rightarrow \ f(x\vee x')\geq (>)\ f(x').}$

Функция ${\displaystyle f}$ считается супермодульная функция если ${\displaystyle f(x\vee x')-f(x')\geq f(x)-f(x\wedge x').}$ Каждая супермодульная функция квазисупермодулярна. Как и в случае разностей единичных пересечений, и в отличие от сверхмодулярности, квазисупермодульность является порядковым свойством. То есть, если функция ${\displaystyle f}$ квазисупермодулярна, то и функция ${\displaystyle g:=H\circ f}$, куда ${\displaystyle H}$ - некоторая строго возрастающая функция.

Теорема 3:^[11] Позволять ${\displaystyle (X,\geq _{X})}$ решетка, ${\displaystyle (S,\geq _{S})}$ частично упорядоченный набор, и ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Y'}$ подмножества ${\displaystyle X}$. Данный ${\displaystyle f:X\times S\to \mathbb {R} }$, обозначим ${\displaystyle \arg \max _{x\in Y}f(x;s)}$ к ${\displaystyle F_{Y}(s)}$. потом ${\displaystyle F_{Y'}(s')\geq _{SSO}F_{Y}(s)}$ для любого ${\displaystyle s'\geq _{S}s}$ и ${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$

Доказательство: ${\displaystyle (\Leftarrow )}$. Позволять ${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$, ${\displaystyle s'\geq _{S}s}$, и ${\displaystyle x'\in F_{Y'}(s')}$, ${\displaystyle x\in F_{Y}(s)}$. С ${\displaystyle x\in F_{Y}(s)}$ и ${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$, тогда ${\displaystyle f(x;s)\geq f(x'\wedge x;s)}$. По квазисупермодульности ${\displaystyle f(x'\vee x;s)\geq f(x';s)}$, а по разностям одиночного пересечения ${\displaystyle f(x'\vee x;s')\geq f(x';s')}$. Следовательно ${\displaystyle x'\vee x\in F_{Y'}(s')}$. Теперь предположим, что ${\displaystyle x'\wedge x\not \in F_{Y}(s)}$. потом ${\displaystyle f(x;s)>f(x'\wedge x;s)}$. По квазисупермодульности ${\displaystyle f(x'\vee x;s)>f(x';s)}$, и разностями одиночного пересечения ${\displaystyle f(x'\vee x;s')>f(x';s')}$. Но это противоречит тому, что ${\displaystyle x'\in F_{Y'}(s')}$. Следовательно, ${\displaystyle x'\wedge x\in F_{Y}(s)}$.

${\displaystyle (\Rightarrow )}$. Набор ${\displaystyle Y':=\{x',x'\vee x\}}$ и ${\displaystyle Y:=\{x,x'\wedge x\}}$. Потом, ${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$ и поэтому ${\displaystyle F_{Y'}(s)\geq _{SSO}F_{Y}(s)}$, что гарантирует, что если ${\displaystyle f(x;s)\geq (>)\ f(x'\wedge x;s)}$, тогда ${\displaystyle f(x'\vee x;s)\geq (>)\ f(x';s)}$. Чтобы показать, что одиночные пересечения также сохраняются, установите ${\displaystyle Y:=\{x,{\bar {x}}\}}$, куда ${\displaystyle {\bar {x}}\geq x}$. потом ${\displaystyle F_{Y}(s')\geq _{SSO}F_{Y}(s)}$ для любого ${\displaystyle s'\geq _{S}s}$ гарантирует, что если ${\displaystyle f({\bar {x}};s)\geq (>)\ f(x;s)}$, тогда ${\displaystyle f({\bar {x}};s')\geq (>)\ f(x;s')}$. Q.E.D.

Применение (Производство с несколькими товарами):^[12] Позволять ${\displaystyle x}$ обозначают вектор входов (взятых из подрешетки ${\displaystyle X}$ из ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{l}}$) фирмы, максимизирующей прибыль, ${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{l}}$ вектор входных цен, и ${\displaystyle V}$ входной вектор отображения функции дохода ${\displaystyle x}$ к выручке (в ${\displaystyle \mathbb {R} }$). Прибыль фирмы составляет ${\displaystyle \Pi (x;p)=V(x)-p\cdot x}$. Для любого ${\displaystyle x'}$, ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle x'\geq x}$, ${\displaystyle V(x')-V(x)+(-p)(x'-x)}$ увеличивается в ${\displaystyle (-p)}$. Следовательно, ${\displaystyle \{\Pi (\cdot ;p)\}_{p\in \mathbb {R} _{++}^{l}}}$ имеет увеличивающиеся различия (и поэтому он подчиняется различиям одиночного скрещивания). Более того, если ${\displaystyle V}$ супермодульна, то и ${\displaystyle \Pi (\cdot ;p)}$. Следовательно, он квазисупермодулярный и по теореме 3 ${\displaystyle \arg \max _{x\in X}\Pi (x;p)\geq _{SSO}\arg \max _{x\in X}\Pi (x;p')}$ за ${\displaystyle p'\geq p}$.

Проблемы с ограниченной оптимизацией

В некоторых важных экономических приложениях соответствующее изменение набора ограничений не может быть легко понято как увеличение по сравнению с строгим порядком набора, и поэтому теорему 3 нелегко применить. Например, рассмотрим потребителя, который максимизирует функцию полезности. ${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$ с учетом бюджетных ограничений. По цене ${\displaystyle p}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{n}}$ и богатство ${\displaystyle w>0}$, его бюджет ${\displaystyle B(p,w)=\{x\in X\ |\ p\cdot x\leq w\}}$ и его требование установлено на ${\displaystyle (p,w)}$ есть (по определению) ${\displaystyle D(p,w)=\arg \max _{x\in B(p,w)}u(x)}$. Базовым свойством потребительского спроса является нормальность, что означает (в случае, когда спрос уникален), что спрос на каждый товар увеличивается в богатстве. Теорема 3 не может быть непосредственно применена для получения условий нормальности, поскольку ${\displaystyle B(p,w')\not \geq _{SSO}B(p,w)}$ если ${\displaystyle w'>w}$ (когда ${\displaystyle \geq _{SSO}}$ происходит из евклидова порядка). В этом случае имеет место следующий результат.

Теорема 4.^[13] Предполагать ${\displaystyle u:\mathbb {R} _{++}^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ является супермодульным и вогнутым. Тогда соответствие спроса нормально в следующем смысле: предположим, ${\displaystyle w''>w'}$, ${\displaystyle x''\in D(p,w'')}$ и ${\displaystyle x'\in D(p,w')}$; тогда есть ${\displaystyle z''\in D(p,w'')}$ и ${\displaystyle z'\in D(p,w')}$ такой, что ${\displaystyle z''\geq x'}$ и ${\displaystyle x''\geq z'}$.

Супермодульность ${\displaystyle u}$ одно только гарантирует, что для любого ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle u(x\wedge y)-u(y)\geq u(x)-u(x\vee y)}$. Обратите внимание, что четыре точки ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle x\wedge y}$, и ${\displaystyle x\vee y}$ образуют прямоугольник в евклидовом пространстве (в том смысле, что ${\displaystyle x\wedge y-x=y-x\vee y}$, ${\displaystyle x-x\vee y=x\wedge y-y}$, и ${\displaystyle x\wedge y-x}$ и ${\displaystyle x-x\vee y}$ ортогональны). С другой стороны, супермодульность и вогнутость вместе гарантируют, что${\displaystyle u(x\vee y-\lambda v)-u(y)\geq u(x)-u(x\wedge y+\lambda v).}$для любого ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$, куда ${\displaystyle v=y-x\wedge y=x\vee y-x}$. В этом случае, что особенно важно, четыре точки ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle x\vee y-\lambda v}$, и ${\displaystyle x\wedge y+\lambda v}$ образуют обратный параллелограмм в евклидовом пространстве.

Монотонная сравнительная статика в условиях неопределенности

Позволять ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$, и ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$ - семейство действительных функций, определенных на ${\displaystyle X}$ которые подчиняются одиночным различиям скрещивания или порядку доминирования интервалов. Теорема 1 и 3 говорят нам, что ${\displaystyle \arg \max _{x\in X}f(x,;s)}$ увеличивается в ${\displaystyle s}$. Устный перевод ${\displaystyle s}$ чтобы быть состоянием мира, это означает, что оптимальное действие увеличивается в состоянии, если состояние известно. Предположим, однако, что действие ${\displaystyle x}$ принято до ${\displaystyle s}$ реализовано; тогда кажется разумным, что оптимальное действие должно увеличиваться с вероятностью более высоких состояний. Чтобы сформулировать это понятие формально, пусть ${\displaystyle \{\lambda (\cdot ;t)\}_{t\in T}}$ - семейство функций плотности, параметризованных ${\displaystyle t}$ в позе ${\displaystyle (T,\geq _{T})}$, где выше ${\displaystyle t}$ связана с более высокой вероятностью более высоких состояний либо в смысле стохастического доминирования первого порядка, либо монотонное отношение правдоподобия свойство. Делая выбор в условиях неопределенности, агент максимизирует

${\displaystyle F(x;t)=\int _{S}f(x;s)\,\lambda (s;t)\,ds.}$

За ${\displaystyle \arg \max _{x\in X}F(x;t)}$ увеличиваться в ${\displaystyle t}$, достаточно (по теоремам 1 и 2), чтобы семейство ${\displaystyle \{F(\cdot ;t)\}_{t\in T}}$ подчиняются одиночным различиям скрещивания или порядку доминирования интервалов. Результаты этого раздела дают условие, при котором это выполняется.

Теорема 5. Предполагать ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$ ${\displaystyle (S\subseteq \mathbb {R} )}$ подчиняется возрастающим различиям. Если ${\displaystyle \{\lambda (\cdot ;t)\}_{t\in T}}$ упорядочен относительно стохастического доминирования первого порядка, то ${\displaystyle \{F(\cdot ;t)\}_{t\in T}}$ подчиняется возрастающим различиям.

Доказательство: Для любого ${\displaystyle x',x\in X}$, определять ${\displaystyle \phi (s):=f(x';s)-f(x;s)}$. Потом, ${\displaystyle F(x';t)-F(x;t)=\int _{S}[f(x';s)-f(x;s)]\lambda (s;t)ds}$, или эквивалентно ${\displaystyle F(x';t)-F(x;t)=\int _{S}\phi (s)\lambda (s;t)ds}$. С ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$ подчиняется возрастающим различиям, ${\displaystyle \phi }$ увеличивается в ${\displaystyle s}$ и гарантии стохастического доминирования первого порядка ${\displaystyle F(x';t)-F(x;t)}$ увеличивается в ${\displaystyle t}$. Q.E.D.

В следующей теореме Икс может быть либо «разницей одиночного пересечения», либо «порядком доминирования интервала».

Теорема 6.^[14] Предполагать ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$ (за ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$) подчиняется Икс. Тогда семья ${\displaystyle \{F(\cdot ;t)\}_{t\in T}}$ подчиняется Икс если ${\displaystyle \{\lambda (\cdot ;t)\}_{t\in T}}$ упорядочен относительно свойства монотонного отношения правдоподобия.

Условие монотонного отношения правдоподобия в этой теореме нельзя ослабить, как показывает следующий результат.

Предложение 2: Позволять ${\displaystyle \lambda (\cdot ;t')}$ и ${\displaystyle \lambda (\cdot ;t)}$ - две вероятностные массовые функции, определенные на ${\displaystyle S:=\{1,2,\ldots ,N\}}$ и предположим ${\displaystyle \lambda (\cdot ;t'')}$ не доминирует ${\displaystyle \lambda (\cdot ;t')}$ относительно свойства монотонного отношения правдоподобия. Тогда есть семейство функций ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$, определенные на ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$, которые подчиняются одиночным перекрестным различиям, таким, что ${\displaystyle \arg \max _{x\in X}F(x;t'')<\arg \max _{x\in X}F(x;t')}$, куда ${\displaystyle F(x;t)=\sum _{s\in S}\lambda (s,t)f(x,s)}$ (за ${\displaystyle t=t',\,t''}$).

Приложение (задача оптимального портфеля): Агент максимизирует ожидаемую полезность с помощью строго возрастающей функции полезности Бернулли. ${\displaystyle u:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} }$. (Вогнутость не предполагается, поэтому мы позволяем агенту проявлять любовь к риску.) Богатство агента, ${\displaystyle w>0}$, можно вложить в безопасный или рискованный актив. Цены двух активов нормализованы к 1. Безопасный актив дает постоянную доходность. ${\displaystyle R\geq 0}$, а возврат рискованного актива ${\displaystyle s}$ определяется распределением вероятностей ${\displaystyle \lambda (s;t)}$. Позволять ${\displaystyle x}$ обозначают вложение агента в рискованный актив. Тогда богатство агента в государстве ${\displaystyle s}$ является ${\displaystyle (w-x)R+xs}$. Агент выбирает ${\displaystyle x}$ максимизировать

${\displaystyle V(x;t):=\int _{S}u((w-x)R+xs)\lambda (s;t)\,ds.}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle \{{\hat {u}}(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$, куда ${\displaystyle {\hat {u}}(x;s):=u(wR+x(s-R))}$, подчиняется однократным пересекающимся (но не обязательно возрастающим) различиям. По теореме 6 ${\displaystyle \{V(\cdot ;t)\}_{t\in T}}$ подчиняется одиночным перекрестным различиям, и, следовательно, ${\displaystyle \arg \max _{x\geq 0}V(x;t)}$ увеличивается в ${\displaystyle t}$, если ${\displaystyle \lambda (\cdot ;t)\}_{t\in T}}$ упорядочивается с учетом свойства монотонного отношения правдоподобия.

Агрегация единичного пересечения собственности

Хотя сумма возрастающих функций также увеличивается, ясно, что свойство единственного пересечения не обязательно должно сохраняться путем агрегирования. Для того, чтобы сумма отдельных перекрестных функций имела одно и то же свойство, необходимо, чтобы функции были связаны друг с другом определенным образом.

Определение (монотонное соотношение со знаком):^[15] Позволять ${\displaystyle (S,\geq _{S})}$ быть позетом. Две функции ${\displaystyle f,g:S\to \mathbb {R} }$ подчиниться знаковый {-} монотонность отношения если для любого ${\displaystyle s'\geq s}$, имеет место следующее:

• если ${\displaystyle f(s)>0}$ и ${\displaystyle g(s)<0}$, тогда

${\displaystyle -{\frac {g(s)}{f(s)}}\geq -{\frac {g(s')}{f(s')}};}$

• если ${\displaystyle f(s)<0}$ и ${\displaystyle g(s)>0}$, тогда

${\displaystyle -{\frac {f(s)}{g(s)}}\geq -{\frac {f(s')}{g(s')}}.}$

Предложение 3: Позволять ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ быть двумя одиночными перекрестными функциями. потом ${\displaystyle \alpha f+\beta g}$ является единственной функцией пересечения для любых не {-} отрицательных скаляров ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ если и только если ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ подчиняться знаковой монотонности.

Доказательство: Предположим, что ${\displaystyle f(s)>0}$ и ${\displaystyle g(s)<0}$. Определять ${\displaystyle \alpha ^{*}=-g(s)/f(s)}$, так что ${\displaystyle \alpha ^{*}f(s)+g(s)=0}$. С ${\displaystyle \alpha ^{*}f(s)+g(s)}$ функция одиночного пересечения, должно быть, что ${\displaystyle \alpha ^{*}f(s')+g(s')\geq 0}$, для любого ${\displaystyle s'\geq s}$. Кроме того, напомним, что поскольку ${\displaystyle f}$ - функция одиночного пересечения, то ${\displaystyle f(s')>0}$. Преобразуя указанное выше неравенство, заключаем, что

${\displaystyle \alpha ^{*}=-{\frac {g(s)}{f(s)}}\geq -{\frac {g(s')}{f(s')}}.}$

Чтобы доказать обратное, без ограничения общности предположим, что ${\displaystyle \beta =1}$. Предположим, что

${\displaystyle \alpha f(s)+g(s)\geq (>)0.}$

Если оба ${\displaystyle f(s)\geq 0}$ и ${\displaystyle g(s)\geq 0}$, тогда ${\displaystyle f(s')\geq 0}$ и ${\displaystyle g(s')\geq 0}$ поскольку обе функции являются однократными. Следовательно, ${\displaystyle \alpha f(s')+g(s')\geq (>)0}$. Предположим, что ${\displaystyle g(s)<0}$ и ${\displaystyle f(s)>0}$. С ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ подчиняться знаковой {-} монотонности соотношения, должно быть, что

${\displaystyle \alpha \geq (>)-{\frac {g(s)}{f(s)}}\geq -{\frac {g(s')}{f(s')}}.}$

С ${\displaystyle f}$ - функция одиночного пересечения, ${\displaystyle f(s')>0}$, и так ${\displaystyle \alpha f(s')+g(s')\geq (>)\ 0.}$ Q.E.D.

Этот результат можно обобщить на бесконечные суммы в следующем смысле.

Теорема 7.^[16] Позволять ${\displaystyle (T,{\mathcal {T}},\mu )}$ - пространство с конечной мерой, и предположим, что для каждого ${\displaystyle s\in S}$, ${\displaystyle f(s;t)}$ является ограниченной и измеримой функцией от ${\displaystyle t\in T}$. потом ${\displaystyle F(s)=\int _{T}f(s;t)d\mu (t)}$ является единственной функцией пересечения, если для всех ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle t'\in T}$, пара функций ${\displaystyle f(s;t)}$ и ${\displaystyle f(s;t')}$ из ${\displaystyle s\in S}$ удовлетворяют знаковой монотонности. Это условие также необходимо, если ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ содержит все одноэлементные наборы и ${\displaystyle F}$ требуется, чтобы быть единственной функцией пересечения для любой конечной меры ${\displaystyle \mu }$.

Применение (проблема монополии в условиях неопределенности):^[17] Фирма сталкивается с неопределенностью в отношении спроса на ее продукцию ${\displaystyle x}$ и прибыль в государстве ${\displaystyle t\in T\subset \mathbb {R} }$ дан кем-то ${\displaystyle \Pi (x;-c,t)=xP(x;t)-cx}$, куда ${\displaystyle c}$ предельная стоимость и ${\displaystyle P(x,t)}$ обратная функция спроса в состоянии ${\displaystyle t}$. Фирма максимизирует

${\displaystyle V(x;-c)=\int _{T}u(\Pi (x;-c,t))d\lambda (t),}$

куда ${\displaystyle \lambda }$ это вероятность состояния ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle u:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ - функция полезности Бернулли, отражающая отношение фирмы к неопределенности. По теореме 1 ${\displaystyle \arg \max _{x\geq 0}V(x;-c)}$ увеличивается в ${\displaystyle -c}$ (т. е. объем производства падает вместе с предельными издержками), если семья ${\displaystyle \{V(x;-c)\}_{c\in \mathbb {R} _{+}}}$ подчиняется разностям одиночного скрещивания. Последний по определению говорит, что для любого ${\displaystyle x'\geq x}$, функция

${\displaystyle \Delta (-c)=\int _{T}[u(\Pi (x';-c,t))-u(\Pi (x;-c,t))]\,d\lambda (t),}$

- функция одиночного пересечения. Для каждого ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \delta (-c,t)=u(\Pi (x';-c,t))-u(\Pi (x;-c,t))}$ функция однократного пересечения ${\displaystyle -c}$. Однако если ${\displaystyle u}$ линейно, ${\displaystyle \delta }$ в целом не будет увеличиваться ${\displaystyle -c}$. Применяя теорему 6, ${\displaystyle \Delta }$ является однократной функцией пересечения, если для любого ${\displaystyle t',t\in T}$, функции ${\displaystyle \delta (-c,t)}$ и ${\displaystyle \delta (-c,t')}$ (из ${\displaystyle -c}$) подчиняются знаковой монотонности. Это гарантировано, когда (i) ${\displaystyle P}$ уменьшается в ${\displaystyle x}$ и увеличение ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle \{\log(P(\cdot ,t))\}_{t\in T}}$ подчиняется возрастающим различиям; и (ii) ${\displaystyle u:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ дважды дифференцируема, с ${\displaystyle u'>0}$, и подчиняется убывающей абсолютной предотвращение риска (ДАРА).

Смотрите также

• Сравнительная статика
• Микроэкономика
• Модель (экономика)
• Качественная экономика

Избранная литература по монотонной сравнительной статике и ее приложениям

• Базовые техники - Милгром и Шеннон (1994).,^[18] Милгром (1994),^[19] Шеннон (1995),^[20] Топкис (1998),^[21] Эдлин и Шеннон (1998),^[22] Этей (2002),^[23] Quah (2007),^[24] Куа и Струловичи (2009, 2012),^[25] Кукушкин (2013);^[26]
• Взаимодополняемость производства и их значение - Милгром и Робертс (1990а, 1995);^[27] Топкис (1995);^[28]
• Игры со стратегической взаимодополняемостью - Милгром и Робертс (1990b);^[29] Топкис (1979);^[30] Вивес (1990);^[31]
• Сравнительная статика задачи оптимизации потребителей - Антониаду (2007);^[32] Quah (2007);^[33] Шираи (2013);^[34]
• Монотонная сравнительная статика в условиях неопределенности - Этей (2002);^[35] Куах и Струловичи (2009, 2012);^[36]
• Монотонная сравнительная статика для моделей политики - Ганс и Смарт (1996),^[37] Ашворт и Буэно де Мескита (2006);^[38]
• Сравнительная статика задач оптимальной остановки - Куах и Струловичи (2009, 2013);^[39]
• Монотонные байесовские игры - Этей (2001);^[40] Макадамс (2003);^[41] Куах и Струловичи (2012);^[42]
• Байесовские игры со стратегической взаимодополняемостью - Ван Зандт (2010);^[43] Вивес и Ван Зандт (2007);^[44]
• Теория аукционов - Этей (2001);^[45] Макадамс (2007а, б);^[46] Рени и Замир (2004);^[47]
• Сравнение информационных структур - Куах и Струловичи (2009);^[48]
• Сравнительная статика в промышленной организации - Амир и Грило (1999);^[49] Амир и Лэмбсон (2003 г.);^[50] Вивес (2001);^[51]
• Неоклассический оптимальный рост - Амир (1996b);^[52] Датта, Мирман и Реффетт (2002);^[53]
• Многоступенчатые игры - Вивес (2009);^[54]
• Динамические стохастические игры с бесконечным горизонтом - Амир (1996а, 2003);^[55] Бальбус, Реффетт и Возни (2013, 2014)^[56]

Рекомендации

1. См. Вейнотт (1992): Решеточное программирование: качественная оптимизация и равновесия. MS Stanford.
2. См. Милгром П. и К. Шеннон (1994): «Монотонная сравнительная статика». Econometrica, 62 (1), 157–180; or Quah, J. K.-H., and B. Strulovici (2012): «Агрегирование свойства одного пересечения», Econometrica, 80(5), 2333–2348.
3. Милгром П. и К. Шеннон (1994): «Монотонная сравнительная статика», Econometrica, 62(1), 157–180.
4. Куах, Дж. К.-Х. и Б. Струловичи (2009): «Сравнительная статика, информативность и порядок интервального доминирования», Econometrica, 77(6), 1949–1992.
5. Куах, Дж. К.-Х. и Б. Струловичи (2009): «Сравнительная статика, информативность и порядок интервального доминирования», Econometrica, 77(6), 1949–1992.
6. Куах, Дж. К.-Х. и Б. Струловичи (2009): «Сравнительная статика, информативность и порядок интервального доминирования», Econometrica, 77(6), 1949–1992.
7. Куах, Дж. К.-Х. и Б. Струловичи (2009): «Сравнительная статика, информативность и порядок интервального доминирования», Econometrica, 77(6), 1949–1992.
8. Куах, Дж. К.-Х. и Б. Струловичи (2009): «Сравнительная статика, информативность и порядок интервального доминирования», Econometrica, 77 (6), 1949–1992; и Куах, Дж. К.-Х., и Б. Струловичи (2013 г.): «Дисконтирование, ценности и решения». Журнал политической экономии, 121(5), 896-939.
9. См. Вейнотт (1992): Решеточное программирование: качественная оптимизация и равновесия. MS Stanford.
10. Милгром П. и К. Шеннон (1994): «Монотонная сравнительная статика», Econometrica, 62(1), 157–180.
11. Милгром П. и К. Шеннон (1994): «Монотонная сравнительная статика», Econometrica, 62(1), 157–180.
12. См. Милгром П. и Дж. Робертс (1990a): «Экономика современного производства: технология, стратегия и организация», Американский экономический обзор, 80 (3), 511–528; или Топкис, Д. М. (1979): «Точки равновесия в субмодульных играх с ненулевой суммой n человек», SIAM Журнал управления и оптимизации, 17, 773–787.
13. Quah, J. K.-H. (2007): «Сравнительная статика задач оптимизации с ограничениями», Econometrica, 75(2), 401–431.
14. См. Эти, С. (2002): «Монотонная сравнительная статика в условиях неопределенности», Ежеквартальный журнал экономики, 117 (1), 187–223; для случая одиночных разностей скрещивания и Quah, J. K.-H., and B. Strulovici (2009): «Сравнительная статика, информативность и порядок интервального доминирования», Econometrica, 77 (6), 1949–1992; для случая IDO.
15. Куах, Дж. К.-Х. и Б. Струловичи (2012): «Агрегирование свойства одного пересечения», Econometrica, 80(5), 2333–2348.
16. Куах, Дж. К.-Х. и Б. Струловичи (2012): «Агрегирование свойства одного пересечения», Econometrica, 80(5), 2333–2348.
17. Куах, Дж. К.-Х. и Б. Струловичи (2012): «Агрегирование свойства одного пересечения», Econometrica, 80(5), 2333–2348.
18. Милгром П. и К. Шеннон (1994): «Монотонная сравнительная статика», Econometrica, 62(1), 157–180.
19. Милгром, П. (1994): «Сравнение оптимумов: влияют ли упрощающие предположения на выводы?» Журнал политической экономии, 102(3), 607–15.
20. Шеннон, К. (1995): «Слабая и сильная монотонная сравнительная статика», Экономическая теория, 5(2), 209–27.
21. Топкис, Д. М. (1998): Супермодульность и дополнительность, Frontiers of Economic Research, Princeton University Press, ISBN  9780691032443.
22. Эдлин, А.С. и К. Шеннон (1998): «Строгая монотонность в сравнительной статике», Журнал экономической теории, 81(1), 201–219.
23. Эти, С. (2002): «Монотонная сравнительная статика в условиях неопределенности». Ежеквартальный журнал экономики, 117(1), 187–223.
24. Quah, J. K.-H. (2007): «Сравнительная статика задач оптимизации с ограничениями», Econometrica, 75(2), 401–431.
25. Куа, Дж. К.-Х. и Б. Струловичи (2009): «Сравнительная статика, информативность и порядок интервального доминирования», Econometrica, 77 (6), 1949–1992; Куах, Дж. К.-Х. и Б. Струловичи (2012): «Агрегирование свойства одного пересечения», Econometrica, 80(5), 2333–2348.
26. Кукушкин Н. (2013): «Монотонная сравнительная статика: изменение предпочтений в сравнении с изменениями в допустимом множестве». Экономическая теория, 52(3), 1039–1060.
27. Милгром П. и Дж. Робертс (1990a): «Экономика современного производства: технология, стратегия и организация», Американский экономический обзор, 80 (3), 511–528; Милгром П. и Дж. Робертс (1995): «Дополнительные и подходящие. Стратегия, структура и организационные изменения в производстве », Журнал бухгалтерского учета и экономики, 19, 179–208.
28. Топкис Д. М. (1995): «Сравнительная статика фирмы». Журнал экономической теории, 67, 370–401.
29. Милгром П. и Дж. Робертс (1990b): «Рационализируемость, обучение и равновесие в играх со стратегическими дополнениями», Econometrica, 58(6), 1255–1277.
30. Топкис, Д. М. (1979): «Точки равновесия в субмодульных играх n человек с ненулевой суммой», SIAM Журнал управления и оптимизации, 17, 773–787.
31. Вивес, X. (1990): «Равновесие по Нэшу со стратегической взаимодополняемостью». Журнал математической экономики, 19, 305–321.
32. Антониаду, Э. (2007): «Сравнительная статика для потребительской проблемы», Экономическая теория, 31, 189–203, Exposita Note.
33. Quah, J. K.-H. (2007): «Сравнительная статика задач оптимизации с ограничениями», Econometrica, 75(2), 401–431.
34. Шираи, К. (2013): «Вариации благосостояния и сравнительная статика спроса», Экономическая теория, 53 (2) Том 53, 315-333.
35. Эти, С. (2002): «Монотонная сравнительная статика в условиях неопределенности». Ежеквартальный журнал экономики, 117(1), 187–223.
36. Куах, Дж. К.-Х. и Б. Струловичи (2009): «Сравнительная статика, информативность и порядок интервального доминирования», Econometrica, 77 (6), 1949–1992; Куах, Дж. К.-Х. и Б. Струловичи (2012): «Агрегирование свойства одного пересечения», Econometrica, 80(5), 2333–2348.
37. Ганс, Дж. С. и М. Смарт (1996 г.): «Голосование большинством с предпочтениями единственного пересечения», Журнал общественной экономики, 59(2), 219–237.
38. Эшворт С. и Э. Буэно де Мескита (2006): «Монотонная сравнительная статика для моделей политики», Американский журнал политологии, 50(1), 214–231.
39. Куах, Дж. К.-Х. и Б. Струловичи (2009): «Сравнительная статика, информативность и порядок интервального доминирования», Econometrica, 77 (6), 1949–1992; Куах, Дж. К.-Х. и Б. Струловичи (2013): «Дисконтирование, ценности и решения». Журнал политической экономии, 121(5), 896-939.
40. Этей, С. (2001): «Свойства единого пересечения и существование чисто стратегических равновесий в играх с неполной информацией», Econometrica, 69(4), 861–889.
41. МакАдамс, Д. (2003): «Изотонное равновесие в играх с неполной информацией», Econometrica, 71(4), 1191–1214.
42. Куах, Дж. К.-Х. и Б. Струловичи (2012): «Агрегирование свойства одного пересечения», Econometrica, 80(5), 2333–2348.
43. Ван Зандт, Т. (2010): «Промежуточное равновесие Байеса-Нэша на пространствах универсального типа для супермодульных игр», Журнал экономической теории, 145(1), 249–263.
44. Вивес, X., и Т. Ван Зандт (2007): «Монотонные равновесия в байесовских играх со стратегическими дополнениями», Журнал экономической теории, 134(1), 339–360.
45. Этей, С. (2001): «Свойства единого пересечения и существование чисто стратегических равновесий в играх с неполной информацией», Econometrica, 69(4), 861–889.
46. Макадамс, Д. (2007a): «Монотонность в асимметричных аукционах первой цены с аффилированием», Международный журнал теории игр, 35 (3), 427–453; Макадамс, Д. (2007b): «Об отказе от монотонности аукционов с единой ценой», Журнал экономической теории, 137(1), 729–732.
47. Рени, П. Дж., И С. Замир (2004): «О существовании монотонных равновесий чистой стратегии в асимметричных аукционах первой цены», Econometrica, 72(4), 1105–1125.
48. Куах, Дж. К.-Х. и Б. Струловичи (2009): «Сравнительная статика, информативность и порядок интервального доминирования», Econometrica, 77(6), 1949–1992.
49. Амир, Р. и И. Грило (1999): «Штакельберг против равновесия Курно», Игры и экономическое поведение, 26(1), 1–21.
50. Амир Р. и В. Э. Лэмбсон (2003): «Вход, выход и несовершенная конкуренция в долгосрочной перспективе», Журнал экономической теории, 110(1), 191–203.
51. Вивес, X. (2001): Ценообразование олигополии: старые идеи и новые инструменты. MIT Press, ISBN  9780262720403.
52. Амир, Р. (1996b): «Анализ чувствительности многосекторной оптимальной экономической динамики», Журнал математической экономики, 25, 123–141.
53. М. Датта, Л. Дж. Мирман и К. Л. Реффетт (2002): «Существование и единственность равновесия в искаженной динамической экономике с капиталом и трудом», Журнал экономической теории, 103(2), 377–410.
54. Вивес, X. (2009): «Стратегическая взаимодополняемость в многоэтапных играх». Экономическая теория, 40(1), 151–171.
55. Амир, Р. (1996a): «Непрерывные стохастические игры накопления капитала с выпуклыми переходами», Игры и экономическое поведение, 15 (2), 111-131; Амир, Р. (2003): «Стохастические игры в экономике и смежных областях: обзор», в Стохастические игры и приложения, изд. А. Нейман и С. Сорин, Институты перспективных наук НАТО. Серия D: Поведенческие и социальные науки. Kluwer Academin Press, Бостон, ISBN  978-94-010-0189-2.
56. Бальбус, Э., К. Реффетт и Э. Woźny (2013): «Марковские стационарные равновесия в стохастических супермодульных играх с несовершенной частной и общественной информацией», Динамические игры и приложения, 3 (2), 187–206; Бальбус, Э., К. Реффетт и Э. Woźny (2014): «Конструктивное исследование марковских равновесий в стохастических играх со стратегическими дополнениями», Журнал экономической теории, 150, с. 815–840.