Мультипликативная последовательность - Multiplicative sequence - Wikipedia

В математика, а мультипликативная последовательность или же м-последовательность это последовательность из многочлены связанный с формальным группа структура. У них есть применение в кольцо кобордизма в алгебраическая топология.

Определение

Позволять K_п быть полиномами над звенеть А в неопределенных п₁, ... взвешены так, чтобы п_я имеет вес я (с п₀ = 1) и все члены в K_п иметь вес п (так что K_п является многочленом от п₁, ..., п_п). Последовательность K_п является мультипликативный если личность

${\displaystyle \sum _{i}p_{i}z^{i}=\sum _{i}p'_{i}z^{i}\cdot \sum _{i}p''_{i}z^{i}}$

подразумевает

${\displaystyle \sum _{i}K_{i}(p_{1},\ldots ,p_{i})z^{i}=\sum _{j}K_{j}(p'_{1},\ldots ,p'_{j})z^{j}\cdot \sum _{k}K_{k}(p''_{1},\ldots ,p''_{k})z^{k}}$

Другими словами, ${\displaystyle p\mapsto K(p)}$ требуется быть эндоморфизм мультипликативного моноид ${\displaystyle (A[[X]],\cdot )}$.

В степенной ряд

${\displaystyle \sum K_{n}(1,0,\ldots ,0)z^{n}}$

это характеристический степенной ряд изK_п. Мультипликативная последовательность определяется ее характеристическим степенным рядом Q(z), и каждый степенной ряд с постоянным членом 1 дает мультипликативную последовательность.

Чтобы восстановить мультипликативную последовательность из характеристического степенного ряда Q(z) считаем коэффициент при z^j в продукте

${\displaystyle \prod _{i=1}^{m}Q(\beta _{i}z)\ }$

для любогом > j. Это симметрично в β_я однородный по весу j: так можно выразить как полином K_j(п₁, ..., п_j) в элементарные симметричные функции п изβ. потом K_j определяет мультипликативную последовательность.

Примеры

Например, последовательность K_п = п_п мультипликативен и имеет характеристический степенной ряд 1 +z.

Рассмотрим степенной ряд

${\displaystyle Q(z)={\frac {\sqrt {z}}{\tanh {\sqrt {z}}}}=1-\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {2^{2k}}{(2k)!}}B_{k}z^{k}\ }$

куда B_k это k-го Число Бернулли. Мультипликативная последовательность с Q как характеристический степенной ряд обозначается L_j(п₁, ..., п_j).

Мультипликативная последовательность с характеристическим степенным рядом

${\displaystyle Q(z)={\frac {2{\sqrt {z}}}{\sinh 2{\sqrt {z}}}}\ }$

обозначается А_j(п₁,...,п_j).

Мультипликативная последовательность с характеристическим степенным рядом

${\displaystyle Q(z)={\frac {z}{1-\exp(-z)}}=1+{\frac {x}{2}}-\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {B_{k}}{(2k)!}}z^{2k}\ }$

обозначается Т_j(п₁,...,п_j): эти Полиномы Тодда.

Род

Основная статья: Род мультипликативной последовательности

В род мультипликативной последовательности является кольцевой гомоморфизм, от кольцо кобордизма гладко ориентированных компактные многообразия на другое кольцо, обычно на кольцо рациональное число.

Например, Род Тоддов связана с полиномами Тодда с характеристическим степенным рядом ${\displaystyle {\frac {z}{1-\exp(-z)}}}$.

Рекомендации

• Хирцебрух, Фридрих (1995) [1978]. Топологические методы в алгебраической геометрии. Классика по математике. Перевод с немецкого и приложение первое Р. Л. Э. Шварценбергера. Приложение второе А. Бореля (Перепечатка 2-го, кор. Оттиск. 3-го изд.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-58663-6. Zbl  0843.14009.