Уравнение педали - Pedal equation

Для плоская кривая C и заданная фиксированная точка О, то уравнение педали кривой - это отношение между р и п куда р это расстояние от О в точку на C и п перпендикулярное расстояние от О к касательная линия к C в точку. Смысл О называется точка педали и ценности р и п иногда называют координаты педали точки относительно кривой и точки педали. Также полезно измерить расстояние до О к нормальному ${\displaystyle p_{c}}$ (в контрпедальная координата), хотя это не самостоятельная величина и относится к ${\displaystyle (r,p)}$ в качестве ${\displaystyle p_{c}:={\sqrt {r^{2}-p^{2}}}}$.

Некоторые кривые имеют особенно простые уравнения педали, и знание уравнения педали кривой может упростить вычисление некоторых ее свойств, таких как кривизна. Эти координаты также хорошо подходят для решения определенных типов силовых задач в классическая механика и небесная механика.

Уравнения

Декартовы координаты

За C приведены в прямоугольные координаты к ж(Икс, у) = 0, а при О за начало отсчета, координаты педали точки (Икс, у) даются:^[1]

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle p={\frac {x{\frac {\partial f}{\partial x}}+y{\frac {\partial f}{\partial y}}}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}}.}$

Уравнение педали можно найти, исключив Икс и у из этих уравнений и уравнения кривой.

Выражение для п можно упростить, если уравнение кривой записать в однородные координаты введя переменную z, так что уравнение кривой имеет вид грамм(Икс, у, z) = 0. Значение п тогда дается^[2]

${\displaystyle p={\frac {\frac {\partial g}{\partial z}}{\sqrt {\left({\frac {\partial g}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial g}{\partial y}}\right)^{2}}}}}$

где результат оценивается при z=1

Полярные координаты

За C приведены в полярные координаты к р = ж(θ), то

${\displaystyle p=r\sin \phi }$

куда ${\displaystyle \phi }$ это полярный тангенциальный угол данный

${\displaystyle r={\frac {dr}{d\theta }}\tan \phi .}$

Уравнение педали можно найти, исключив θ из этих уравнений.^[3]

В качестве альтернативы, из вышесказанного мы можем найти, что

${\displaystyle \left|{\frac {dr}{d\theta }}\right|={\frac {rp_{c}}{p}},}$

куда ${\displaystyle p_{c}:={\sqrt {r^{2}-p^{2}}}}$ - "контрапедальная" координата, т.е. расстояние до нормали. Это означает, что если кривая удовлетворяет автономному дифференциальному уравнению в полярных координатах вида:

${\displaystyle f\left(r,\left|{\frac {dr}{d\theta }}\right|\right)=0,}$

его педальное уравнение становится

${\displaystyle f\left(r,{\frac {rp_{c}}{p}}\right)=0.}$

Пример

В качестве примера возьмем логарифмическую спираль с углом спирали α:

${\displaystyle r=ae^{{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\theta }.}$

Дифференцируя по ${\displaystyle \theta }$ мы получаем

${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}ae^{{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\theta }={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}r,}$

следовательно

${\displaystyle \left|{\frac {dr}{d\theta }}\right|=\left|{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\right|r,}$

и таким образом в координатах педали мы получаем

${\displaystyle {\frac {r}{p}}p_{c}=\left|{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\right|r,\qquad \Rightarrow \qquad |\sin \alpha |p_{c}=|\cos \alpha |p,}$

или используя тот факт, что ${\displaystyle p_{c}^{2}=r^{2}-p^{2}}$ мы получаем

${\displaystyle p=|\sin \alpha |r.}$

Этот подход можно обобщить для включения автономных дифференциальных уравнений любого порядка следующим образом:^[4] Кривая C который является решением павтономное дифференциальное уравнение (${\displaystyle n\geq 1}$) в полярных координатах

${\displaystyle f\left(r,|r'_{\theta }|,r''_{\theta },|r'''_{\theta }|\dots ,r_{\theta }^{(2j)},|r_{\theta }^{(2j+1)}|,\dots ,r_{\theta }^{(n)}\right)=0,}$

это кривая педали кривой, заданной в координатах педали

${\displaystyle f(p,p_{c},p_{c}p_{c}',p_{c}(p_{c}p_{c}')',\dots ,(p_{c}\partial _{p})^{n}p)=0,}$

где дифференцирование проводится по ${\displaystyle p}$.

Проблемы с силой

Решения некоторых силовых задач классической механики можно удивительно легко получить в координатах педали.

Рассмотрим динамическую систему:

${\displaystyle {\ddot {x}}=F^{\prime }(|x|^{2})x+2G^{\prime }(|x|^{2}){\dot {x}}^{\perp },}$

описывающая эволюцию пробной частицы (с положением ${\displaystyle x}$ и скорость ${\displaystyle {\dot {x}}}$) в плоскости при наличии центрального ${\displaystyle F}$ и Лоренцу нравится ${\displaystyle G}$ потенциал. Количество:

${\displaystyle L=x\cdot {\dot {x}}^{\perp }+G(|x|^{2}),\qquad c=|{\dot {x}}|^{2}-F(|x|^{2}),}$

сохраняются в этой системе.

Тогда кривая, проведенная ${\displaystyle x}$ дается в координатах педали как

${\displaystyle {\frac {\left(L-G(r^{2})\right)^{2}}{p^{2}}}=F(r^{2})+c,}$

с точкой педали в начале координат. Этот факт обнаружил П. Блашке в 2017 году.^[5]

Пример

В качестве примера рассмотрим так называемый Проблема Кеплера, то есть проблема центральной силы, где сила изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния:

${\displaystyle {\ddot {x}}=-{\frac {M}{|x|^{3}}}x,}$

мы можем сразу прийти к решению в координатах педали

${\displaystyle {\frac {L^{2}}{p^{2}}}={\frac {2M}{r}}+c,}$,

куда ${\displaystyle L}$ соответствует угловому моменту частицы и ${\displaystyle c}$ своей энергии. Таким образом, мы получили уравнение конического сечения в координатах педали.

Наоборот, для данной кривой C, мы можем легко сделать вывод, какие силы мы должны приложить к пробной частице, чтобы двигаться по ней.

Уравнения педали для конкретных кривых

Синусоидальные спирали

Для синусоидальная спираль написано в форме

${\displaystyle r^{n}=a^{n}\sin(n\theta )}$

полярный тангенциальный угол равен

${\displaystyle \psi =n\theta }$

что дает уравнение педали

${\displaystyle pa^{n}=r^{n+1}.}$

Уравнение педали для ряда знакомых кривых можно получить, задав п к конкретным значениям:^[6]

п	Изгиб	Точка педали	Педаль эк.
1	Круг с радиусом а	Точка на окружности	па = р^2
−1	Линия	Расстояние между точками а от линии	п = а
​^1⁄2	Кардиоидный	Куспид	п^2а = р^3
−​^1⁄2	Парабола	Фокус	п^2 = ар
2	Лемниската Бернулли	Центр	па^2 = р^3
−2	Прямоугольная гипербола	Центр	rp = а^2

Спирали

Спиралевидная кривая формы

${\displaystyle r=c\theta ^{\alpha },}$

удовлетворяет уравнению

${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}=\alpha r^{\frac {\alpha -1}{\alpha }},}$

и, таким образом, может быть легко преобразован в координаты педали как

${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}={\frac {\alpha ^{2}c^{\frac {2}{\alpha }}}{r^{2+{\frac {2}{\alpha }}}}}+{\frac {1}{r^{2}}}.}$

Особые случаи включают:

${\displaystyle \alpha }$	Изгиб	Точка педали	Педаль эк.
1	Спираль Архимеда	Источник	${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {c^{2}}{r^{4}}}}$
−1	Гиперболическая спираль	Источник	${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}}$
​^1⁄2	Спираль Ферма	Источник	${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {c^{4}}{4r^{6}}}}$
−​^1⁄2	Lituus	Источник	${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {r^{2}}{4c^{4}}}}$

Эпи- и гипоциклоиды

Для эпи- или гипоциклоиды, задаваемой параметрическими уравнениями

${\displaystyle x(\theta )=(a+b)\cos \theta -b\cos \left({\frac {a+b}{b}}\theta \right)}$

${\displaystyle y(\theta )=(a+b)\sin \theta -b\sin \left({\frac {a+b}{b}}\theta \right),}$

уравнение педали относительно начала координат:^[7]

${\displaystyle r^{2}=a^{2}+{\frac {4(a+b)b}{(a+2b)^{2}}}p^{2}}$

или же^[8]

${\displaystyle p^{2}=A(r^{2}-a^{2})}$

с

${\displaystyle A={\frac {(a+2b)^{2}}{4(a+b)b}}.}$

Особые случаи, полученные при установке б=​^а⁄_п для конкретных значений п включают:

п	Изгиб	Педаль эк.
1, −​^1⁄2	Кардиоидный	${\displaystyle p^{2}={\frac {9}{8}}(r^{2}-a^{2})}$
2, −​^2⁄3	Нефроид	${\displaystyle p^{2}={\frac {4}{3}}(r^{2}-a^{2})}$
−3, −​^3⁄2	Дельтовидная	${\displaystyle p^{2}=-{\frac {1}{8}}(r^{2}-a^{2})}$
−4, −​^4⁄3	Astroid	${\displaystyle p^{2}=-{\frac {1}{3}}(r^{2}-a^{2})}$

Другие кривые

Другие уравнения педали:,^[9]

Изгиб	Уравнение	Точка педали	Педаль эк.
Линия	${\displaystyle ax+by+c=0}$	Источник	${\displaystyle p={\frac {|c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$
Точка	${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$	Источник	${\displaystyle r={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}}$
Круг	${\displaystyle |x-a|=R}$	Источник	${\displaystyle 2pR=r^{2}+R^{2}-|a|^{2}}$
Эвольта круга	${\displaystyle r={\frac {a}{\cos \alpha }},\ \theta =\tan \alpha -\alpha }$	Источник	${\displaystyle p_{c}=|a|}$
Эллипс	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	Центр	${\displaystyle {\frac {a^{2}b^{2}}{p^{2}}}+r^{2}=a^{2}+b^{2}}$
Гипербола	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	Центр	${\displaystyle -{\frac {a^{2}b^{2}}{p^{2}}}+r^{2}=a^{2}-b^{2}}$
Эллипс	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	Фокус	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{p^{2}}}={\frac {2a}{r}}-1}$
Гипербола	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	Фокус	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{p^{2}}}={\frac {2a}{r}}+1}$
Логарифмическая спираль	${\displaystyle r=ae^{\theta \cot \alpha }}$	полюс	${\displaystyle p=r\sin \alpha }$
Декартово овал	${\displaystyle |x|+\alpha |x-a|=C,}$	Фокус	${\displaystyle {\frac {(b-(1-\alpha ^{2})r^{2})^{2}}{4p^{2}}}={\frac {Cb}{r}}+(1-\alpha ^{2})Cr-((1-\alpha ^{2})C^{2}+b),\ b:=C^{2}-\alpha ^{2}|a|^{2}}$
Кассини овал	${\displaystyle |x||x-a|=C,}$	Фокус	${\displaystyle {\frac {(3C^{2}+r^{4}-|a|^{2}r^{2})^{2}}{p^{2}}}=4C^{2}\left({\frac {2C^{2}}{r^{2}}}+2r^{2}-|a|^{2}\right).}$
Кассини овал	${\displaystyle |x-a||x+a|=C,}$	Центр	${\displaystyle 2Rpr=r^{4}+R^{2}-|a|^{2}.}$

Смотрите также

• Кривая педали

Рекомендации

1. Йейтс §1
2. Эдвардс п. 161
3. Йейтс п. 166, Эдвардс с. 162
4. Предложение Бляшке 1
5. Теорема Бляшке 2.
6. Йейтс п. 168, Эдвардс с. 162
7. Эдвардс п. 163
8. Йейтс п. 163
9. Йейтс п. 169, Эдвардс с. 163, Блашке сек. 2.1

• R.C. Йейтс (1952). «Педальные уравнения». Справочник по кривым и их свойствам. Анн-Арбор, Мичиган: Дж. У. Эдвардс. стр. 166 и сл.
• Дж. Эдвардс (1892). Дифференциальное исчисление. Лондон: MacMillan and Co., стр.161 ff.

• П. Блашке (2017). «Педальные координаты, темный Кеплер и другие силовые проблемы» (PDF). Журнал математической физики. 58/6. Дои:10.1063/1.4984905.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Координаты педали». MathWorld.