Фермат спиральный - Fermats spiral - Wikipedia

Спираль Ферма: одна ветвь

Спираль Ферма: обе ветви

А Спираль Ферма или же параболическая спираль это плоская кривая названный в честь Пьер де Ферма.^[1] Его представление в полярных координатах дается формулой

{ displaystyle r = pm a { sqrt { varphi}}, quad varphi geq 0}

который описывает парабола с горизонтальной осью.

Спираль Ферма похожа на Архимедова спираль. Но архимедова спираль всегда имеет одинаковое расстояние между соседними дугами, что неверно для спирали Ферма.

Как и другие спирали, спираль Ферма используется для непрерывного смешения кривых кривизны.^[1]

В декартовых координатах

Спираль Ферма с полярным уравнением

{ displaystyle r = a { sqrt { varphi}}, quad varphi geq 0}

можно описать в декартовых координатах $(Икс = р потому что φ, у = р грех φ)$ посредством параметрическое представление

{ displaystyle x = a { sqrt { varphi}} cos varphi, qquad y = a { sqrt { varphi}} sin varphi, quad varphi geq 0 .}

Из параметрического представления и $φ = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} р 2 / а 2$ , $р = \sqrt Икс 2 + у 2$ получить представление уравнение:

{ displaystyle { frac {y} {x}} = tan left ({ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {a ^ {2}}} right) .}

Геометрические свойства

Спираль Ферма делит плоскость на две связанные области (диаграмма: черная и белая)

Подразделение самолета

Полная спираль Ферма (обе ветви) представляет собой гладкую двойная точка свободная кривая, в отличие от архимедова и гиперболическая спираль. Он делит плоскость (как линию, круг или параболу) на две связанные области. Но это деление менее очевидно, чем деление линией, кругом или параболой. Неочевидно, с какой стороны принадлежит выбранная точка.

Определение сектора (голубой) и полярного угла наклона

α

Полярный склон

Из векторное исчисление в полярных координатах получается формула

{ displaystyle tan alpha = { frac {r '} {r}}}

для полярный склон и его угол $α$ между касательной к кривой и соответствующим полярным кругом (см. диаграмму).

Для спирали Ферма $р = а \sqrt φ$ один получает

{ displaystyle tan alpha = { frac {1} {2 varphi}}.}

Следовательно, угол наклона монотонно уменьшается.

Кривизна

От формула

{ displaystyle kappa = { frac {r ^ {2} +2 (r ') ^ {2} -r , r' '} { left (r ^ {2} + (r') ^ {2 } right) ^ { frac {3} {2}}}}}

для кривизны кривой с полярным уравнением $р = р (φ)$ и его производные

{ displaystyle { begin {align} r '& = { tfrac {a} {2 { sqrt { varphi}}}} = { tfrac {a ^ {2}} {2r}} r' '& = - { tfrac {a} {4 { sqrt { varphi}} ^ {3}}} = - { tfrac {a ^ {4}} {4r ^ {3}}} end {выровнено }}}

каждый получает кривизна спирали Ферма:

${ displaystyle kappa (r) = { frac {2r left (4r ^ {4} + 3a ^ {4} right)} { left (4r ^ {4} + a ^ {2} right) ^ { frac {3} {2}}}}.}$

В начале координат кривизна равна 0. Следовательно, полная кривая в начале координат имеет точка перегиба и $Икс$ -ось - это его касательная.

Площадь между дугами

Площадь сектор спирали Ферма между двумя точками $(р (φ 1), φ 1)$ и $(р (φ 1), φ 1)$ является

{ displaystyle { begin {align} { underline {A}} & = { frac {1} {2}} int _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}} r ( varphi) ^ {2} , d varphi & = { frac {1} {2}} int _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}} a ^ {2 } varphi , d varphi & = { frac {a ^ {2}} {4}} left ( varphi _ {2} ^ {2} - varphi _ {1} ^ {2} right) & = { frac {a ^ {2}} {4}} left ( varphi _ {2} + varphi _ {1} right) left ( varphi _ {2} - varphi _ {1} right). end {align}}}

Спираль Ферма: область между соседними дугами

После увеличения обоих углов на $2 π$ один получает

{ displaystyle { overline {A}} = { frac {a ^ {2}} {4}} left ( varphi _ {2} + varphi _ {1} +4 pi right) left ( varphi _ {2} - varphi _ {1} right) = { underline {A}} + a ^ {2} pi left ( varphi _ {2} - varphi _ {1} верно).}

Следовательно, площадь $А$ региона между две соседние дуги

${ displaystyle A = a ^ {2} pi left ( varphi _ {2} - varphi _ {1} right).}$

$А$ зависит только от разница двух углов, а не самих углов.

В примере, показанном на схеме, все соседние полосы имеют одинаковую площадь: $А 1 = А 2 = А 3$ .

Это свойство используется в электротехника для строительства переменные конденсаторы. ^[2]

области между ними (белый, синий, желтый) имеют одинаковую площадь, равную площади нарисованного круга.

Особый случай из-за Ферма

В 1636 году Ферма написал письмо ^[3] к Марин Мерсенн который содержит следующий особый случай:

Позволять $φ 1 = 0, φ 2 = 2 π$ ; тогда площадь черной области (см. диаграмму) равна $А 0 = а 2 π 2$ , что составляет половину площади круга $K 0$ с радиусом $р (2 π)$ . Области между соседними кривыми (белые, синие, желтые) имеют одинаковую площадь. $А = 2 а 2 π 2$ . Следовательно:

Площадь между двумя дугами спирали после полного поворота равна площади круга. $K 0$ .

Длина дуги

Длина дуги спирали Ферма между двумя точками $(р (φ 1), φ 1)$ можно рассчитать интегралом:

{ displaystyle { begin {align} L & = int _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}} { sqrt { left (r ^ { prime} ( varphi) right ) ^ {2} + r ^ {2} ( varphi)}} , d varphi = cdots & = { frac {a} {2}} int _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}} { sqrt {{ frac {1} { varphi}} + 4 varphi}} , d varphi. end {выравнивается}}}

Этот интеграл приводит к эллиптический интеграл, которую можно решить численно.

Инверсия спирали Ферма (зеленая) - это спираль литууса (синяя)

Инверсия круга

В инверсия на единичной окружности имеет в полярных координатах простое описание $(р, φ) \mapsto (1 / р, φ)$ .

Изображение спирали Ферма $р = а \sqrt φ$ при инверсии на единичной окружности есть литуус спираль с полярным уравнением

{ displaystyle ; r = { frac {1} {a { sqrt { varphi}}}}.}

Когда

φ = 1 / а 2

, обе кривые пересекаются в фиксированной точке единичной окружности.

Касательная ( $Икс$ -оси) в точке перегиба (начале координат) спирали Ферма отображается на себя и является асимптотическая линия спирали литууса.

Золотое сечение и золотой угол

В диске филлотаксис, как в подсолнечник и ромашка, сетка спиралей происходит в Числа Фибоначчи потому что дивергенция (угол следования в одной спирали) приближается к Золотое сечение. Форма спиралей зависит от роста последовательно генерируемых элементов. В зрелом диске филлотаксис, когда все элементы одинакового размера, форма спиралей такая же, как у спиралей Ферма - в идеале. Это потому, что спиральные ходы Ферма равны аннулировать по очереди. Полная модель, предложенная Х. Фогелем в 1979 г.^[4] является

{ displaystyle { begin {align} r & = c { sqrt {n}}, theta & = n times 137,508 ^ { circ}, end {align}}}

куда $θ$ это угол, $р$ это радиус или расстояние от центра, а $п$ порядковый номер цветочка и $c$ - постоянный коэффициент масштабирования. Угол 137,508 ° - это золотой угол который аппроксимируется соотношением Числа Фибоначчи.^[5]

Узор из цветочков, созданный по модели Фогеля (центральное изображение). Два других изображения показывают образцы для немного разных значений угла.

Получившийся спиральный узор из единичные диски следует отличать от Спирали Дойля, узоры, образованные касательными дисками геометрически увеличивающегося радиуса, размещенными на логарифмические спирали.

Солнечные установки

Спираль Ферма также оказалась эффективной компоновкой для зеркал концентрированная солнечная энергия растения.^[6]

Смотрите также

дальнейшее чтение

Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых. Dover Publications. стр.31, 186. ISBN 0-486-60288-5.

внешняя ссылка

[Lekkas-1] а ^б Анастасиос М. Леккас, Андреас Р. Даль, Мортен Брейвик, Тор И. Фоссен: «Построение траектории непрерывной кривизны с использованием спирали Ферма». В: Моделирование, идентификация и контроль. Vol. 34, № 4, 2013, с. 183–198, ISSN 1890-1328.

[2] Фриц Вик: Einführung в die höhere Mathematik. Springer-Verlag, 2013 г., ISBN 978-3-662-36804-6, п. 414.

[Fermat-3] Lettre de Fermat à Mersenne от 3 июля 1636 года, от Пола Кожевника. В: Oeuvres de Fermat. Т. III, С. 277, Lire en ligne.

[4] Фогель, Х (1979). «Лучший способ построить голову подсолнуха». Математические биологические науки. 44 (44): 179–189. Дои:10.1016/0025-5564(79)90080-4.

[5] Прусинкевич, Пшемыслав; Линденмайер, Аристид (1990). Алгоритмическая красота растений. Springer-Verlag. стр.101–107. ISBN 978-0-387-97297-8.

[6] Нет, Кори Дж .; Торрилхон, Мануэль; Мицос, Александр (декабрь 2011 г.). «Оптимизация поля гелиостата: новая вычислительно эффективная модель и биомиметическая схема». Солнечная энергия. Дои:10.1016 / j.solener.2011.12.007.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]