Cotess спираль - Cotess spiral - Wikipedia

В физика и в математика из плоские кривые, Спираль Котеса (также написано Спираль Котса и Cotes спираль) - это семья спирали названный в честь Роджер Котс.

Спирали Котеса, соответствующие k равно 2/3 (красный), 1.0 (черный), 1.5 (зеленый), 3.0 (голубой) и 6.0 (синий)

Форма спиралей в семействе зависит от параметров, а уравнение кривой в полярные координаты может принимать одну из пяти форм:

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\begin{cases}A\cos(k\theta +\varepsilon )\\A\cosh(k\theta +\varepsilon )\\A\theta +\varepsilon \\A\exp(k\theta +\varepsilon )\\A\sinh(\varepsilon -k\theta )\end{cases}}}$

А, k и ε произвольны настоящий номер константы. А определяет размер, k определяет форму, а ε определяет угловое положение спирали.

Котес называл различные формы «случаями». Кривые выше соответствуют его случаям 1, 5, 4, 2, 3 соответственно.

Первая форма - это эпспиральный; второй - это Спираль Пуансо; третья форма - это гиперболическая спираль, который можно рассматривать как предельный случай между эпспиралью и спиралью Пуансо; четвертый - это равноугольная спираль.

Классическая механика

Спирали Котеса появляются в классическая механика, как семейство решений движения частицы, движущейся под обратным кубом центральная сила. Рассмотрим центральную силу

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})=-{\frac {\mu }{r^{3}}}{\hat {\boldsymbol {r}}},}$

куда μ сила притяжения. Рассмотрим частицу, движущуюся под действием центральной силы, и пусть час быть его удельный угловой момент, то частица движется по спирали Котеса с постоянной k спирали, данной

${\displaystyle k={\sqrt {1-{\frac {\mu }{h^{2}}}}}}$

когда μ < час² (косинус форма спирали), или

${\displaystyle k={\sqrt {{\frac {\mu }{h^{2}}}-1}}}$

когда μ > час², Форма Пуансо спирали. Когда μ = час², частица движется по гиперболической спирали. Выведение можно найти в ссылках.^[1][2]

История

в Harmonia Mensurarum (1722) Роджер Котес проанализировал ряд спиралей и других кривых, таких как Lituus. Он описал возможные траектории частицы в центральном силовом поле обратного куба, которые являются спиралями Котеса. Анализ основан на методе в Principia Книга 1, Предложение 42, где путь тела определяется произвольной центральной силой, начальной скоростью и направлением.

В зависимости от начальной скорости и направления он определяет, что существует 5 различных «случаев» (исключая тривиальные, круг и прямую, проходящую через центр).

Он отмечает, что из 5 "первая и последняя описываются Ньютон, посредством квадратуры (т.е. интегрирования) гиперболы и эллипса ".

Случай 2 - это равноугольная спираль, которая является спиралью по преимуществу. Это имеет большое историческое значение, так как в Предложении 9 Книги 1 Принципов Ньютон доказывает, что если тело движется по равноугольной спирали под действием центральной силы, эта сила должна быть обратной кубу радиуса (даже до его доказательства в предложении 11, что для движения по эллипсу, направленному к фокусу, требуется сила, обратная квадрату).

Следует признать, что не все кривые соответствуют обычному определению спирали. Например, когда сила, обратная кубу, центробежная (направлена ​​наружу), так что μ <0 кривая даже не поворачивается вокруг центра. Это представлено случаем 5, первым из полярных уравнений, показанных выше, с k > 1 в данном случае.

Сэмюэл Эрншоу в книге, опубликованной в 1826 году, использовался термин «спирали Котеса», поэтому терминология использовалась в то время.^[3]

Эрншоу четко описывает 5 случаев Кота и без необходимости добавляет 6-й, когда сила центробежная (отталкивающая). Как отмечалось выше, Cotes's включил это в дело 5.

Ошибочное мнение о том, что существует только 3 спирали Котэ, похоже, возникло с Э. Т. Уиттакер с Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел., впервые опубликовано в 1904 году.^{[нужна цитата ]}

У «обратной спирали» Уиттекера есть сноска, которая относится к «Harmonia Mensurarum» Котеса и предложению Ньютона 9. Однако это вводит в заблуждение, поскольку спираль предложения 9 - это равноугольная спираль, в которой он вообще не видит спираль Котеса.

К сожалению, последующие авторы последовали примеру Уиттекера, не потрудившись проверить его точность.

Смотрите также

• Архимедова спираль
• Гиперболическая спираль
• Теорема Ньютона о вращающихся орбитах
• Теорема Бертрана

Рекомендации

1. Натаниэль Гроссман (1996). Настоящая радость небесной механики. Springer. п. 34. ISBN  978-0-8176-3832-0.
2. Уиттакер, Эдмунд Тейлор (1917). Трактат по аналитической динамике частиц и твердых тел; с введением в проблему трех тел (Второе изд.). Издательство Кембриджского университета. стр.83.
3. Эрншоу, Сэмюэл (1832). Динамика, или элементарный трактат о движении; С большим количеством примеров, иллюстрирующих общие принципы и формулы: к которым добавлен краткий трактат о достопримечательностях. Кембридж: Отпечатано В. Меткалфом для J. & J. J. Deighton. стр.47.

Библиография

• Whittaker ET (1937). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел с введением в проблему трех тел (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. С. 80–83. ISBN  978-0-521-35883-5.
• Роджер Котс (1722) Harmonia MensuarumС. 31, 98.
• Исаак Ньютон (1687) Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Книга I, § 2, предложение 9, и § 8, предложение 42, следствие 3, и § 9, предложение 43, следствие 6
• Дэнби ​​Дж. М. (1988). «Дело (р) = μ/р ³ - Спираль Котса (§4.7) ". Основы небесной механики (2-е изд., Перераб. Ред.). Ричмонд, Вирджиния: Виллманн-Белл. С. 69–71. ISBN  978-0-943396-20-0.
• Симон К.Р. (1971). Механика (3-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. п. 154. ISBN  978-0-201-07392-8.
• Сэмюэл Эрншоу (1832). Динамика, или элементарный трактат о движении и краткий трактат о достопримечательностях (1-е изд.). J. & J. J. Deighton; и Whittaker, Treacher & Arnot. п. 47.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Спираль Котса". MathWorld.