Принцип максимума Понтрягина - Pontryagins maximum principle - Wikipedia

Принцип максимума Понтрягина используется в оптимальный контроль теории, чтобы найти наилучший возможный контроль для принятия динамическая система из одного состояния в другое, особенно при наличии ограничений для состояния или элементов управления вводом.^[1] В нем говорится, что это необходимо для любого оптимального управления наряду с траекторией оптимального состояния для решения так называемой гамильтоновой системы, которая является двухточечной краевая задача, плюс максимальное условие Гамильтониан.^[а] Этих необходимых условий становится достаточно при определенных условиях выпуклости на целевую функцию и функцию ограничения.^[2][3]

Принцип максимума сформулировал в 1956 г. русский математик. Лев Понтрягин и его ученики,^[4][5] и его первоначальное применение было для максимизации конечной скорости ракеты.^[6] Результат был получен с использованием идей классической вариационное исчисление.^[7] После небольшого возмущение оптимального управления рассматривается член первого порядка Тейлор расширение по возмущению; обращение возмущения к нулю приводит к вариационному неравенству, из которого следует принцип максимума.^[8]

Считается важной вехой в теории оптимального управления,^[1] значение принципа максимума состоит в том, что максимизировать гамильтониан намного проще, чем исходная бесконечномерная задача управления; а не максимизировать функциональное пространство, проблема преобразуется в точечно оптимизация.^[9] Аналогичная логика приводит к Принцип оптимальности Беллмана, связанный подход к задачам оптимального управления, который утверждает, что оптимальная траектория остается оптимальной в промежуточные моменты времени.^[10] Результирующий Уравнение Гамильтона – Якоби – Беллмана. обеспечивает необходимое и достаточное условие для оптимума и допускает простое расширение к стохастическим задачам оптимального управления, тогда как принцип максимума - нет.^[8] Однако в отличие от уравнения Гамильтона – Якоби – Беллмана, которое должно выполняться для всего пространства состояний, принцип максимума Понтрягина потенциально более эффективен с точки зрения вычислений, поскольку условия, которые он задает, должны выполняться только для определенной траектории.^[1]

Обозначение

В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения.

${\displaystyle \Psi _{T}(x(T))=\left.{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial T}}\right|_{x=x(T)}\,}$

${\displaystyle \Psi _{x}(x(T))={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x(T)}&\cdots &\left.{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x(T)}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle H_{x}(x^{*},u^{*},\lambda ^{*},t)={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial H}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}&\cdots &\left.{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle L_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial L}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &\left.{\frac {\partial L}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle f_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\left.{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\ldots &\left.{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}}$

Формальная формулировка необходимых условий задачи минимизации.

Здесь показаны необходимые условия минимизации функционала. Брать ${\displaystyle x}$ быть государством динамическая система с вводом ${\displaystyle u}$, так что

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u),\quad x(0)=x_{0},\quad u(t)\in {\mathcal {U}},\quad t\in [0,T]}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ - множество допустимых управлений и ${\displaystyle T}$ - конечное (то есть конечное) время системы. Контроль ${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$ должен быть выбран для всех ${\displaystyle t\in [0,T]}$ минимизировать целевой функционал ${\displaystyle J}$ который определяется приложением и может быть абстрагирован как

${\displaystyle J=\Psi (x(T))+\int _{0}^{T}L(x(t),u(t))\,dt}$

К ограничениям на динамику системы можно добавить Лагранжиан ${\displaystyle L}$ введя изменяющиеся во времени Множитель Лагранжа вектор ${\displaystyle \lambda }$, элементы которой называются костями системы. Это мотивирует строительство Гамильтониан ${\displaystyle H}$ определены для всех ${\displaystyle t\in [0,T]}$ к:

${\displaystyle H(x(t),u(t),\lambda (t),t)=\lambda ^{\rm {T}}(t)f(x(t),u(t))+L(x(t),u(t))\,}$

куда ${\displaystyle \lambda ^{\rm {T}}}$ это транспонирование ${\displaystyle \lambda }$.

Принцип минимума Понтрягина утверждает, что оптимальная траектория состояния ${\displaystyle x^{*}}$, оптимальное управление ${\displaystyle u^{*}}$, и соответствующий вектор множителя Лагранжа ${\displaystyle \lambda ^{*}}$ должен минимизировать гамильтониан ${\displaystyle H}$ так что

${\displaystyle (1)\qquad H(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda ^{*}(t),t)\leq H(x^{*}(t),u,\lambda ^{*}(t),t)\,}$

за все время ${\displaystyle t\in [0,T]}$ и для всех допустимых управляющих входов ${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$. Также должно быть, что

${\displaystyle (2)\qquad \Psi _{T}(x(T))+H(T)=0\,}$

Кроме того, сопряженные уравнения

${\displaystyle (3)\qquad -{\dot {\lambda }}^{\rm {T}}(t)=H_{x}(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda (t),t)=\lambda ^{\rm {T}}(t)f_{x}(x^{*}(t),u^{*}(t))+L_{x}(x^{*}(t),u^{*}(t))}$

должен быть доволен. Если конечное состояние ${\displaystyle x(T)}$ не является фиксированным (т.е. его дифференциальная вариация не равна нулю), также должно быть, чтобы конечные затраты были такими, что

${\displaystyle (4)\qquad \lambda ^{\rm {T}}(T)=\Psi _{x}(x(T))\,}$

Эти четыре условия в (1) - (4) являются необходимыми условиями для оптимального управления. Обратите внимание, что (4) применяется только тогда, когда ${\displaystyle x(T)}$ бесплатно. Если он зафиксирован, то это условие не обязательно для оптимума.

Смотрите также

• Множители Лагранжа на банаховых пространствах, Лагранжев метод в вариационном исчислении

Примечания

1. Будет ли крайнее значение максимальным или минимальным, зависит как от проблемы, так и от соглашения о знаках, используемого для определения гамильтониана. Нормальное соглашение приводит к максимуму, следовательно, принцип максимума.

Рекомендации

1. Росс, Исаак (2015). Учебник по принципу Понтрягина в оптимальном управлении. Сан-Франциско: коллегиальные издатели. ISBN  978-0-9843571-0-9. OCLC  625106088.
2. Мангасарян, О. (1966). «Достаточные условия оптимального управления нелинейными системами». SIAM Journal on Control. 4 (1): 139–152. Дои:10.1137/0304013.
3. Камиен, Мортон И.; Шварц, Нэнси Л. (1971). «Достаточные условия в теории оптимального управления». Журнал экономической теории. 3 (2): 207–214. Дои:10.1016/0022-0531(71)90018-4.
4. Болтянский, В .; Мартини, H .; Солтан, В. (1998). «Принцип максимума - как он появился?». Геометрические методы и проблемы оптимизации. Нью-Йорк: Спрингер. С. 204–227. ISBN  0-7923-5454-0.
5. Гамкрелидзе, Р. В. (1999). «Открытие принципа максимума». Журнал динамических и управляющих систем. 5 (4): 437–451. Дои:10.1023 / А: 1021783020548. S2CID  122690986. Перепечатано в Болибрух, А.А.; и др., ред. (2006). Математические события двадцатого века. Берлин: Springer. С. 85–99. ISBN  3-540-23235-4.
6. Ссылки на первые опубликованные работы см. В Фуллер, А. Т. (1963). «Библиография принципа максимума Понтрягина». J. Электроника и управление. 15 (5): 513–517. Дои:10.1080/00207216308937602.
7. МакШейн, Э. Дж. (1989). "Расчет вариаций от начала до теории оптимального управления". SIAM J. Control Optim. 27 (5): 916–939. Дои:10.1137/0327049.
8. Yong, J .; Чжоу, X. Y. (1999). «Принцип максимума и стохастические гамильтоновы системы». Стохастические управления: гамильтоновы системы и уравнения HJB. Нью-Йорк: Спрингер. стр.101 –156. ISBN  0-387-98723-1.
9. Састри, Шанкар (29 марта 2009 г.). «Конспект лекции 8. Оптимальное управление и динамические игры» (PDF).
10. Чжоу, X. Y. (1990). «Принцип максимума, динамическое программирование и их связь в детерминированном управлении». Журнал теории оптимизации и приложений. 65 (2): 363–373. Дои:10.1007 / BF01102352. S2CID  122333807.

дальнейшее чтение

• Геринг, Х. П. (2007). Оптимальное управление с помощью инженерных приложений. Springer. ISBN  978-3-540-69437-3.
• Кирк, Д. Э. (1970). Теория оптимального управления: введение. Прентис Холл. ISBN  0-486-43484-2.
• Lee, E. B .; Маркус, Л. (1967). Основы теории оптимального управления. Нью-Йорк: Вили.
• Зейерстад, Атле; Сидсэтер, Кнут (1987). Теория оптимального управления с экономическими приложениями. Амстердам: Северная Голландия. ISBN  0-444-87923-4.

внешняя ссылка

• «Принцип максимума Понтрягина», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]