Теорема о маковых бубликах - Poppy-seed bagel theorem

В физика, то теорема о маковых бубликах касается взаимодействующих частиц (например, электроны ) приурочен к ограниченному поверхность (или тело) ${\displaystyle A}$ когда частицы попарно отталкиваются друг от друга со значением, пропорциональным обратному расстоянию между ними, возведенному в некоторую положительную степень ${\displaystyle s}$. В частности, это включает Кулоновский закон наблюдается в Электростатика и Потенциалы Рисса широко изучен в Возможная теория. За ${\displaystyle N}$ таких частиц, равновесное (устойчивое) состояние, которое зависит от параметра ${\displaystyle s}$, достигается, когда связанный энергия системы минимальна (так называемая обобщенная Проблема Томсона ). Для большого числа точек эти равновесные конфигурации обеспечивают дискретизацию ${\displaystyle A}$ которые могут быть или не быть почти одинаковыми в отношении площадь поверхности (или же объем ) из ${\displaystyle A}$. В Теорема о маковых бубликах утверждает, что для большого класса множеств ${\displaystyle A}$, свойство однородности выполняется, когда параметр ${\displaystyle s}$ больше или равен размеру набора ${\displaystyle A}$.^[1] Например, когда точки («маки») приурочены к тор встроенные в трехмерное пространство (или «поверхность рогалика»), можно создать большое количество точек, которые почти равномерно распределены по поверхности, создавая отталкивание, пропорциональное обратному квадрату расстояния между точками, или любое более сильное отталкивание (${\displaystyle s\geq 2}$). С кулинарной точки зрения, чтобы создать почти идеальный бублик из маковых семян, где кусочки одинакового размера в любом месте бублика будут содержать по существу одинаковое количество семян мака, наложите на семена отталкивающую силу, равную как минимум обратному квадрату.

Формальные определения

Для параметра ${\displaystyle s>0}$ и ${\displaystyle N}$набор точек ${\displaystyle \omega _{N}=\{x_{1},\ldots ,x_{N}\}\subset \mathbb {R} ^{p}}$, то ${\displaystyle s}$-энергия ${\displaystyle \omega _{N}}$ определяется следующим образом:

$${\displaystyle E_{s}(\omega _{N}):=\sum _{i=1,\ldots ,N}\sum _{\stackrel {j=1,\ldots ,N}{j\not =i}}{\frac {1}{|x_{i}-x_{j}|^{s}}}}$$

Для компактный набор ${\displaystyle A}$ мы определяем его минимальный ${\displaystyle N}$-точка ${\displaystyle s}$-энергия в качестве

$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{s}(A,N):=\min E_{s}(\omega _{N}),}$$

где минимум берется за все ${\displaystyle N}$-точечные подмножества ${\displaystyle A}$; т.е. ${\displaystyle \omega _{N}\subset A}$. Конфигурации ${\displaystyle \omega _{N}}$ которые достигают этой нижней грани, называются ${\displaystyle N}$-точка ${\displaystyle s}$-равновесные конфигурации.

Теорема макового бублика для тел

Мы рассматриваем компактные множества ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{p}}$ с Мера Лебега ${\displaystyle \lambda (A)>0}$ и ${\displaystyle s\geqslant p}$. Для каждого ${\displaystyle N\geqslant 2}$ исправить ${\displaystyle N}$-точка ${\displaystyle s}$-равновесная конфигурация ${\displaystyle \omega _{N}^{*}=\{x_{1,N},\ldots ,x_{N,N}\}}$. Набор

$${\displaystyle \mu _{N}:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1,\ldots ,N}\delta _{x_{i,N}},}$$

куда ${\displaystyle \delta _{x}}$ это единичная масса в точке ${\displaystyle x}$. При этих предположениях в смысле слабая сходимость мер,

$${\displaystyle \mu _{N}{\stackrel {*}{\rightarrow }}\mu ,}$$

куда ${\displaystyle \mu }$ ограничена ли мера Лебега на ${\displaystyle A}$; т.е. ${\displaystyle \mu (B)=\lambda (A\cap B)/\lambda (A)}$.Кроме того, верно, что

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {{\mathcal {E}}_{s}(A,N)}{N^{1+s/p}}}={\frac {C_{s,p}}{\lambda (A)^{s/p}}},}$$

где постоянная ${\displaystyle C_{s,p}}$ не зависит от набора ${\displaystyle A}$ и поэтому,

$${\displaystyle C_{s,p}=\lim _{N\to \infty }{\frac {{\mathcal {E}}_{s}([0,1]^{p},N)}{N^{1+s/p}}},}$$

куда ${\displaystyle [0,1]^{p}}$ это единичный куб в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$.

Теорема макового бублика для многообразий

Почти минимальный ${\displaystyle s}$-энергетические 1000-точечные конфигурации на торе (${\displaystyle d=2}$)

${\displaystyle s=0.01<d}$

${\displaystyle s=1<d}$

${\displaystyle s=2=d}$

Рассмотрим гладкий ${\displaystyle d}$-мерное многообразие ${\displaystyle A}$ встроенный в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ и обозначим его измерение поверхности к ${\displaystyle \sigma }$. Мы предполагаем ${\displaystyle \sigma (A)>0}$. Предполагать ${\displaystyle s\geqslant d}$Как и раньше, для каждого ${\displaystyle N\geqslant 2}$ исправить ${\displaystyle N}$-точка ${\displaystyle s}$-равновесная конфигурация ${\displaystyle \omega _{N}^{*}=\{x_{1,N},\ldots ,x_{N,N}\}}$ и установить

$${\displaystyle \mu _{N}:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1,\ldots ,N}\delta _{x_{i,N}}.}$$

Потом,^[2][3] в смысле слабая сходимость мер,

$${\displaystyle \mu _{N}{\stackrel {*}{\rightarrow }}\mu ,}$$

куда ${\displaystyle \mu (B)=\sigma (A\cap B)/\sigma (A)}$. Если ${\displaystyle H^{d}}$ это ${\displaystyle d}$-размерный Мера Хаусдорфа, тогда^[2][4]

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {{\mathcal {E}}_{s}(A,N)}{N^{1+s/d}}}=2^{s}\alpha _{d}^{-s/d}\cdot {\frac {C_{s,d}}{(H^{d}(A))^{s/d}}},}$$

куда ${\displaystyle \alpha _{d}=\pi ^{d/2}/\Gamma (1+d/2)}$ это объем d-ball.

Постоянная ${\displaystyle C_{s,p}}$

За ${\displaystyle p=1}$, это известно^[4] который ${\displaystyle C_{s,1}=2\zeta (s)}$, куда ${\displaystyle \zeta (s)}$ это Дзета-функция Римана. Следующая связь между константой ${\displaystyle C_{s,p}}$ и проблема Упаковка сфер известен:^[5]

$${\displaystyle \lim _{s\to \infty }(C_{s,p})^{1/s}={\frac {1}{s}}\left({\frac {\alpha _{p}}{\Delta _{p}}}\right)^{1/p},}$$

куда ${\displaystyle \alpha _{p}}$ это объем p-ball и

$${\displaystyle \Delta _{p}=\sup \rho ({\mathcal {P}}),}$$

где супремум берется за все семьи ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ неперекрывающихся единичные шары так что предел

$${\displaystyle \rho ({\mathcal {P}})=\lim _{r\to \infty }{\frac {\lambda \left([-r,r]^{p}\cap \bigcup _{B\in {\mathcal {P}}}B\right)}{(2r)^{p}}}}$$

существуют.

Смотрите также

• Хаусдорфово измерение
• Геометрическая теория меры
• Упаковка сфер
• Дзета-функция Римана

Рекомендации

1. Хардин, Д. П .; Сафф, Э. Б. Дискретизация многообразий через точки минимальной энергии. Замечает амер. Математика. Soc. 51 (2004), нет. 10, 1186–1194
2. Hardin, D. P .; Сафф, Э. Б. Точечные конфигурации с минимальной энергией Рисса для спрямляемых d-мерных многообразий. Adv. Математика. 193 (2005), нет. 1, 174–204.
3. Бородачев, С. В .; Хардин, Д. П .; Сафф, Э. Б. Асимптотика для дискретных взвешенных задач минимальной энергии Рисса на спрямляемых множествах. Пер. Амер. Математика. Soc. 360 (2008), нет. 3, 1559–1580.
4. Мартинес-Финкельштейн, А .; Маймескул, В .; Рахманов, Э. А .; Сафф, Э. Б. Асимптотика минимальной дискретной энергии Рисса на кривых в Rd. Может. J. Math. 56 (2004), нет. 3, 529–552
5. Бородачев, С. В .; Хардин, Д. П .; Сафф, Э. Б. Асимптотика наилучшей упаковки на спрямляемых множествах, Proc. Амер. Математика. Soc., Vol. 135 (2007), стр. 2369-2380.