Примитивные уравнения - Primitive equations

В примитивные уравнения представляют собой набор нелинейных дифференциальные уравнения которые используются для аппроксимации глобального атмосферный поток и используются в большинстве атмосферные модели. Они состоят из трех основных систем балансовых уравнений:

1. А уравнение неразрывности: Представление о сохранении массы.
2. Сохранение импульса: Состоит из формы Уравнения Навье – Стокса которые описывают гидродинамическое течение на поверхности сферы в предположении, что вертикальное движение намного меньше горизонтального движения (гидростаз) и что глубина слоя жидкости мала по сравнению с радиусом сферы
3. А уравнение тепловой энергии: Связь общей температуры системы с источниками тепла и стоками

Примитивные уравнения могут быть линеаризованы для получения Приливные уравнения Лапласа, собственное значение задача, из которой может быть найдено аналитическое решение широтной структуры потока.

В общем, почти все формы примитивных уравнений связывают пять переменных ты, v, ω, Т, W, и их эволюция в пространстве и времени.

Впервые уравнения были записаны Вильгельм Бьеркнес.^[1]

Определения

• ${\displaystyle u}$ это зональный скорость (скорость в направлении восток / запад по касательной к сфере)
• ${\displaystyle v}$ - меридиональная скорость (скорость в направлении север / юг по касательной к сфере)
• ${\displaystyle \omega }$ - вертикальная скорость в изобарических координатах
• ${\displaystyle T}$ это температура
• ${\displaystyle \Phi }$ это геопотенциал
• ${\displaystyle f}$ это член, соответствующий Сила Кориолиса, и равно ${\displaystyle 2\Omega \sin(\phi )}$, куда ${\displaystyle \Omega }$ - угловая скорость вращения Земли (${\displaystyle 2\pi /24}$ радиан в звездный час), и ${\displaystyle \phi }$ это широта
• ${\displaystyle R}$ это газовая постоянная
• ${\displaystyle p}$ это давление
• ${\displaystyle c_{p}}$ это удельная теплоемкость на поверхности постоянного давления
• ${\displaystyle J}$ это высокая температура расход в единицу времени на единицу массы
• ${\displaystyle W}$ это осаждаемая вода
• ${\displaystyle \Pi }$ это Функция Экснера
• ${\displaystyle \theta }$ это потенциальная температура
• ${\displaystyle \eta }$ это Абсолютная завихренность

Силы, вызывающие атмосферное движение

Силы которые вызывают атмосферное движение, включают градиент давления сила, сила тяжести, и вязкий трение. Вместе они создают силы, ускоряющие нашу атмосферу.

Сила градиента давления вызывает ускорение, заставляющее воздух перемещаться из областей с высоким давлением в области с низким давлением. Математически это можно записать так:

${\displaystyle {\frac {f}{m}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{dx}}.}$

Сила тяжести ускоряет объекты со скоростью примерно 9,8 м / с.² прямо к центру Земли.

Сила вязкого трения может быть аппроксимирована следующим образом:

${\displaystyle f_{r}={f \over a}{1 \over \rho }\mu \left(\nabla \cdot (\mu \nabla v)+\nabla (\lambda \nabla \cdot v)\right).}$

Используя второй закон Ньютона, эти силы (обозначенные в приведенных выше уравнениях как ускорения, вызываемые этими силами) могут быть суммированы, чтобы получить уравнение движения, которое описывает эту систему. Это уравнение можно записать в виде:

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-(1/\rho )\nabla p-g(r/r)+f_{r}}$

${\displaystyle g=g_{e}.\,}$

Следовательно, чтобы завершить систему уравнений и получить 6 уравнений и 6 переменных:

• ${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-(1/\rho )\nabla p-g(r/r)+(1/\rho )\left[\nabla \cdot (\mu \nabla v)+\nabla (\lambda \nabla \cdot v)\right]}$
• ${\displaystyle c_{v}{\frac {dT}{dt}}+p{\frac {d\alpha }{dt}}=q+f}$
• ${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}+\rho \nabla \cdot v=0}$
• ${\displaystyle p=nT.}$

где n - это числовая плотность в молях, а T: = RT - значение температурного эквивалента в Джоулях / моль.

Формы примитивных уравнений

Точная форма примитивных уравнений зависит от вертикальная система координат выбран, например координаты давления, координаты каротажного давления, или же сигма координаты. Кроме того, переменные скорости, температуры и геопотенциала могут быть разложены на компоненты среднего и возмущения, используя Разложение Рейнольдса.

Координата давления в вертикальной декартовой тангенциальной плоскости

В этой форме давление выбирается в качестве вертикальной координаты, а горизонтальные координаты записываются для декартовой тангенциальной плоскости (то есть плоскости, касательной к некоторой точке на поверхности Земли). Эта форма не принимает во внимание кривизну Земли, но полезна для визуализации некоторых физических процессов, участвующих в формулировке уравнений, из-за ее относительной простоты.

Обратите внимание, что производные по времени капитала D являются материальные производные. Система состоит из пяти уравнений с пятью неизвестными.

• в невязкий (без трения) уравнения импульса:

${\displaystyle {\frac {Du}{Dt}}-fv=-{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}}$

${\displaystyle {\frac {Dv}{Dt}}+fu=-{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}}$

• в уравнение гидростатики, частный случай уравнения вертикального импульса, в котором вертикальное ускорение считается незначительным:

${\displaystyle 0=-{\frac {\partial \phi }{\partial p}}-{\frac {RT}{p}}}$

• в уравнение неразрывности, связывая горизонтальное расхождение / схождение с вертикальным движением в гидростатическом приближении (${\displaystyle dp=-\rho \,d\phi }$):

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial \omega }{\partial p}}=0}$

• и уравнение термодинамической энергии, как следствие первый закон термодинамики

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}+u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}+\omega \left({\frac {\partial T}{\partial p}}-{\frac {RT}{pc_{p}}}\right)={\frac {J}{c_{p}}}}$

Когда включено заявление о сохранении вещества водяного пара, эти шесть уравнений образуют основу для любой схемы численного прогноза погоды.

Примитивные уравнения с использованием сигма-системы координат, полярная стереографическая проекция

Согласно Справочник национальной метеорологической службы № 1 - Факсимильные устройства, примитивные уравнения можно упростить до следующих уравнений:

• Зональный ветер:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\eta v-{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}-c_{p}\theta {\frac {\partial \pi }{\partial x}}-z{\frac {\partial u}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial ({\frac {u^{2}+v^{2}}{2}})}{\partial x}}}$

• Меридиональный ветер:

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}=-\eta {\frac {u}{v}}-{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}-c_{p}\theta {\frac {\partial \pi }{\partial y}}-z{\frac {\partial v}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial ({\frac {u^{2}+v^{2}}{2}})}{\partial y}}}$

• Температура:

${\displaystyle {\frac {\delta T}{\partial t}}={\frac {\partial T}{\partial t}}+u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}+w{\frac {\partial T}{\partial z}}}$

Первый член равен изменению температуры из-за приходящей солнечной радиации и исходящей длинноволновой радиации, которая меняется со временем в течение дня. Второй, третий и четвертый члены связаны с адвекцией. Кроме того, переменная Т с нижним индексом - изменение температуры на этой плоскости. Каждый Т на самом деле отличается и относится к соответствующему плану. Это делится на расстояние между точками сетки, чтобы получить изменение температуры с изменением расстояния. Если умножить на скорость ветра в этой плоскости, единицы кельвина на метр и метры в секунду дают кельвины в секунду. Сумма всех изменений температуры из-за движений в Икс, у, и z направления дают общее изменение температуры во времени.

• Осадочная вода:

${\displaystyle {\frac {\delta W}{\partial t}}=u{\frac {\partial W}{\partial x}}+v{\frac {\partial W}{\partial y}}+w{\frac {\partial W}{\partial z}}}$

Это уравнение и обозначения работают примерно так же, как уравнение температуры. Это уравнение описывает движение воды из одного места в другое в точке без учета воды, меняющей форму. Внутри данной системы полное изменение воды со временем равно нулю. Однако концентрации могут перемещаться по ветру.

• Толщина давления:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}=u{\frac {\partial }{\partial x}}x{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}+v{\frac {\partial }{\partial y}}y{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}+w{\frac {\partial }{\partial z}}z{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}}$

Эти упрощения значительно упрощают понимание того, что происходит в модели. Такие вещи, как температура (потенциальная температура), наличие осадков и, в некоторой степени, толщина давления, просто перемещаются из одного места на сетке в другое с ветром. Ветер прогнозируется несколько иначе. Он использует геопотенциал, удельную теплоемкость, функцию exner π, и изменение координаты сигмы.

Решение линеаризованных примитивных уравнений

В аналитическое решение к линеаризованным примитивным уравнениям включает синусоидальные колебания во времени и долготе, модулируемые коэффициенты относящиеся к высоте и широте.

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}u,v,\phi \end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{\hat {u}},{\hat {v}},{\hat {\phi }}\end{Bmatrix}}e^{i(s\lambda +\sigma t)}}$

куда s и ${\displaystyle \sigma }$ зональные волновое число и угловая частота, соответственно. Решение представляет собой атмосферные волны и приливы.

Когда коэффициенты разделены на составляющие их высоты и широты, зависимость от высоты принимает форму распространения или мимолетные волны (в зависимости от условий), а зависимость от широты задается Функции Хафа.

Это аналитическое решение возможно только тогда, когда примитивные уравнения линеаризованы и упрощены. К сожалению, многие из этих упрощений (т.е. отсутствие рассеивания, изотермическая атмосфера) не соответствуют условиям в реальной атмосфере. В результате численное решение который учитывает эти факторы, часто рассчитывается с использованием модели общей циркуляции и климатические модели.

Смотрите также

• Барометрическая формула
• Климатическая модель
• Уравнения Эйлера
• Динамика жидкостей
• Модель общей циркуляции
• Численный прогноз погоды

Рекомендации

1. До 1955 года: численные модели и предыстория AGCM

• Бенистон, Мартин. От турбулентности к климату: численные исследования атмосферы с иерархией моделей. Берлин: Springer, 1998.
• Ферт, Роберт. Построение и точность сетки мезомасштабных и микромасштабных метеорологических моделей. LSMSA, 2006.
• Томпсон, Филипп. Численный анализ и прогноз погоды. Нью-Йорк: Компания Macmillan, 1961.
• Пилке, Роджер А. Мезомасштабное метеорологическое моделирование. Орландо: Academic Press, Inc., 1984.
• Министерство торговли США, Национальное управление океанических и атмосферных исследований, Национальная метеорологическая служба. Справочник национальной метеорологической службы № 1 - Факсимильная связь. Вашингтон, округ Колумбия: Министерство торговли, 1979.

внешняя ссылка

Национальная метеорологическая служба - сайт совместных исследований и обучения NCSU, Обзор примитивных уравнений.