Неразделимое расширение - Purely inseparable extension

В алгебре чисто неотделимое расширение полей является расширением k ⊆ K полей характеристики п > 0 такое, что каждый элемент K является корнем уравнения вида Икс^q = а, с q сила п и а в k. Чисто неразделимые расширения иногда называют радиальные расширения, который не следует путать с похожим по звучанию, но более общим понятием радикальные расширения.

Неразделимые расширения

Алгебраическое расширение ${displaystyle Esupseteq F}$ это чисто неотделимое расширение если и только если для каждого ${displaystyle alpha in Esetminus F}$, минимальный многочлен от ${displaystyle alpha }$ над F является нет а отделимый многочлен.^[1] Если F любое поле, тривиальное расширение ${displaystyle Fsupseteq F}$ полностью неразлучен; для поля F обладать нетривиальный чисто неотделимое расширение, оно должно быть несовершенным, как указано в предыдущем разделе.

Известно несколько эквивалентных и более конкретных определений понятия чисто неотделимого расширения. Если ${displaystyle Esupseteq F}$ является алгебраическим расширением с (ненулевой) простой характеристикой п, то эквивалентны следующие:^[2]

1. E полностью неразлучен Ф.

2. Для каждого элемента ${displaystyle alpha in E}$, Существует ${displaystyle ngeq 0}$ такой, что ${displaystyle alpha ^{p^{n}}in F}$.

3. Каждый элемент E имеет минимальный многочлен над F формы ${displaystyle X^{p^{n}}-a}$ для некоторого целого числа ${displaystyle ngeq 0}$ и какой-то элемент ${displaystyle ain F}$.

Из приведенных выше эквивалентных характеризаций следует, что если ${displaystyle E=F[alpha ]}$ (за F поле простой характеристики) такое, что ${displaystyle alpha ^{p^{n}}in F}$ для некоторого целого числа ${displaystyle ngeq 0}$, тогда E полностью неразлучен F.^[3] (Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что набор всех Икс такой, что ${displaystyle x^{p^{n}}in F}$ для некоторых ${displaystyle ngeq 0}$ образует поле; так как это поле содержит оба ${displaystyle alpha }$ и F, Это должно быть E, и по условию 2 выше, ${displaystyle Esupseteq F}$ должны быть неразлучны.)

Если F несовершенное поле простой характеристики п, выберите ${displaystyle ain F}$ такой, что а это не пя степень в F, и разреши ж(Икс) = Икс^п − а. потом ж не имеет корня в F, так что если E является полем расщепления для ж над F, можно выбрать ${displaystyle alpha }$ с ${displaystyle f(alpha )=0}$. Особенно, ${displaystyle alpha ^{p}=a}$ и из свойства, указанного в параграфе непосредственно выше, следует, что ${displaystyle F[alpha ]supseteq F}$ является нетривиальным чисто неотделимым расширением (на самом деле, ${displaystyle E=F[alpha ]}$, и так ${displaystyle Esupseteq F}$ автоматически является полностью неотделимым расширением).^[4]

Неразделимые расширения действительно возникают естественным образом; например, они встречаются в алгебраическая геометрия над полями простой характеристики. Если K поле характеристики п, и если V является алгебраическое многообразие над K размерности больше нуля, функциональное поле K(V) является чисто неотделимым расширением над подполе K(V)^п из пth степеней (это следует из условия 2 выше). Такие расширения происходят в контексте умножения на п на эллиптическая кривая над конечным полем характеристики п.

Характеристики

• Если характеристика поля F является (ненулевым) простым числом п, и если ${displaystyle Esupseteq F}$ является чисто неотделимым расширением, то если ${displaystyle Fsubseteq Ksubseteq E}$, K полностью неразлучен F и E полностью неразлучен K. Кроме того, если [E : F] конечно, то это степень п, характеристика F.^[5]
• Наоборот, если ${displaystyle Fsubseteq Ksubseteq E}$ таково, что ${displaystyle Fsubseteq K}$ и ${displaystyle Ksubseteq E}$ являются чисто неотделимыми расширениями, то E полностью неразлучен F.^[6]
• Алгебраическое расширение ${displaystyle Esupseteq F}$ является неотделимое расширение если и только если есть немного ${displaystyle alpha in Esetminus F}$ такой, что минимальный многочлен ${displaystyle alpha }$ над F является нет а отделимый многочлен (т.е. алгебраическое расширение неотделимо тогда и только тогда, когда оно неотделимо; заметьте, однако, что неотделимое расширение - это не то же самое, что и чисто неотделимое расширение). Если ${displaystyle Esupseteq F}$ нетривиальное неотделимое расширение конечной степени, то [E : F] обязательно делится на характеристику F.^[7]
• Если ${displaystyle Esupseteq F}$ является нормальным расширением конечной степени, и если ${displaystyle K={mbox{Fix}}({mbox{Gal}}(E/F))}$, тогда K полностью неразлучен F и E отделим над K.^[8]

Соответствие Галуа для чисто неразделимых расширений

Якобсон (1937, 1944 ) ввел разновидность теории Галуа для чисто неотделимых расширений экспоненты 1, где группы Галуа полевых автоморфизмов в теории Галуа заменены на ограниченные алгебры Ли отводов. Самый простой случай - это чисто неотделимые расширения конечного индекса. K⊆L экспоненты не более 1 (это означает, что пмощность каждого элемента L в K). В этом случае алгебра Ли K-дифференциальные L является ограниченной алгеброй Ли, которая также является векторным пространством размерности п над L, куда [L:K] = п^п, а промежуточные поля в L содержащий K соответствуют ограниченным подалгебрам Ли этой алгебры Ли, которые являются векторными пространствами над L. Хотя алгебра Ли выводов является векторным пространством над L, это, вообще говоря, не алгебра Ли над L, но является алгеброй Ли над K измерения п[L:K] = нп^п.

Чисто неотделимое расширение называется модульное расширение если это тензорное произведение простых расширений, поэтому, в частности, каждое расширение показателя 1 модулярно, но существуют немодульные расширения показателя 2 (Вайсфельд 1965 ).Свидлер (1968) и Герстенхабер и Заромп (1970) дал расширение соответствия Галуа до модульных чисто неотделимых расширений, где дифференцирования заменены высшими дифференцировками.

Смотрите также

• Теорема Якобсона – Бурбаки.

Рекомендации

1. Айзекс, стр. 298
2. Айзекс, теорема 19.10, с. 298
3. Айзекс, Следствие 19.11, стр. 298
4. Айзекс, стр. 299
5. Айзекс, Следствие 19.12, стр. 299
6. Айзекс, Следствие 19.13, стр. 300
7. Айзекс, Следствие 19.16, стр. 301
8. Айзекс, теорема 19.18, с. 301

• Герстенхабер, Мюррей; Заромп, Авигдор (1970), "К теории Галуа чисто неотделимых расширений поля", Бюллетень Американского математического общества, 76: 1011–1014, Дои:10.1090 / S0002-9904-1970-12535-6, ISSN  0002-9904, МИСТЕР  0266904
• Айзекс, И. Мартин (1993), Алгебра, аспирантура (1-е изд.), Brooks / Cole Publishing Company, ISBN  0-534-19002-2
• Джейкобсон, Натан (1937), "Абстрактный вывод и алгебры Ли", Труды Американского математического общества, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, 42 (2): 206–224, Дои:10.2307/1989656, ISSN  0002-9947, JSTOR  1989656
• Джейкобсон, Натан (1944), "Теория Галуа чисто неотделимых полей экспоненты один", Американский журнал математики, 66: 645–648, Дои:10.2307/2371772, ISSN  0002-9327, JSTOR  2371772, МИСТЕР  0011079
• Свидлер, Мосс Айзенберг (1968), «Структура неразделимых расширений», Анналы математики, Вторая серия, 87: 401–410, Дои:10.2307/1970711, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970711, МИСТЕР  0223343
• Вейсфельд, Моррис (1965), "Чисто неотделимые расширения и высшие производные", Труды Американского математического общества, 116: 435–449, Дои:10.2307/1994126, ISSN  0002-9947, JSTOR  1994126, МИСТЕР  0191895