Чистота (квантовая механика) - Purity (quantum mechanics) - Wikipedia

В квантовая механика, и особенно квантовая информация теория, чистота нормализованного квантовое состояние скаляр, определяемый как

${\displaystyle \gamma \,\equiv \,{\mbox{tr}}(\rho ^{2})\,}$

куда ${\displaystyle \rho \,}$ это матрица плотности государства. Чистота определяет меру квантовых состояний, предоставляя информацию о том, насколько состояние смешанный.

Математические свойства

Чистота нормированного квантового состояния удовлетворяет ${\displaystyle {\frac {1}{d}}\leq \gamma \leq 1\,}$,^[1] куда ${\displaystyle d\,}$ это измерение из Гильбертово пространство на котором определяется состояние. Верхняя оценка получается ${\displaystyle tr(\rho )=1\,}$и ${\displaystyle tr(\rho ^{2})\leq tr(\rho )\,}$(видеть след ).

Если ${\displaystyle \rho \,}$ - проекция, определяющая чистое состояние, то верхняя граница насыщается: ${\displaystyle tr(\rho ^{2})=tr(\rho )=1\,}$ (видеть Прогнозы ). Нижняя граница получается из полностью смешанного состояния, представленного матрицей ${\displaystyle {\frac {1}{d}}I_{d}\,}$.

Чистота квантового состояния сохраняется при унитарный преобразования, действующие на матрица плотности в виде ${\displaystyle \rho \mapsto U\rho U^{\dagger }\,}$, куда U является унитарной матрицей. В частности, он сохраняется под оператор эволюции во времени ${\displaystyle U(t,t_{0})=e^{{\frac {-i}{\hbar }}H(t-t_{0})}\,}$, куда ЧАС это Гамильтониан оператор.^[1][2]

Физический смысл

Чистое квантовое состояние можно представить в виде одного вектора ${\displaystyle |\psi \rangle }$ в гильбертовом пространстве. В формулировке матрицы плотности чистое состояние представлено матрицей

${\displaystyle \rho _{\mathrm {pure} }=|\psi \rangle \langle \psi |}$.

Однако смешанное состояние не может быть представлено таким образом, а вместо этого представлено линейной комбинацией чистых состояний.

${\displaystyle \rho _{\mathrm {mixed} }=\sum p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,}$

пока ${\displaystyle \sum p_{i}=1}$ для нормализации. Параметр чистоты связан с коэффициентами: если только один коэффициент равен 1, состояние чистое; иначе чистота измеряет, насколько их значения похожи. Действительно, чистота 1 / д когда состояние полностью перемешано, т.е.

${\displaystyle \rho _{\mathrm {completely\ mixed} }={\frac {1}{d}}\sum _{i=1}^{d}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|={\frac {1}{d}}I_{d},}$

куда ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ находятся d ортонормированные векторы, составляющие основу гильбертова пространства.^[3]

Геометрическое представление

На Сфера Блоха, чистые состояния представлены точкой на поверхности сферы, а смешанные состояния представлены внутренней точкой. Таким образом, чистоту состояния можно представить как степень приближения точки к поверхности сферы.

Например, полностью смешанное состояние одного кубита ${\displaystyle {\frac {1}{2}}I_{2}\,}$представлен центром сферы симметрией.

Графическое представление о чистоте может быть достигнуто, если посмотреть на соотношение между матрицей плотности и сферой Блоха,

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right),}$

куда ${\displaystyle {\vec {a}}}$ - вектор, представляющий квантовое состояние (на или внутри сферы), и ${\displaystyle {\vec {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$ вектор Матрицы Паули.

Поскольку матрицы Паули бесследовы, все еще выполняется tr (ρ)= 1. Однако в силу

${\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\,I+i({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {\sigma }},}$

${\displaystyle \rho ^{2}={\frac {1}{2}}[{\frac {1}{2}}(1+|a|^{2})I+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}],}$

следовательно tr${\displaystyle (\rho ^{2})={\frac {1}{2}}(1+|a|^{2}),}$что согласуется с тем фактом, что чистыми являются только состояния на поверхности самой сферы (т.е. ${\displaystyle |a|=1}$).

Отношение к другим концепциям

Линейная энтропия

Чистота тривиально связана с Линейная энтропия ${\displaystyle S_{L}\,}$ государства

${\displaystyle \gamma =1-S_{L}\,.}$

Запутанность

Основная статья: Квантовая запутанность

А 2-кубиты чистое состояние ${\displaystyle |\psi \rangle _{AB}\in H_{A}\otimes H_{B}}$ можно написать (используя Разложение Шмидта ) в качестве ${\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=\sum _{j}\lambda _{j}|j\rangle _{A}|j\rangle _{B}}$, куда ${\displaystyle \{|j\rangle _{A}\},\{|j\rangle _{B}\}}$ основы ${\displaystyle H_{A},H_{B}}$ соответственно, и ${\displaystyle \sum _{j}\lambda _{j}^{2}=1,\lambda _{j}\geq 0}$. Его матрица плотности равна ${\displaystyle \rho ^{AB}=\sum _{i,j}\lambda _{i}\lambda _{j}|i\rangle _{A}\langle j|_{A}\otimes |i\rangle _{B}\langle j|_{B}}$. Степень его запутанности связана с чистотой состояний его подсистем, ${\displaystyle \rho ^{A}=tr_{B}(\rho _{AB})=\sum _{j}\lambda _{j}^{2}|j\rangle _{A}\langle j|_{A}}$, и аналогично для ${\displaystyle \rho ^{B}}$ (видеть частичный след ). Если это начальное состояние разделимо (т.е. есть только один ${\displaystyle \lambda _{j}\neq 0}$), тогда ${\displaystyle \rho ^{A},\rho ^{B}}$ оба чисты. В противном случае это состояние запутывается и ${\displaystyle \rho ^{A},\rho ^{B}}$ оба смешаны. Например, если ${\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=|\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})}$ что является максимально запутанным состоянием, то ${\displaystyle \rho ^{A},\rho ^{B}}$ оба полностью смешаны.

Для 2-кубитов (чистых или смешанных) состояний Число Шмидта (количество коэффициентов Шмидта) не превосходит 2. Используя это и Критерий Переса – Городецкого (для 2-кубитов) состояние запутано, если его частичное транспонирование имеет хотя бы одно отрицательное собственное значение. Используя коэффициенты Шмидта сверху, отрицательное собственное значение равно ${\displaystyle -\lambda _{0}\lambda _{1}}$.^[4] В негатив ${\displaystyle {\mathcal {N}}=-\lambda _{0}\lambda _{1}}$ этого собственного значения также используется как мера запутанности - состояние более запутанное, поскольку это собственное значение более отрицательно (до ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$ за Белл заявляет ). Для состояния подсистемы ${\displaystyle A}$ (аналогично для ${\displaystyle B}$), выполняется:

${\displaystyle \rho ^{A}=tr_{B}(|\psi \rangle _{AB}\langle \psi |_{AB})=\lambda _{0}^{2}|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+\lambda _{1}^{2}|1\rangle _{A}\langle 1|_{A}}$

И чистота ${\displaystyle \gamma =\lambda _{0}^{4}+\lambda _{1}^{4}=(\lambda _{0}^{2}+\lambda _{1}^{2})^{2}-2(\lambda _{0}\lambda _{1})^{2}=1-2{\mathcal {N}}^{2}}$.

Можно видеть, что чем более запутанным является составное состояние (т.е. более отрицательным), тем менее чистым является состояние подсистемы.

Обратный коэффициент участия (IPR)

В контексте локализации оказывается полезной величина, тесно связанная с чистотой, так называемая обратная доля участия (IPR). Он определяется как интеграл (или сумма для конечного размера системы) по квадрату плотности в некотором пространстве, например, в реальном пространстве, импульсное пространство, или даже фазовое пространство, где плотности были бы квадратом реального пространства волновая функция ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$, квадрат импульсной пространственной волновой функции ${\displaystyle |{\tilde {\psi }}(k)|^{2}}$, или некоторая плотность фазового пространства, например Распределение Хусими, соответственно.^[5]

Наименьшее значение IPR соответствует полностью делокализованному состоянию, ${\displaystyle \psi (x)=1/{\sqrt {N}}}$ для системы размеров ${\displaystyle N}$, где IPR дает ${\displaystyle \sum _{x}|\psi (x)|^{4}=N/(N^{1/2})^{4}=1/N}$. Значения IPR, близкие к 1, соответствуют локализованным состояниям (по аналогии с чистыми состояниями), что можно увидеть с идеально локализованным состоянием ${\displaystyle \psi (x)=\delta _{x,x_{0}}}$, где IPR дает ${\displaystyle \sum _{x}|\psi (x)|^{4}=1}$. В одном измерении IPR прямо пропорционален обратной длине локализации, то есть размеру области, в которой локализовано состояние. Локализованные и делокализованные (расширенные) состояния в рамках физика конденсированного состояния затем соответствуют изоляционный и металлический состояний соответственно, если представить себе электрон на решетке, не способный двигаться в кристалл (локализованная волновая функция, IPR близок к единице) или способность двигаться (расширенное состояние, IPR близко к нулю).

В контексте локализации часто нет необходимости знать саму волновую функцию; часто бывает достаточно знать свойства локализации. Вот почему в этом контексте полезен IPR. IPR в основном берет полную информацию о квантовой системе (волновая функция; для ${\displaystyle N}$-размерный Гильбертово пространство нужно было бы хранить ${\displaystyle N}$ значения, компоненты волновой функции) и сжимает его в одно число, которое затем содержит только некоторую информацию о свойствах локализации состояния. Несмотря на то, что эти два примера идеально локализованного и идеально делокализованного состояний были показаны только для волновой функции реального пространства и, соответственно, для IPR реального пространства, очевидно, что можно распространить идею на импульсное пространство и даже на фазовое пространство; затем IPR дает некоторую информацию о локализации в рассматриваемом пространстве, например а плоская волна будет сильно делокализован в реальном пространстве, но его преобразование Фурье then сильно локализован, поэтому здесь IPR реального пространства будет близко к нулю, а IPR импульсного пространства будет близко к единице.

Проективность измерения

Для квантового измерения проективность^[6] чистота его состояние до измерения.Этот состояние до измерения является основным инструментом ретроактивный подход квантовой физики, в которой мы делаем прогнозы относительно подготовки состояний, ведущих к заданному результату измерения. Это позволяет определить, в каких состояниях измеряемая система была подготовлена ​​к достижению такого результата.

Рекомендации

1. Джагер, Грегг (15 ноября 2006 г.). Квантовая информация: обзор. Springer Science & Business Media. ISBN  9780387357256.
2. Каппелларо, Паола (2012). «Конспект лекции: Квантовая теория радиационных взаимодействий, глава 7: Смешанные состояния» (PDF). ocw.mit.edu. Получено 2016-11-26.
3. Nielsen, Michael A .; Чуанг, Исаак Л. (2011). Квантовые вычисления и квантовая информация: 10-летие издания. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Издательство Кембриджского университета.
4. Cyczkowski, Karol (1998-01-01). «Объем множества разделимых состояний». Физический обзор A. 58 (2): 883–892. arXiv:Quant-ph / 9804024v1. Bibcode:1998PhRvA..58..883Z. Дои:10.1103 / PhysRevA.58.883.
5. Kramer, B .; Маккиннон, А. (декабрь 1993 г.). «Локализация: теория и эксперимент». Отчеты о достижениях физики. 56 (12): 1469. Bibcode:1993РПФ ... 56.1469K. Дои:10.1088/0034-4885/56/12/001. ISSN  0034-4885.
6. Тауфик Амри, Квантовое поведение измерительной аппаратуры, arXiv: 1001.3032 (2010).