Pushforward (гомология) - Pushforward (homology) - Wikipedia

В алгебраическая топология, то продвигать из непрерывная функция ${\displaystyle f}$ : ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ между двумя топологические пространства это гомоморфизм ${\displaystyle f_{*}:H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(Y\right)}$ между группы гомологии за ${\displaystyle n\geq 0}$.

Гомология - это функтор который преобразует топологическое пространство ${\displaystyle X}$ в последовательность групп гомологии ${\displaystyle H_{n}\left(X\right)}$. (Часто для обозначения совокупности всех таких групп используют обозначение ${\displaystyle H_{*}\left(X\right)}$; эта коллекция имеет структуру градуированное кольцо.) В любом категория, функтор должен индуцировать соответствующий морфизм. Подтверждением является морфизм, соответствующий функтору гомологии.

Определение сингулярных и симплициальных гомологий

Мы строим прямой гомоморфизм следующим образом (для сингулярных или симплициальных гомологий):

Во-первых, у нас есть индуцированный гомоморфизм между сингулярным или симплициальным цепной комплекс ${\displaystyle C_{n}\left(X\right)}$ и ${\displaystyle C_{n}\left(Y\right)}$ определяется путем составления каждого сингулярного n-симплекс ${\displaystyle \sigma _{X}}$ : ${\displaystyle \Delta ^{n}\rightarrow X}$ с ${\displaystyle f}$ получить особый n-симплекс ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle f_{\#}\left(\sigma _{X}\right)=f\sigma _{X}}$ : ${\displaystyle \Delta ^{n}\rightarrow Y}$. Затем мы продолжаем ${\displaystyle f_{\#}}$ линейно через ${\displaystyle f_{\#}\left(\sum _{t}n_{t}\sigma _{t}\right)=\sum _{t}n_{t}f_{\#}\left(\sigma _{t}\right)}$.

Карты ${\displaystyle f_{\#}}$ : ${\displaystyle C_{n}\left(X\right)\rightarrow C_{n}\left(Y\right)}$ удовлетворить ${\displaystyle f_{\#}\partial =\partial f_{\#}}$ куда ${\displaystyle \partial }$ это граничный оператор между цепными группами, поэтому ${\displaystyle \partial f_{\#}}$ определяет карта цепи.

У нас есть это ${\displaystyle f_{\#}}$ переводит циклы в циклы, так как ${\displaystyle \partial \alpha =0}$ подразумевает ${\displaystyle \partial f_{\#}\left(\alpha \right)=f_{\#}\left(\partial \alpha \right)=0}$. Также ${\displaystyle f_{\#}}$ принимает границы до границ, поскольку ${\displaystyle f_{\#}\left(\partial \beta \right)=\partial f_{\#}\left(\beta \right)}$.

Следовательно ${\displaystyle f_{\#}}$ индуцирует гомоморфизм между группами гомологий ${\displaystyle f_{*}:H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(Y\right)}$ за ${\displaystyle n\geq 0}$.

Свойства и гомотопическая инвариантность

Основная статья: Сингулярные гомологии § Гомотопическая инвариантность

Два основных свойства проталкивания вперед:

1. ${\displaystyle \left(f\circ g\right)_{*}=f_{*}\circ g_{*}}$ для составления карт ${\displaystyle X{\overset {f}{\rightarrow }}Y{\overset {g}{\rightarrow }}Z}$.
2. ${\displaystyle \left({\text{id}}_{X}\right)_{*}={\text{id}}}$ куда ${\displaystyle {\text{id}}_{X}}$ : ${\displaystyle X\rightarrow X}$ относится к функции идентичности ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle {\text{id}}\colon H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(X\right)}$ относится к тождественному изоморфизму групп гомологий.

Главный результат продвижения вперед - это гомотопическая инвариантность: если две карты ${\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y}$ гомотопны, то они индуцируют тот же гомоморфизм ${\displaystyle f_{*}=g_{*}\colon H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(Y\right)}$.

Отсюда сразу следует, что группы гомологий гомотопически эквивалентных пространств изоморфны:

Карты ${\displaystyle f_{*}\colon H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(Y\right)}$ индуцированная гомотопической эквивалентностью ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ являются изоморфизмами для всех ${\displaystyle n}$.

Рекомендации

• Аллен Хэтчер, Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-79160-X и ISBN  0-521-79540-0