Четырехместный продукт - Quadruple product

Смотрите также: Отношения векторной алгебры

В математика, то четырехместный продукт продукт четырех векторов в трехмерном Евклидово пространство. Название «четверной продукт» используется для двух разных продуктов,^[1] скалярное значение скалярное четверное произведение и векторнозначная векторное четырехкратное произведение или векторное произведение четырех векторов .

Скалярное четверное произведение

В скалярное четверное произведение определяется как скалярное произведение из двух перекрестные продукты:

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\cdot } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\ ,}$

куда а, б, в, г - векторы в трехмерном евклидовом пространстве.^[2] Его можно оценить с помощью идентификатора:^[2]

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\cdot } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a\cdot c} )(\mathbf {b\cdot d} )-(\mathbf {a\cdot d} )(\mathbf {b\cdot c} )\ .}$

или используя детерминант:

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\cdot } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )={\begin{vmatrix}\mathbf {a\cdot c} &\mathbf {a\cdot d} \\\mathbf {b\cdot c} &\mathbf {b\cdot d} \end{vmatrix}}\ .}$

Вектор четырехкратное произведение

В вектор четырехкратное произведение определяется как перекрестное произведение двух перекрестных произведений:

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\times } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\ ,}$

куда а, б, в, г - векторы в трехмерном евклидовом пространстве.^[3] Его можно оценить с помощью идентификатора:^[4]

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\times } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=[\mathbf {a,\ b,\ d} ]\mathbf {c} -[\mathbf {a,\ b,\ c} ]\mathbf {d} \ ,}$

Это удостоверение также можно записать с помощью тензор обозначения и Суммирование Эйнштейна соглашение следующим образом:

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\times } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=\varepsilon _{ijk}a^{i}c^{j}d^{k}b^{l}-\varepsilon _{ijk}b^{i}c^{j}d^{k}a^{l}=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}d^{k}c^{l}-\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}d^{l}}$

используя обозначения для тройное произведение:

${\displaystyle [\mathbf {a,\ b,\ d} ]=(\mathbf {a\times b} )\mathbf {\cdot d} ={\begin{vmatrix}\mathbf {a\cdot } {\hat {\mathbf {i} }}&\mathbf {b\cdot } {\hat {\mathbf {i} }}&\mathbf {d\cdot } {\hat {\mathbf {i} }}\\\mathbf {a\cdot } {\hat {\mathbf {j} }}&\mathbf {b\cdot } {\hat {\mathbf {j} }}&\mathbf {d\cdot } {\hat {\mathbf {j} }}\\\mathbf {a\cdot } {\hat {\mathbf {k} }}&\mathbf {b\cdot } {\hat {\mathbf {k} }}&\mathbf {d\cdot } {\hat {\mathbf {k} }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {a\cdot } {\hat {\mathbf {i} }}&\mathbf {a\cdot } {\hat {\mathbf {j} }}&\mathbf {a\cdot } {\hat {\mathbf {k} }}\\\mathbf {b\cdot } {\hat {\mathbf {i} }}&\mathbf {b\cdot } {\hat {\mathbf {j} }}&\mathbf {b\cdot } {\hat {\mathbf {k} }}\\\mathbf {d\cdot } {\hat {\mathbf {i} }}&\mathbf {d\cdot } {\hat {\mathbf {j} }}&\mathbf {d\cdot } {\hat {\mathbf {k} }}\end{vmatrix}}\ ,}$

где две последние формы являются определителями с ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},\ {\hat {\mathbf {j} }},\ {\hat {\mathbf {k} }}}$ обозначающие единичные векторы вдоль трех взаимно ортогональных направлений.

Эквивалентные формы можно получить по удостоверению:^[5]

${\displaystyle [\mathbf {b,\ c,\ d} ]\mathbf {a} -[\mathbf {c,\ d,\ a} ]\mathbf {b} +[\mathbf {d,\ a,\ b} ]\mathbf {c} -[\mathbf {a,\ b,\ c} ]\mathbf {d} =0\ .}$

Заявление

Счетверенные произведения полезны для вывода различных формул в сферической и плоской геометрии.^[3] Например, если на единичной сфере выбраны четыре точки, А, Б, В, D, и единичные векторы, проведенные из центра сферы к четырем точкам, а, б, в, г соответственно тождество:

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\cdot } (\mathbf {c\times d} )=(\mathbf {a\cdot c} )(\mathbf {b\cdot d} )-(\mathbf {a\cdot d} )(\mathbf {b\cdot c} )\ ,}$

в сочетании с соотношением для величины перекрестного произведения:

${\displaystyle \|\mathbf {a\times b} \|=ab\sin \theta _{ab}\ ,}$

и скалярное произведение:

${\displaystyle \mathbf {a\cdot b} =ab\cos \theta _{ab}\ ,}$

куда а = б = 1 для единичной сферы, приводит к тождеству углов, приписываемых Гауссу:

${\displaystyle \sin \theta _{ab}\sin \theta _{cd}\cos x=\cos \theta _{ac}\cos \theta _{bd}-\cos \theta _{ad}\cos \theta _{bc}\ ,}$

куда Икс угол между а × б и c × dили, что то же самое, между плоскостями, определяемыми этими векторами.

Джозайя Уиллард Гиббс Новаторская работа по векторному исчислению дает еще несколько примеров.^[3]

Примечания

1. Гиббс и Уилсон 1901, §42 раздела «Прямые и косые произведения векторов», с.77
2. Гиббс и Уилсон 1901, п. 76
3. Гиббс и Уилсон 1901, стр.77 ff
4. Гиббс и Уилсон 1901, п. 77
5. Гиббс и Уилсон, Уравнение 27, стр. 77 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFGibbsWilson (помощь)

Рекомендации

• Гиббс, Джозайя Уиллард; Уилсон, Эдвин Бидуэлл (1901). Векторный анализ: учебное пособие для студентов-математиков. Скрибнер.

Смотрите также

• Тождество Бине – Коши
• Личность Лагранжа