Отношения векторной алгебры - Vector algebra relations

Смотрите также: Тождества векторного исчисления

Приведенные ниже отношения применяются к векторов в трехмерном Евклидово пространство.^[1] Некоторые, но не все, распространяются на векторы более высоких размерностей. В частности, векторное произведение векторов определяется только в трех измерениях (но см. Семимерное перекрестное произведение ).

Величины

Величина вектора А определяется его тремя компонентами вдоль трех ортогональных направлений, используя Теорема Пифагора:

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}$

Величину также можно выразить с помощью скалярное произведение:

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=\mathbf {A\cdot A} }$

Неравенства

${\displaystyle {\frac {\mathbf {A\cdot B} }{\|\mathbf {A} \|\|\mathbf {B} \|}}\leq 1}$; Неравенство Коши – Шварца в трех измерениях

${\displaystyle \|\mathbf {A+B} \|\leq \|\mathbf {A} \|+\|\mathbf {B} \|}$; то неравенство треугольника в трех измерениях

${\displaystyle \|\mathbf {A-B} \|\geq \|\mathbf {A} \|-\|\mathbf {B} \|}$; то обратное неравенство треугольника

Здесь обозначение (А · Б) обозначает скалярное произведение векторов А и B.

Углы

Векторное произведение и скалярное произведение двух векторов определяют угол между ними, скажем θ:^[1][2]

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\|\mathbf {A\times B} \|}{\|\mathbf {A} \|\|\mathbf {B} \|}}\ \ (-\pi <\theta \leq \pi )}$

Чтобы удовлетворить правило правой руки, при положительном θ вектор B против часовой стрелки от А, а при отрицательных θ - по часовой стрелке.

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {A\cdot B} }{\|\mathbf {A} \|\|\mathbf {B} \|}}\ \ (-\pi <\theta \leq \pi )}$

Здесь обозначение A × B обозначает вектор перекрестное произведение векторов А и B. Пифагорейская тригонометрическая идентичность затем предоставляет:

${\displaystyle \|\mathbf {A\times B} \|^{2}+(\mathbf {A\cdot B} )^{2}=\|\mathbf {A} \|^{2}\|\mathbf {B} \|^{2}}$

Если вектор А = (А_Икс, А_у, А_z) составляет углы α, β, γ с ортогональным набором Икс-, у- и z-топоры, то:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A_{x}}{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}}={\frac {A_{x}}{\|\mathbf {A} \|}}\ ,}$

и аналогично для углов β, γ. Как следствие:

${\displaystyle \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|\left(\cos \alpha \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \beta \ {\hat {\mathbf {j} }}+\cos \gamma \ {\hat {\mathbf {k} }}\right)\ ,}$

с ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},\ {\hat {\mathbf {j} }},\ {\hat {\mathbf {k} }}}$ единичные векторы вдоль направлений осей.

Площади и объемы

Площадь Σ параллелограмм с боков А и B содержащий угол θ:

${\displaystyle \Sigma =AB\ \sin \theta \ ,}$

который будет распознан как величина векторного векторного произведения векторов А и B лежащие по сторонам параллелограмма. То есть:

${\displaystyle \Sigma =\|\mathbf {A\times B} \|={\sqrt {\|\mathbf {A} \|^{2}\|\mathbf {B} \|^{2}-(\mathbf {A\cdot B} )^{2}}}\ .}$

(Если А, B являются двумерными векторами, это равно определителю матрицы 2 × 2 со строками А, B.) Квадрат этого выражения равен:^[3]

${\displaystyle \Sigma ^{2}=(\mathbf {A\cdot A} )(\mathbf {B\cdot B} )-(\mathbf {A\cdot B} )(\mathbf {B\cdot A} )=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )\ ,}$

где Γ (А, B) это Определитель грамма из А и B определяется:

${\displaystyle \Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} \end{vmatrix}}\ .}$

Аналогичным образом квадрат объема V из параллелепипед натянутая на три вектора А, B, C дается определителем Грама трех векторов:^[3]

${\displaystyle V^{2}=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} ,\ \mathbf {C} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} &\mathbf {A\cdot C} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} &\mathbf {B\cdot C} \\\mathbf {C\cdot A} &\mathbf {C\cdot B} &\mathbf {C\cdot C} \end{vmatrix}}\ ,}$

С А, ДО Н.Э - трехмерные векторы, это равно квадрату скалярное тройное произведение ${\displaystyle \mathrm {det} [\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ]=|\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} |}$ ниже.

Этот процесс можно расширить до п-размеры.

Сложение и умножение векторов

Некоторые из следующих алгебраических соотношений относятся к скалярное произведение и перекрестное произведение векторов.^[1]

• ${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A} }$; коммутативность сложения
• ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }$; коммутативность скалярного произведения
• ${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\mathbf {-B} \times \mathbf {A} }$; антикоммутативность векторного произведения
• ${\displaystyle c(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=c\mathbf {A} +c\mathbf {B} }$; дистрибутивность умножения на скаляр над сложением
• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)\cdot \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} }$; дистрибутивность скалярного произведения над сложением
• ${\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \times \mathbf {C} +\mathbf {B} \times \mathbf {C} }$; распределенность векторного произведения над сложением
• ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )}$${\displaystyle =|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |=\left|{\begin{array}{ccc}A_{x}&B_{x}&C_{x}\\A_{y}&B_{y}&C_{y}\\A_{z}&B_{z}&C_{z}\end{array}}\right|}$ (скалярное тройное произведение )
• ${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )\mathbf {B} -(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C} }$ (вектор тройное произведение )
• ${\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\times \mathbf {C} =(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )\mathbf {B} -(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )\mathbf {A} }$ (вектор тройное произведение )
• ${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\times \mathbf {C} +\mathbf {B} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {C} )}$ (Личность Якоби )
• ${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=0}$ (Личность Якоби )
• ${\displaystyle \!(\mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} ))\,\mathbf {D} =|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |\,\mathbf {D} \ =(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} )\left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {C} \times \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {C} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)}$^{[нужна цитата ]}
• ${\displaystyle \mathbf {\left(A\times B\right)\cdot } \left(\mathbf {C} \times \mathbf {D} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)-\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \right)\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} \right)}$; Тождество Бине – Коши в трех измерениях
• ${\displaystyle |\mathbf {A} \times \mathbf {B} |^{2}=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}}$; Личность Лагранжа в трех измерениях

• ${\displaystyle \!(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\times (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )=\left(\mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {D} )\right)\mathbf {C} -\left(\mathbf {A} \cdot \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)\right)\mathbf {D} }$ (векторное четырехкратное произведение)^[4][5]
• ${\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\times (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )\ =\ |\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {D} |\,\mathbf {C} \,-\,|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |\,\mathbf {D} \ =\ |\mathbf {A} \,\mathbf {C} \,\mathbf {D} |\,\mathbf {B} \,-\,|\mathbf {B} \,\mathbf {C} \,\mathbf {D} |\,\mathbf {A} }$

• В 3-х измерениях вектор D можно выразить через основу {А,B,C} в качестве:^[6]

${\displaystyle \mathbf {D} \ =\ {\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {A} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {B} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {C} \ .}$

Смотрите также

• Векторное пространство
• Геометрическая алгебра

Рекомендации

1. См., Например, Лайл Фредерик Олбрайт (2008). "§2.5.1 Векторная алгебра". Справочник Олбрайт по химической инженерии. CRC Press. п. 68. ISBN  978-0-8247-5362-7.
2. Фрэнсис Бегно Хильдебранд (1992). Методы прикладной математики (Перепечатка Prentice-Hall 1965, 2-е изд.). Courier Dover Publications. п. 24. ISBN  0-486-67002-3.
3. Ричард Курант, Фриц Джон (2000). «Площади параллелограммов и объемы параллелепипедов в высших измерениях». Введение в исчисление и анализ, Том II (Перепечатка оригинального издания Interscience 1974 г.). Springer. С. 190–195. ISBN  3-540-66569-2.
4. Видван Сингх Сони (2009). "§1.10.2 Векторное четверное произведение". Механика и теория относительности. PHI Learning Pvt. Ltd. С. 11–12. ISBN  978-81-203-3713-8.
5. Эта формула применяется к сферической тригонометрии с помощью Эдвин Бидвелл Уилсон, Джозия Уиллард Гиббс (1901). "§42 в Прямые и косые произведения векторов". Векторный анализ: учебное пособие для студентов-математиков. Скрибнер. стр.77ff.
6. Джозеф Джордж Гроб (1911). Векторный анализ: введение в векторные методы и их различные приложения в физике и математике (2-е изд.). Вайли. п.56.