Квазигеострофические уравнения - Quasi-geostrophic equations

Пока геострофическое движение относится к ветру, который возник бы в результате точного баланса между Сила Кориолиса и горизонтальный силы градиента давления,^[1] квазигеострофическое (КГ) движение относится к потокам, в которых сила Кориолиса и силы градиента давления равны почти в балансе, но с инерция также имеет эффект. ^[2]

Источник

Атмосферные и океанографические потоки имеют горизонтальный масштаб длины, который очень велик по сравнению с их вертикальным масштабом длины, и поэтому их можно описать с помощью уравнения мелкой воды. В Число Россби это безразмерное число который характеризует силу инерции по сравнению с силой Кориолиса. Квазигеострофические уравнения являются приближениями к уравнениям мелкой воды в пределе малого числа Россби, так что силы инерции порядок величины меньше, чем силы Кориолиса и давления. Если число Россби равно нулю, мы восстанавливаем геострофический поток.

Квазигеострофические уравнения впервые были сформулированы Джул Чарни.^[3]

Вывод уравнений однослойной КГ.

В декартовых координатах компоненты геострофический ветер находятся

${\displaystyle {f_{0}}{v_{g}}={\partial \Phi \over \partial x}}$ (1а)

${\displaystyle {f_{0}}{u_{g}}=-{\partial \Phi \over \partial y}}$ (1b)

куда ${\displaystyle {\Phi }}$ это геопотенциал.

Геострофическая завихренность

${\displaystyle {\zeta _{g}}={{\hat {\mathbf {k} }}\cdot \nabla \times \mathbf {V_{g}} }}$

следовательно, можно выразить через геопотенциал как

${\displaystyle {\zeta _{g}}={{\partial v_{g} \over \partial x}-{\partial u_{g} \over \partial y}={1 \over f_{0}}\left({{\partial ^{2}\Phi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\Phi \over \partial y^{2}}}\right)={1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }}}$ (2)

Уравнение (2) можно использовать для нахождения ${\displaystyle {\zeta _{g}(x,y)}}$ из известного поля ${\displaystyle {\Phi (x,y)}}$. В качестве альтернативы его также можно использовать для определения ${\displaystyle {\Phi }}$ из известного распределения ${\displaystyle {\zeta _{g}}}$ путем инвертирования Лапласиан оператор.

Уравнение квазигеострофической завихренности может быть получено из ${\displaystyle {x}}$ и ${\displaystyle {y}}$ компоненты уравнения квазигеострофического импульса, которые затем могут быть получены из уравнения горизонтального импульса

${\displaystyle {D\mathbf {V} \over Dt}+f{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V} =-\nabla \Phi }$ (3)

В материальная производная в (3) определяется как

${\displaystyle {{D \over Dt}={\left({\partial \over \partial t}\right)_{p}}+{\left({\mathbf {V} \cdot \nabla }\right)_{p}}+{\omega {\partial \over \partial p}}}}$ (4)

куда ${\displaystyle {\omega ={Dp \over Dt}}}$ изменение давления после движения.

Горизонтальная скорость ${\displaystyle {\mathbf {V} }}$ можно разделить на геострофический ${\displaystyle {\mathbf {V_{g}} }}$ и агеострофический ${\displaystyle {\mathbf {V_{a}} }}$ часть

${\displaystyle {\mathbf {V} =\mathbf {V_{g}} +\mathbf {V_{a}} }}$ (5)

Два важных предположения квазигеострофического приближения:

1. ${\displaystyle {\mathbf {V_{g}} \gg \mathbf {V_{a}} }}$, а точнее ${\displaystyle {|\mathbf {V_{a}} | \over |\mathbf {V_{g}} |}\sim O({\text{Rossby number}})}$.

2. приближение бета-плоскости ${\displaystyle {f=f_{0}+\beta y}}$ с ${\displaystyle {{\frac {\beta y}{f_{0}}}\sim O({\text{Rossby number}})}}$

Второе предположение оправдывает постоянное значение параметра Кориолиса. ${\displaystyle {f_{0}}}$ в геострофическом приближении и аппроксимируя его вариацию в силе Кориолиса выражением ${\displaystyle {f_{0}+\beta y}}$.^[4] Однако, поскольку ускорение, следующее за движением, которое задано в (1) как разница между силой Кориолиса и силой градиента давления, зависит от отклонения фактического ветра от геострофического ветра, не допускается простая замена скорость на ее геострофическую скорость в члене Кориолиса.^[4] Тогда ускорение в (3) можно переписать как

${\displaystyle {f{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V} +\nabla \Phi }={(f_{0}+\beta y){\hat {\mathbf {k} }}\times (\mathbf {V_{g}} +\mathbf {V_{a}} )-f_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{g}} }={f_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{a}} +\beta y{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{g}} }}$ (6)

Таким образом, приближенное уравнение горизонтального импульса имеет вид

${\displaystyle {D_{g}\mathbf {V_{g}} \over Dt}={-f_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{a}} -\beta y{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{g}} }}$ (7)

Выражая уравнение (7) через его компоненты,

${\displaystyle {{D_{g}u_{g} \over Dt}-{f_{0}v_{a}}-{\beta yv_{g}}=0}}$ (8а)

${\displaystyle {{D_{g}v_{g} \over Dt}+{f_{0}u_{a}}+{\beta yu_{g}}=0}}$ (8b)

Принимая ${\displaystyle {{\partial (8b) \over \partial x}-{\partial (8a) \over \partial y}}}$, и отмечая, что геострофический ветер не расходится (т. е. ${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {V} =0}}$) уравнение завихренности имеет вид

${\displaystyle {{D_{g}\zeta _{g} \over Dt}=f_{0}\left({{\partial u_{a} \over \partial x}+{\partial v_{a} \over \partial y}}\right)-\beta v_{g}}}$ (9)

Потому что ${\displaystyle {f}}$ зависит только от ${\displaystyle {y}}$ (т.е. ${\displaystyle {{D_{g}f \over Dt}=\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla f=\beta v_{g}}}$) и что дивергенцию агеострофического ветра можно записать в терминах ${\displaystyle {\omega }}$ на основе уравнения неразрывности

${\displaystyle {{\partial u_{a} \over \partial x}+{\partial v_{a} \over \partial y}+{\partial \omega \over \partial p}=0}}$

поэтому уравнение (9) можно записать как

${\displaystyle {{\partial \zeta _{g} \over \partial t}={-\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla ({\zeta _{g}+f})}-{f_{0}{\partial \omega \over \partial p}}}}$ (10)

Та же идентичность с использованием геопотенциала

Определение геопотенциальной тенденции ${\displaystyle {\chi ={\partial \Phi \over \partial t}}}$ и отмечая, что частичное дифференцирование может быть обращено, уравнение (10) может быть переписано в терминах ${\displaystyle {\chi }}$ в качестве

${\displaystyle {{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\chi }={-\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla \left({{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\chi }+f}\right)}+{f_{0}{\partial \omega \over \partial p}}}}$ (11)

Правая часть уравнения (11) зависит от переменных ${\displaystyle {\chi }}$ и ${\displaystyle {\omega }}$. Аналогичное уравнение, зависящее от этих двух переменных, может быть получено из уравнения термодинамической энергии

${\displaystyle {{{\left({{\partial \over \partial t}+{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }}\right)\left({-\partial \Phi \over \partial p}\right)}-\sigma \omega }={kJ \over p}}}$ (12)

куда ${\displaystyle {\sigma ={-RT_{0} \over p}{d\log \Theta _{0} \over dp}}}$ и ${\displaystyle {\Theta _{0}}}$ - потенциальная температура, соответствующая температуре основного состояния. В средней тропосфере ${\displaystyle {\Theta _{0}}}$ ≈ ${\displaystyle {2.5\times 10^{-6}\mathrm {m} {^{2}}\mathrm {Pa} ^{-2}\mathrm {s} ^{-2}}}$.

Умножая (12) на ${\displaystyle {f_{0} \over \sigma }}$ и дифференцируя по ${\displaystyle {p}}$ и используя определение ${\displaystyle {\chi }}$ дает

${\displaystyle {{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0} \over \sigma }{\partial \chi \over \partial p}}\right)}=-{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0} \over \sigma }{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}-{{f_{0}}{\partial \omega \over \partial p}}-{{f_{0}}{\partial \over \partial p}\left({kJ \over \sigma p}\right)}}}$ (13)

Если для простоты ${\displaystyle {J}}$ были установлены на 0, исключая ${\displaystyle {\omega }}$ в уравнениях (11) и (13) дает ^[5]

${\displaystyle {{\left({\nabla ^{2}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0}^{2} \over \sigma }{\partial \over \partial p}}\right)}}\right){\chi }}=-{{f_{0}}{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }\left({{{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }}+f}\right)}-{{\partial \over \partial p}\left({{-}{f_{0}^{2} \over \sigma }{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }\left({\partial \Phi \over \partial p}\right)}\right)}}}$ (14)

Уравнение (14) часто называют уравнение геопотенциальной тенденции. Он связывает локальную тенденцию геопотенциала (член A) с распределением адвекции завихренности (член B) и адвекцией толщины (член C).

Та же идентичность с использованием квазигеострофической потенциальной завихренности

Используя цепное правило дифференцирования, член C можно записать как

${\displaystyle {-{{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }{\partial \over \partial p}\left({{f_{0}^{2} \over \sigma }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}-{{f_{0}^{2} \over \sigma }{\partial \mathbf {V_{g}} \over \partial p}{\cdot \nabla }{\partial \Phi \over \partial p}}}}$ (15)

Но исходя из термический ветер связь,

${\displaystyle {{f_{0}{\partial \mathbf {V_{g}} \over \partial p}}={{\hat {\mathbf {k} }}\times \nabla \left({\partial \Phi \over \partial p}\right)}}}$.

Другими словами,${\displaystyle {\partial \mathbf {V_{g}} \over \partial p}}$ перпендикулярно ${\displaystyle {\nabla ({\partial \Phi \over \partial p})}}$ и второй член в уравнении (15) исчезает.

Первый член может быть объединен с членом B в уравнении (14), которое при делении на ${\displaystyle {f_{0}}}$ можно выразить в виде уравнения сохранения ^[6]

${\displaystyle {{\left({{\partial \over \partial t}+{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }}\right)q}={D_{g}q \over Dt}=0}}$ (16)

куда ${\displaystyle {q}}$ - квазигеострофическая потенциальная завихренность, определяемая

${\displaystyle {q={{{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }}+{f}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0} \over \sigma }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}}}}$ (17)

Три члена уравнения (17) слева направо являются геострофическими относительный завихренность, планетарный завихренность и растяжение завихренность.

Подразумеваемое

По мере того как воздушная посылка движется в атмосфере, ее относительная, планетарная и растягивающая завихренности могут изменяться, но уравнение (17) показывает, что сумма этих трех должна сохраняться после геострофического движения.

Уравнение (17) можно использовать для нахождения ${\displaystyle {q}}$ из известного поля ${\displaystyle {\Phi }}$. В качестве альтернативы его также можно использовать для прогнозирования эволюции геопотенциального поля с учетом начального распределения ${\displaystyle {\Phi }}$ и подходящие граничные условия с использованием процесса инверсии.

Что еще более важно, квазигеострофическая система сводит примитивные уравнения с пятью переменными к системе с одним уравнением, где все переменные, такие как ${\displaystyle {u_{g}}}$, ${\displaystyle {v_{g}}}$ и ${\displaystyle {T}}$ можно получить из ${\displaystyle {q}}$ или высота ${\displaystyle {\Phi }}$.

Также потому, что ${\displaystyle {\zeta _{g}}}$ и ${\displaystyle {\mathbf {V_{g}} }}$ оба определены в терминах ${\displaystyle {\Phi (x,y,p,t)}}$, уравнение завихренности можно использовать для диагностики вертикальное движение при условии, что поля обоих ${\displaystyle {\Phi }}$ и ${\displaystyle {\partial \Phi \over \partial t}}$ известны.

Рекомендации

1. Филлипс, Н.А. (1963). «Геострофическое движение». Обзоры по геофизике Том 1, №2, с. 123.
2. Кунду, П. и Коэн, И.М. (2008). Механика жидкости, 4-е издание. Elsevier., Стр. 658.
3. Майда, Эндрю; Ван, Сяомин (2006). Нелинейная динамика и статистические теории основных геофизических потоков. Издательство Кембриджского университета. п. 3. ISBN  978-1-139-45227-4.
4. Холтон, Дж. Р. (2004). Введение в динамическую метеорологию, 4-е издание. Elsevier., Стр. 149.
5. Холтон, Дж. Р. (2004). Введение в динамическую метеорологию, 4-е издание. Elsevier., Стр. 157.
6. Холтон, Дж. Р. (2004). Введение в динамическую метеорологию, 4-е издание. Elsevier., Стр. 160.