Фактор абелевой категории - Quotient of an abelian category

В математика, то частное (также называемый Фактор Серра или же Фактор Габриэля) из абелева категория ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ по Подкатегория Серра ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ абелева категория ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ который интуитивно получается из ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ игнорируя (т.е. рассматривая как нуль ) все объекты из ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$. Есть канонический точный функтор ${\displaystyle Q\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ чье ядро ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

Определение

Формально, ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ это категория чьи объекты принадлежат ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ и чей морфизмы из Икс к Y даны прямой предел (из абелевы группы ) ${\displaystyle \varinjlim \mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(X',Y/Y')}$ над подобъекты ${\displaystyle X'\subseteq X}$ и ${\displaystyle Y'\subseteq Y}$ такой, что ${\displaystyle X/X'\in {\cal {B}}}$ и ${\displaystyle Y'\in {\cal {B}}}$. (Здесь, ${\displaystyle X/X'}$ и ${\displaystyle Y/Y'}$ обозначать частные объекты вычислено в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.) Состав морфизмов в ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ индуцируется универсальная собственность прямого лимита.

Канонический функтор ${\displaystyle Q\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ отправляет объект Икс себе и морфизм ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ к соответствующему элементу прямого предела с ИКС' = X и Y ′ = 0.

Примеры

Позволять ${\displaystyle k}$ быть поле и рассмотрим абелеву категорию ${\displaystyle {\rm {Mod}}(k)}$ из всех векторные пространства над ${\displaystyle k}$. Тогда полная подкатегория ${\displaystyle {\rm {mod}}(k)}$ конечных-размерный векторные пространства - это подкатегория Серра в ${\displaystyle {\rm {Mod}}(k)}$. Частное ${\displaystyle {\cal {{C}={\rm {Mod}}(k)/{\rm {mod}}(k)}}}$ имеет целью ${\displaystyle k}$-векторных пространств и множества морфизмов из ${\displaystyle X}$ к ${\displaystyle Y}$ в ${\displaystyle {\cal {C}}}$ является

$${\displaystyle \{k{\text{-linear maps from }}X{\text{ to }}Y\}/\{k{\text{-linear maps from }}X{\text{ to }}Y{\text{ with finite-dimensional image}}\}}$$

(что является фактор векторных пространств ). Это приводит к идентификации всех конечномерных векторных пространств с 0 и идентификации двух линейные карты всякий раз, когда их разность конечномерна изображение.

Характеристики

Частное ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ является абелевой категорией, а канонический функтор ${\displaystyle Q\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ является точный. Ядро ${\displaystyle Q}$ является ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, т.е. ${\displaystyle Q(X)}$это нулевой объект из ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ если и только если ${\displaystyle X}$ принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

Фактор и канонический функтор характеризуются следующим универсальным свойством: если ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ любая абелева категория и ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}}$ - точный функтор такой, что ${\displaystyle F(X)}$ нулевой объект ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ для каждого объекта ${\displaystyle X\in {\mathcal {B}}}$, то существует единственный точный функтор ${\displaystyle {\overline {F}}\colon {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}}$ такой, что ${\displaystyle F={\overline {F}}\circ Q}$.^[1]

Габриэль-Попеску

В Теорема Габриэля – Попеску заявляет, что любой Категория Гротендика ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ эквивалентно факторной категории ${\displaystyle \operatorname {Mod} (R)/{\cal {B}}}$, куда ${\displaystyle \operatorname {Mod} (R)}$обозначает абелеву категорию правых модулей над некоторыми кольцо единства ${\displaystyle R}$, и ${\displaystyle {\cal {B}}}$ есть некоторые локализация подкатегории из ${\displaystyle \operatorname {Mod} (R)}$.^[2]

Рекомендации

1. Габриэль, Пьер, Des category abeliennes, Бык. Soc. Математика. Франция 90 (1962), 323-448.
2. Н. Попеско, П. Габриэль (1964). "Caractérisation des catégories abéliennes avec générateurs et limites индуктивно exactes". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. 258: 4188–4190.