Рози фрактал - Rauzy fractal

Рози фрактал

В математике Рози фрактал это фрактал набор, связанный с Tribonacci замена

${\displaystyle s(1)=12,\ s(2)=13,\ s(3)=1\,.}$

Его изучал в 1981 году Жерар Рози,^[1] с идеей обобщения динамических свойств Морфизм Фибоначчи Этот фрактальный набор можно обобщить на другие карты в трехбуквенном алфавите, создавая другие фрактальные наборы с интересными свойствами, такими как периодические черепица самолета и самоподобие через три гомотетичный части.

Определения

Слово трибоначчи

В бесконечное слово трибоначчи это слово построенный путем итеративного применения Трибоначчи или же Карта Рози : ${\displaystyle s(1)=12}$, ${\displaystyle s(2)=13}$, ${\displaystyle s(3)=1}$.^[2][3] Это пример морфическое слово Начиная с 1, слова Трибоначчи:^[4]

• ${\displaystyle t_{0}=1}$
• ${\displaystyle t_{1}=12}$
• ${\displaystyle t_{2}=1213}$
• ${\displaystyle t_{3}=1213121}$
• ${\displaystyle t_{4}=1213121121312}$

Мы можем показать, что для ${\displaystyle n>2}$, ${\displaystyle t_{n}=t_{n-1}t_{n-2}t_{n-3}}$; отсюда и название "Трибоначчи ".

Фрактальная конструкция

Строительство

Рассмотрим теперь пространство ${\displaystyle R^{3}}$ с декартовыми координатами (x, y, z). В Рози фрактал построен так:^[5]

1) Интерпретируйте последовательность букв бесконечного слова Трибоначчи как последовательность унитарных векторов пространства по следующим правилам (1 = направление x, 2 = направление y, 3 = направление z).

2) Затем постройте «лестницу», отслеживая точки, достигнутые этой последовательностью векторов (см. Рисунок). Например, первые пункты:

• ${\displaystyle 1\Rightarrow (1,0,0)}$
• ${\displaystyle 2\Rightarrow (1,1,0)}$
• ${\displaystyle 1\Rightarrow (2,1,0)}$
• ${\displaystyle 3\Rightarrow (2,1,1)}$
• ${\displaystyle 1\Rightarrow (3,1,1)}$

и т.д ... Каждую точку можно раскрасить в соответствии с соответствующей буквой, чтобы подчеркнуть свойство самоподобия.

3) Затем спроецируйте эти точки на сжимающуюся плоскость (плоскость, ортогональную основному направлению распространения точек, ни одна из этих спроецированных точек не уходит в бесконечность).

Характеристики

• Возможно выложенный плиткой на три копии самого себя, с уменьшением площади в несколько раз ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle k^{2}}$ и ${\displaystyle k^{3}}$ с ${\displaystyle k}$ решение ${\displaystyle k^{3}+k^{2}+k-1=0}$: ${\displaystyle \scriptstyle {k={\frac {1}{3}}(-1-{\frac {2}{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}}+{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}})=0.54368901269207636}}$.
• Стабильно при обмене штуками. Мы можем получить тот же набор, поменяв места местами.
• Связаны и просто связано. Нет отверстия.
• Периодически укладывает самолет плиткой, переводя.
• Матрица карты Трибоначчи имеет ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1}$ как его характеристический многочлен. Его собственные значения - действительное число ${\displaystyle \beta =1.8392}$, называется Константа Трибоначчи, а Номер Писо, и два комплексно сопряженных ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$ с ${\displaystyle \alpha {\bar {\alpha }}=1/\beta }$.
• Его граница фрактальная, а граница Хаусдорфово измерение этой границы равно 1.0933, решение ${\displaystyle 2|\alpha |^{3s}+|\alpha |^{4s}=1}$.^[6]

Варианты и обобщение

Для любой унимодулярной подстановки типа Пизо, которая проверяет условие совпадения (очевидно, всегда проверяемое), можно построить аналогичное множество, называемое «фракталом Рози карты». Все они отображают самоподобие и сгенерируйте, для примеров ниже, периодическую мозаику плоскости.

• 

  s (1) = 12, s (2) = 31, s (3) = 1

• 

  s (1) = 12, s (2) = 23, s (3) = 312

• 

  s (1) = 123, s (2) = 1, s (3) = 31

• 

  s (1) = 123, s (2) = 1, s (3) = 1132

Смотрите также

• Математический портал

• Список фракталов

Рекомендации

1. Рози, Жерар (1982). "Nombres algébriques et замещающие" (PDF). Бык. Soc. Математика. Пт. (На французском). 110: 147–178. Zbl  0522.10032.
2. Lothaire (2005) стр.525
3. Пифей Фогг (2002) стр.232
4. Lothaire (2005) стр.546
5. Пифей Фогг (2002) стр.233
6. Мессауди, Али (2000). "Frontière du фрактал де Рози и система нумерации. (Граница фрактальной системы Рози и сложная система счисления)" (PDF). Acta Arith. (На французском). 95 (3): 195–224. Zbl  0968.28005.

• Арну, Пьер; Харрис, Эдмунд (август 2014 г.). "ЧТО ТАКОЕ ... Rauzy Fractal?". Уведомления Американского математического общества. 61 (7): 768–770. Дои:10.1090 / noti1144.
• Берте, Валери; Сигель, Энн; Тусвальднер, Йорг (2010). «Подстановки, фракталы Рози и мозаики». В Берте, Валери; Риго, Мишель (ред.). Комбинаторика, автоматы и теория чисел. Энциклопедия математики и ее приложений. 135. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 248–323. ISBN  978-0-521-51597-9. Zbl  1247.37015.
• Лотэр, М. (2005). Прикладная комбинаторика слов. Энциклопедия математики и ее приложений. 105. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-84802-2. МИСТЕР  2165687. Zbl  1133.68067.
• Пифей Фогг, Н. (2002). Берте, Валери; Ференци, Себастьен; Mauduit, Christian; Сигель, Энн (ред.). Подстановки в динамике, арифметике и комбинаторике. Конспект лекций по математике. 1794. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-44141-7. Zbl  1014.11015.

внешняя ссылка

• Топологические свойства фракталов Рози
• Замены, фракталы и мозаики Рози, Энн Сигель, 2009
• Фракталы Рози для автоморфизмов свободных групп, 2006 г.
• Подстановки Пизо и фракталы Рози
• Фракталы Рози
• Numberphile видео о фракталах Рози и числах Трибоначчи