Закон взаимности - Reciprocity law

В математике закон взаимности является обобщением закон квадратичной взаимности.

Есть несколько разных способов выразить законы взаимности. Первые законы взаимности, найденные в 19 веке, обычно выражались в терминах символ остатка энергии (п/q) обобщая квадратичный символ взаимности, который описывает, когда простое число является пй остаток энергии по модулю другое простое число и дало связь между (п/q) и (q/п). Гильберта переформулировал законы взаимности, сказав, что продукт более п Гильберта символы нормального вычета (а,б/п), принимающая значения в корнях из единицы, равна 1. Артин переформулировал законы взаимности как утверждение, что символ Артина от идеалов (или иделей) к элементам Группа Галуа тривиален на некоторой подгруппе. Несколько более поздних обобщений выражают законы взаимности с помощью когомологий групп или представлений адельных групп или алгебраических K-групп, и их связь с исходным квадратичным законом взаимности может быть трудно увидеть.

Квадратичная взаимность

Что касается Символ Лежандра, закон квадратичной взаимности для положительных нечетных простых чисел

{ displaystyle left ({ frac {p} {q}} right) left ({ frac {q} {p}} right) = (- 1) ^ {{ frac {p-1} {2}} { frac {q-1} {2}}}.}

Кубическая взаимность

Закон кубической взаимности для Целые числа Эйзенштейна утверждает, что если α и β примарны (простые числа, конгруэнтные 2 по модулю 3), то

{ displaystyle { Bigg (} { frac { alpha} { beta}} { Bigg)} _ {3} = { Bigg (} { frac { beta} { alpha}} { Bigg )} _ {3}.}

Четвертая взаимность

В терминах символа вычета четвертой степени закон взаимности четвертой степени для Гауссовские целые числа утверждает, что если π и θ являются первичными (конгруэнтными 1 mod (1+я)³) Гауссовы простые числа, то

{ displaystyle { Bigg [} { frac { pi} { theta}} { Bigg]} left [{ frac { theta} { pi}} right] ^ {- 1} = ( -1) ^ {{ frac {N pi -1} {4}} { frac {N theta -1} {4}}}.}.}

Octic взаимность

Эйзенштейновская взаимность

Предположим, что ζ - ${ displaystyle l}$ корень -й степени из единицы для некоторого нечетного простого числа ${ displaystyle l}$ . Силовой характер - это степень ζ такая, что

{ displaystyle left ({ frac { alpha} { mathfrak {p}}} right) _ {l} Equiv alpha ^ { frac {N ({ mathfrak {p}}) - 1} {l}} { pmod { mathfrak {p}}}}

для любого главного идеала ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ из Z[ζ]. Мультипликативность распространяется на другие идеалы. Закон взаимности Эйзенштейна гласит, что

{ displaystyle left ({ frac {a} { alpha}} right) _ {l} = left ({ frac { alpha} {a}} right) _ {l}}

за а любое рациональное целое число, взаимно простое с ${ displaystyle l}$ и α любой элемент из Z[ζ], взаимно прост с а и ${ displaystyle l}$ и сравнимо с целым рациональным числом по модулю (1 – ζ)².

Куммер взаимность

Предположим, что ζ - лкорень из единицы для нечетного обычный прайм л. С л регулярна, мы можем расширить символ {} на идеалы уникальным образом, так что

{ displaystyle left {{ frac {p} {q}} right } ^ {n} = left {{ frac {p ^ {n}} {q}} right }}

куда п является некоторым целым простым числом л такой, что п^п является основным.

Закон о взаимности Куммера гласит, что

{ displaystyle left {{ frac {p} {q}} right } = left {{ frac {q} {p}} right }}

за п и q любые различные простые идеалы Z[ζ] кроме (1 – ζ).

Гильбертова взаимность

В терминах символа Гильберта закон взаимности Гильберта для поля алгебраических чисел утверждает, что

{ Displaystyle prod _ {v} (а, б) _ {v} = 1}

где произведение берется по всем конечным и бесконечным точкам. В случае рациональных чисел это эквивалентно закону квадратичной взаимности. Чтобы увидеть этот дубль а и б быть различными нечетными простыми числами. Тогда закон Гильберта принимает вид ${ displaystyle (p, q) _ { infty} (p, q) _ {2} (p, q) _ {p} (p, q) _ {q} = 1}$ Но (п,q)_п равен символу Лежандра, (п,q)_∞ равно 1, если один из п и q положительна и –1 в противном случае, и (п,q)₂ равно (–1)^{(п–1)(q–1)/4}. Таким образом, для п и q положительные нечетные простые числа Закон Гильберта - это закон квадратичной взаимности.

Артиновая взаимность

На языке Ideles, закон взаимности Артина для конечного расширения L/K заявляет, что Карта Артина от группа классов иделей C_K к абелианизация Гал (L/K)^ab группы Галуа обращается в нуль на N_L/K(C_L) и индуцирует изоморфизм

{ displaystyle theta: C_ {K} / {N_ {L / K} (C_ {L})} to { text {Gal}} (L / K) ^ { text {ab}}.}

Хотя это не сразу очевидно, закон взаимности Артина легко подразумевает все ранее открытые законы взаимности, применяя его к подходящим расширениям. L/K. Например, в частном случае, когда K содержит пкорни единства и L=K[а^1/п] является куммеровым расширением K, факт исчезновения карты Артина на N_L/K(C_L) следует закон взаимности Гильберта для символа Гильберта.

Местная взаимность

Хассе представил местный аналог закона взаимности Артина, названный законом взаимности местного значения. Одна из его форм гласит, что для конечного абелевого расширения L/K локальных полей отображение Артина является изоморфизмом ${ Displaystyle К ^ { раз} / N_ {L / K} (L ^ { times})}$ на группу Галуа ${ displaystyle Gal (L / K)}$ .

Явные законы взаимности

Чтобы получить закон взаимности в классическом стиле из закона взаимности Гильберта Π (а,б)_п= 1, необходимо знать значения (а,б)_п за п разделение п. Явные формулы для этого иногда называют явными законами взаимности.

Законы взаимности власти

А закон взаимности власти можно сформулировать как аналог закон квадратичной взаимности в терминах символов Гильберта как^[1]

{ displaystyle left ({ frac { alpha} { beta}} right) _ {n} left ({ frac { beta} { alpha}} right) _ {n} ^ {- 1} = prod _ {{ mathfrak {p}} | n infty} ( alpha, beta) _ { mathfrak {p}} .}

Законы рациональной взаимности

Рациональный закон взаимности - это закон, сформулированный в терминах рациональных целых чисел без использования корней из единицы.

Закон взаимности Шольца

Шимура взаимность

Закон взаимности Вейля

Взаимность Ленглендса

В Программа Langlands содержит несколько гипотез для общих редуктивных алгебраических групп, которые для специальной группы GL₁ подразумевают закон взаимности Артина.

Закон взаимности Ямамото

Закон взаимности Ямамото - это закон взаимности, связанный с числами классов полей квадратичных чисел.