Структура регулярности - Regularity structure - Wikipedia

Мартин Хайрер теория структуры регулярности обеспечивает основу для изучения большого класса докритических параболических стохастические уравнения в частных производных вытекающие из квантовая теория поля.^[1] Рамка охватывает Уравнение Кардара – Паризи – Чжана. , то ${\displaystyle \Phi _{3}^{4}}$ уравнение и параболическая модель Андерсона, все из которых требуют перенормировка чтобы иметь четко определенный понятие решения.

Hairer выиграла 2021 год Приз за прорыв в математике для открытия структур регулярности.^[2]

Определение

А структура регулярности это тройка ${\displaystyle {\mathcal {T}}=(A,T,G)}$ состоящий из:

• подмножество ${\displaystyle A}$ (индексный набор) из ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ограниченный снизу и не имеющий очки накопления;
• пространство модели: a градуированное векторное пространство ${\displaystyle T=\oplus _{\alpha \in A}T_{\alpha }}$, где каждый ${\displaystyle T_{\alpha }}$ это Банахово пространство; и
• структурная группа: a группа ${\displaystyle G}$ из непрерывные линейные операторы ${\displaystyle \Gamma \colon T\to T}$ так что для каждого ${\displaystyle \alpha \in A}$ и каждый ${\displaystyle \tau \in T_{\alpha }}$, у нас есть ${\displaystyle (\Gamma -1)\tau \in \oplus _{\beta <\alpha }T_{\beta }}$.

Еще одним ключевым понятием в теории структур регулярности является понятие модели для структуры регулярности, которая представляет собой конкретный способ связывания с любым ${\displaystyle \tau \in T}$ и ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{d}}$ «многочлен Тейлора», основанный на ${\displaystyle x_{0}}$ и представлен ${\displaystyle \tau }$, при соблюдении некоторых требований согласованности. модель за ${\displaystyle {\mathcal {T}}=(A,T,G)}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, с ${\displaystyle d\geq 1}$ состоит из двух карт

${\displaystyle \Pi \colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathrm {Lin} (T;{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d}))}$,

${\displaystyle \Gamma \colon \mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{d}\to G}$.

Таким образом, ${\displaystyle \Pi }$ присваивает каждой точке ${\displaystyle x}$ линейная карта ${\displaystyle \Pi _{x}}$, которое является линейным отображением из ${\displaystyle T}$ в пространство распределений на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$; ${\displaystyle \Gamma }$ присваивается любым двум точкам ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ ограниченный оператор ${\displaystyle \Gamma _{xy}}$, который выполняет роль преобразования расширения на основе ${\displaystyle y}$ в один на базе ${\displaystyle x}$. Эти карты ${\displaystyle \Pi }$ и ${\displaystyle \Gamma }$ требуются для выполнения алгебраических условий

${\displaystyle \Gamma _{xy}\Gamma _{yz}=\Gamma _{xz}}$,

${\displaystyle \Pi _{x}\Gamma _{xy}=\Pi _{y}}$,

и аналитические условия, которые при любом ${\displaystyle r>|\inf A|}$, любой компакт ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{d}}$, и любые ${\displaystyle \gamma >0}$, существует постоянная ${\displaystyle C>0}$ так что границы

${\displaystyle |(\Pi _{x}\tau )\varphi _{x}^{\lambda }|\leq C\lambda ^{|\tau |}\|\tau \|_{T_{\alpha }}}$,

${\displaystyle \|\Gamma _{xy}\tau \|_{T_{\beta }}\leq C|x-y|^{\alpha -\beta }\|\tau \|_{T_{\alpha }}}$,

единообразно для всех ${\displaystyle r}$-разновременно непрерывно дифференцируемые тестовые функции ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$ с блоком ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{r}}$ норма, поддерживаемая единичным шаром относительно начала координат в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, для всех точек ${\displaystyle x,y\in K}$, все ${\displaystyle 0<\lambda \leq 1}$, и все ${\displaystyle \tau \in T_{\alpha }}$ с ${\displaystyle \beta <\alpha \leq \gamma }$. Здесь ${\displaystyle \varphi _{x}^{\lambda }\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$ обозначает сдвинутую и масштабированную версию ${\displaystyle \varphi }$ данный

${\displaystyle \varphi _{x}^{\lambda }(y)=\lambda ^{-d}\varphi \left({\frac {y-x}{\lambda }}\right)}$.

Рекомендации

1. Хайрер, Мартин (2014). «Теория регулярных структур». Inventiones Mathematicae. 198 (2): 269–504. arXiv:1303.5113. Bibcode:2014InMat.198..269H. Дои:10.1007 / s00222-014-0505-4. S2CID  119138901.
2. редактор, Ian Sample Science (10.09.2020). «Британский математик получил самый большой приз в академических кругах». Хранитель. ISSN  0261-3077. Получено 2020-09-13.