Лемма о кольце - Ring lemma

Конструкция, показывающая точную оценку кольцевой леммы

В геометрии круговые упаковки в Евклидова плоскость, то кольцевая лемма дает нижняя граница по размерам соседних кругов в упаковке кругов.^[1]

Заявление

Лемма утверждает: пусть ${ displaystyle n}$ быть любым целым числом больше или равным трем. Предположим, что единичный круг окружен кольцом ${ displaystyle n}$ внутренне непересекающиеся окружности, все касательные к нему, с последовательными окружностями в кольце, касающимися друг друга. Тогда минимальный радиус любой окружности в кольце не меньше единичная дробь

{ displaystyle { frac {1} {F_ {2n-3} -1}}}

куда ${ displaystyle F_ {i}}$ это ${ displaystyle i}$ th Число Фибоначчи.^[1]^[2]

Последовательность минимальных радиусов, от ${ displaystyle n = 3}$ , начинается

{ displaystyle 1, { frac {1} {4}}, { frac {1} {12}}, { frac {1} {33}}, { frac {1} {88}}, { frac {1} {232}}, dots}

и знаменатели в этой последовательности даны как OEIS: A027941.

Известны также обобщения на трехмерное пространство.^[3]

Строительство

Можно построить бесконечную последовательность кругов, содержащую кольца для каждого ${ displaystyle n}$ которые в точности соответствуют границе леммы о кольце, показывающей, что она плотная. Конструкция позволяет полуплоскости считаться выродиться окружностей с бесконечным радиусом и включает дополнительные касания между окружностями помимо тех, которые требуются в формулировке леммы. Он начинается с размещения единичного круга между двумя параллельными полуплоскостями; в геометрия кругов, они считаются касательными друг к другу на точка в бесконечности. Каждая последующая окружность после этих первых двух касается центральной единичной окружности и двух последних добавленных окружностей; см. рисунок для первых шести кругов (включая две полуплоскости), построенных таким образом. Первый ${ displaystyle n}$ круги этой конструкции образуют кольцо, минимальный радиус которого можно вычислить с помощью Теорема Декарта быть таким же, как радиус, указанный в лемме о кольце. Эту конструкцию можно преобразовать в кольцо ${ displaystyle n}$ конечные окружности без дополнительных касаний, минимальный радиус которых сколь угодно близок к этой границе.^[4]

История

Версия леммы о кольце с более слабой оценкой была впервые доказана Бертон Родин и Деннис Салливан как часть их доказательства Уильям Терстон гипотезу о том, что упаковки кругов можно использовать для аппроксимации конформные карты.^[5] Лоуэлл Хансен дал отношение повторения для максимально точной нижней границы,^[6] и Дов Ааронов нашли выражение в закрытой форме для той же границы.^[2]

Приложения

Помимо исходного приложения к конформному отображению,^[5] теорема об упаковке кругов и лемма о кольцах играют ключевую роль в доказательстве Кесега, Паха и Палвёльджи, что планарные графы ограниченной степени можно провести с ограниченным номер откоса.^[7]

Рекомендации

^ ^а ^б Стивенсон, Кеннет (2005), Введение в упаковку кругов: теория дискретных аналитических функций, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-82356-2, МИСТЕР 2131318; см. особенно лемму 8.2 (лемма о кольце), стр. 73–74, и Приложение B, Лемма о кольце, стр. 318–321.
^ ^а ^б Ааронов, Дов (1997), "Точная константа в лемме о кольце", Комплексные переменные, 33 (1–4): 27–31, Дои:10.1080/17476939708815009, МИСТЕР 1624890
^ Василис, Джонатан (2011), "Лемма о кольце в трех измерениях", Geometriae Dedicata, 152: 51–62, Дои:10.1007 / s10711-010-9545-0, МИСТЕР 2795235
^ Ааронов, Д .; Стефенсон, К. (1997), «Геометрические последовательности дисков в аполлонической упаковке», Алгебра и анализ, 9 (3): 104–140, МИСТЕР 1466797
^ ^а ^б Роден, Берт; Салливан, Деннис (1987), «Сходимость упаковок кругов к отображению Римана», Журнал дифференциальной геометрии, 26 (2): 349–360, МИСТЕР 0906396
^ Хансен, Лоуэлл Дж. (1988), "О лемме Родена и Салливана о кольцах", Комплексные переменные, 10 (1): 23–30, Дои:10.1080/17476938808814284, МИСТЕР 0946096
^ Кесег, Балаж; Пах, Янош; Pálvölgyi, Dömötör (2011), «Рисование плоских графов ограниченной степени с небольшими наклонами», Брандес, Ульрик; Корнельсен, Сабина (ред.), Графический рисунок: 18-й Международный симпозиум, GD 2010, Констанц, Германия, 21-24 сентября 2010 г., отредактированные избранные статьи, Конспект лекций по информатике, 6502, Heidelberg: Springer, стр. 293–304, arXiv:1009.1315, Дои:10.1007/978-3-642-18469-7_27, МИСТЕР 2781274

[s-1] а ^б Стивенсон, Кеннет (2005), Введение в упаковку кругов: теория дискретных аналитических функций, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-82356-2, МИСТЕР 2131318; см. особенно лемму 8.2 (лемма о кольце), стр. 73–74, и Приложение B, Лемма о кольце, стр. 318–321.

[a-2] а ^б Ааронов, Дов (1997), "Точная константа в лемме о кольце", Комплексные переменные, 33 (1–4): 27–31, Дои:10.1080/17476939708815009, МИСТЕР 1624890

[v-3] Василис, Джонатан (2011), "Лемма о кольце в трех измерениях", Geometriae Dedicata, 152: 51–62, Дои:10.1007 / s10711-010-9545-0, МИСТЕР 2795235

[as-4] Ааронов, Д .; Стефенсон, К. (1997), «Геометрические последовательности дисков в аполлонической упаковке», Алгебра и анализ, 9 (3): 104–140, МИСТЕР 1466797

[rs-5] а ^б Роден, Берт; Салливан, Деннис (1987), «Сходимость упаковок кругов к отображению Римана», Журнал дифференциальной геометрии, 26 (2): 349–360, МИСТЕР 0906396

[h-6] Хансен, Лоуэлл Дж. (1988), "О лемме Родена и Салливана о кольцах", Комплексные переменные, 10 (1): 23–30, Дои:10.1080/17476938808814284, МИСТЕР 0946096

[kpp-7] Кесег, Балаж; Пах, Янош; Pálvölgyi, Dömötör (2011), «Рисование плоских графов ограниченной степени с небольшими наклонами», Брандес, Ульрик; Корнельсен, Сабина (ред.), Графический рисунок: 18-й Международный симпозиум, GD 2010, Констанц, Германия, 21-24 сентября 2010 г., отредактированные избранные статьи, Конспект лекций по информатике, 6502, Heidelberg: Springer, стр. 293–304, arXiv:1009.1315, Дои:10.1007/978-3-642-18469-7_27, МИСТЕР 2781274

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]