Рассеянное пространство - Scattered space

В математике разбросанное пространство это топологическое пространство Икс который не содержит непустых плотный в себе подмножество.^[1][2] Эквивалентно каждое непустое подмножество А из Икс содержит точку, изолированную в А.

Подмножество топологического пространства называется разрозненный набор если это разбросанное пространство с топология подпространства.

Примеры

• Каждый дискретное пространство разбросано.
• Каждый порядковый номер с порядок топологии разбросано. Действительно, каждое непустое подмножество А содержит минимальный элемент, и этот элемент изолирован в А.
• Пространство Икс с топология конкретной точки, в частности Пространство Серпинского, разбросано. Это пример рассеянного пространства, которое не является Т₁ Космос.
• Замыкание разрозненного множества не обязательно разрозненно. Например, в евклидовой плоскости ${\displaystyle {\mathbb {R}}^{2}}$ взять счетно бесконечное дискретное множество А в единичном диске, причем точки становятся все плотнее и плотнее по мере приближения к границе. Например, возьмем объединение вершин серии n-угольников с центром в начале координат, причем радиус все ближе и ближе к 1. Тогда замыкание А будет содержать всю окружность радиуса 1, которая плотна сама по себе.

Характеристики

• В топологическом пространстве Икс замыкание плотного в себе подмножества - совершенное множество. Так Икс разбросан тогда и только тогда, когда он не содержит непустого совершенного множества.
• Каждое подмножество разбросанного пространства разбросано. Разбросанность - это наследственная собственность.
• Каждое разбросанное пространство Икс это Т₀ Космос. (Доказательство: Учитывая две разные точки Икс, у в Икс, по крайней мере, один из них, скажем Икс, будет изолирован в ${\displaystyle \{x,y\}}$. Это означает, что поблизости Икс в Икс что не содержит у.)
• В Т₀ пространство разбросано объединение двух разбросанных множеств.^[3][4] Обратите внимание, что T₀ здесь необходимо предположение. Например, если ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ с недискретная топология, ${\displaystyle \{a\}}$ и ${\displaystyle \{b\}}$ оба рассеяны, но их союз, ${\displaystyle X}$, не рассыпается, так как не имеет изолированной точки.
• Каждые Т₁ разбросанное пространство полностью отключен.

(Доказательство: Если C непустое связное подмножество Икс, он содержит точку Икс изолированные в C. Итак, синглтон ${\displaystyle \{x\}}$ оба открыты в C (потому что Икс изолирован) и замкнут в C (из-за T₁ свойство). Потому что C связан, он должен быть равен ${\displaystyle \{x\}}$. Это показывает, что каждая связная компонента Икс имеет одну точку.)

• Каждый второй счетный разбросанное пространство счетный.^[5]
• Каждое топологическое пространство Икс однозначно записывается как несвязное объединение идеальный набор и разрозненный набор.^[6][7]
• Каждую секунду счетное пространство Икс можно однозначно записать как несвязное объединение совершенного множества и счетного рассеянного открытого множества.

(Доказательство: Используйте совершенное + разбросанное разложение и вышеупомянутый факт о втором счетном рассеянном пространстве, а также тот факт, что подмножество второго счетного пространства является вторым счетным пространством.)

Кроме того, каждое замкнутое подмножество второго счетного Икс можно однозначно записать как несвязное объединение совершенного подмножества Икс и счетное разбросанное подмножество Икс.^[8] В частности, это имеет место в любом Польское пространство, который является содержанием Теорема Кантора – Бендиксона.

Примечания

1. Steen & Seebach, стр. 33
2. Engelking, p. 59
3. Предложение 2.8 в Аль-Хаджри, Монера; Белаид, Карим; Белаид, Ламия Джаафар (2016). «Рассеянные пространства, компактификации и приложение к проблеме классификации изображений». Математические публикации в Татрах. 66: 1–12. Дои:10.1515 / tmmp-2016-0015. S2CID  199470332.
4. https://math.stackexchange.com/questions/3854864
5. https://math.stackexchange.com/questions/376116
6. Уиллард, проблема 30Е, с. 219
7. https://math.stackexchange.com/questions/3856152
8. https://math.stackexchange.com/questions/742025

Рекомендации

• Энгелькинг, Рышард, Общая топология, Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN  3-88538-006-4
• Стин, Линн Артур; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии (Дувр переиздание 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-486-68735-3. МИСТЕР  0507446.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970], Общая топология (Дувр перепечатка изд. 1970 г.), Addison-Wesley