Оценки Шаудера - Schauder estimates

В математика, то Оценки Шаудера представляют собой набор результатов из-за Юлиуш Шаудер  (1934, 1937 ) относительно регулярности решений линейных равномерно эллиптический уравнения в частных производных. Оценки говорят, что когда уравнение должным образом гладкий условия и соответственно гладкие решения, то Норма Гёльдера решения можно контролировать с помощью норм Гёльдера для коэффициентов и источников. Поскольку эти оценки предполагают по гипотезе существование решения, они называются априорные оценки.

Есть как интерьер результат, дающий условие Гельдера для решения во внутренних областях, удаленных от границы, и граница результат, дающий условие Гельдера для решения во всей области. Первая граница зависит только от пространственного измерения, уравнения и расстояния до границы; последнее также зависит от гладкости границы.

Оценки Шаудера - необходимое условие для использования метод преемственности к доказательству существования и регулярности решений Задача Дирихле для эллиптических УЧП. Этот результат говорит о том, что, когда коэффициенты уравнения и характер граничных условий достаточно гладкие, существует гладкое классическое решение уравнения в частных производных.

Обозначение

Оценки Шаудера даны в терминах взвешенных норм Гёльдера; обозначения будут соответствовать тем, которые даны в тексте Д. Гилбарга и Нил Трудингер  (1983 ).

Норма супремума непрерывной функции ${displaystyle fin C(Omega )}$ дан кем-то

${displaystyle |f|_{0;Omega }=sup _{xin Omega }|f(x)|}$

Для функции, непрерывной по Гёльдеру с показателем ${displaystyle alpha }$, то есть ${displaystyle fin C^{alpha }(Omega )}$ обычный Hölder Seminorm дан кем-то

${displaystyle [f]_{0,alpha ;Omega }=sup _{x,yin Omega }{frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{alpha }}}.}$

Сумма двух является полной нормой Гёльдера ж

${displaystyle |f|_{0,alpha ;Omega }=|f|_{0;Omega }+[f]_{0,alpha ;Omega }=sup _{xin Omega }|f(x)|+sup _{x,yin Omega }{frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{alpha }}}.}$

Для дифференцируемых функций ты, необходимо учитывать нормы высших порядков, включающие производные. Норма в пространстве функций с k непрерывные производные, ${displaystyle C^{k}(Omega )}$, дан кем-то

${displaystyle |u|_{k;Omega }=sum _{|eta |leq k}sup _{xin Omega }|D^{eta }u(x)|}$

куда ${displaystyle eta }$ колеблется во всех мультииндексы соответствующих заказов. Для функций с kпроизводные -го порядка, непрерывные по Гёльдеру с показателем ${displaystyle alpha }$, соответствующая полунорма дается выражением

${displaystyle [u]_{k,alpha ;Omega }=sup _{stackrel {x,yin Omega }{|eta |=k}}{frac {|D^{eta }u(x)-D^{eta }u(y)|}{|x-y|^{alpha }}}}$

что дает полную норму

${displaystyle |u|_{k,alpha ;Omega }=|u|_{k;Omega }+[u]_{k,alpha ;Omega }=sum _{|eta |leq k}sup _{xin Omega }|D^{eta }u(x)|+sup _{stackrel {x,yin Omega }{|eta |=k}}{frac {|D^{eta }u(x)-D^{eta }u(y)|}{|x-y|^{alpha }}}.}$

Для внутренних оценок нормы взвешиваются по расстоянию до границы.

${displaystyle d_{x}=d(x,partial Omega )}$

в той же степени, что и производная, а полунормы взвешиваются

${displaystyle d_{x,y}=min(d_{x},d_{y})}$

возведен в соответствующую мощность. Результирующая взвешенная внутренняя норма функции определяется выражением

${displaystyle |u|_{k,alpha ;Omega }^{*}=|u|_{k;Omega }^{*}+[u]_{k,alpha ;Omega }^{*}=sum _{|eta |leq k}sup _{xin Omega }|d_{x}^{|eta |}D^{eta }u(x)|+sup _{stackrel {x,yin Omega }{|eta |=k}}d_{x,y}^{k+alpha }{frac {|D^{eta }u(x)-D^{eta }u(y)|}{|x-y|^{alpha }}}}$

Иногда бывает необходимо добавить «лишние» степени веса, обозначенные

${displaystyle |u|_{k,alpha ;Omega }^{(m)}=|u|_{k;Omega }^{(m)}+[u]_{k,alpha ;Omega }^{(m)}=sum _{|eta |leq k}sup _{xin Omega }|d_{x}^{|eta |+m}D^{eta }u(x)|+sup _{stackrel {x,yin Omega }{|eta |=k}}d_{x,y}^{m+k+alpha }{frac {|D^{eta }u(x)-D^{eta }u(y)|}{|x-y|^{alpha }}}.}$

Формулировка

Формулировки в этом разделе взяты из текста Д. Гилбарга и Нил Трудингер  (1983 ).

Оценка интерьера

Рассмотрим ограниченное решение ${displaystyle uin C^{2,alpha }(Omega )}$ на домене ${displaystyle Omega }$ к эллиптическому уравнению в частных производных второго порядка

${displaystyle sum _{i,j}a_{i,j}(x)D_{i}D_{j}u(x)+sum _{i}b_{i}(x)D_{i}u(x)+c(x)u(x)=f(x)}$

где исходный член удовлетворяет ${displaystyle fin C^{alpha }(Omega )}$. Если существует постоянная ${displaystyle lambda >0}$ так что ${displaystyle a_{i,j}}$ строго эллиптические,

${displaystyle sum a_{i,j}(x)xi _{i}xi _{j}geq lambda |xi |^{2}}$ для всех ${displaystyle xin Omega ,xi in mathbb {R} ^{n}}$

а соответствующие коэффициенты норм ограничены другой константой ${displaystyle Lambda }$

${displaystyle |a_{i,j}|_{0,alpha ;Omega },|b_{i}|_{0,alpha ;Omega }^{(1)},|c|_{0,alpha ;Omega }^{(2)}leq Lambda .}$

Тогда взвешенный ${displaystyle C^{2,alpha }}$ норма ты контролируется супремумом ты и норма Холдера ж:

${displaystyle |u|_{2,alpha ;Omega }^{*}leq C(n,alpha ,lambda ,Lambda )(|u|_{0,Omega }+|f|_{0,alpha ;Omega }^{(2)}).}$

Граничные оценки

Позволять ${displaystyle Omega }$ быть ${displaystyle C^{2,alpha }}$ области (то есть около любой точки на границе области граничная поверхность может быть реализована после соответствующего поворота координат как ${displaystyle C^{2,alpha }}$ функция), с граничными данными Дирихле, совпадающими с функцией ${displaystyle phi (x)}$ что также по крайней мере ${displaystyle C^{2,alpha }}$. Тогда при тех же условиях на коэффициенты, что и в случае внутренней оценки, невзвешенная норма Гёльдера ты контролируется невзвешенными нормами исходного члена, граничными данными и супремум-нормой ты:

${displaystyle |u|_{2,alpha ;Omega }leq C(n,alpha ,lambda ,Lambda ,Omega )(|u|_{0,Omega }+|f|_{0,alpha ;Omega }+|phi |_{2,alpha ;partial Omega }).}$

Когда решение ты удовлетворяет принцип максимума, первый член в правой части можно опустить.

Источники

• Gilbarg, D .; Трудингер, Нил (1983), Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка., Нью-Йорк: Springer, ISBN  3-540-41160-7
• Шаудер, Юлиуш (1934), "Über lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung", Mathematische Zeitschrift (на немецком языке), Берлин, Германия: Springer-Verlag, 38 (1), стр. 257–282, Дои:10.1007 / BF01170635 МИСТЕР1545448
• Шаудер, Юлиуш (1937), "Numerische Abschätzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen" (PDF), Studia Mathematica (на немецком языке), Львов, Польша: Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny, 5, стр. 34–42

дальнейшее чтение

• Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид (1989), Методы математической физики, 2 (1-е английское изд.), Нью-Йорк: Wiley-Interscience, ISBN  0-471-50439-4
• Хан, Цин; Линь, Фанхуа (1997), Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными., Нью-Йорк: Курантский институт математических наук, ISBN  0-9658703-0-8, OCLC  38168365 МИСТЕР1669352