Метод преемственности - Method of continuity

в математика из Банаховы пространства, то метод преемственности обеспечивает достаточные условия для вывода обратимости одного ограниченный линейный оператор от другого связанного оператора.

Формулировка

Позволять B быть Банахово пространство, V а нормированное векторное пространство, и ${displaystyle (L_{t})_{tin [0,1]}}$ а норма непрерывное семейство ограниченных линейных операторов из B в V. Предположим, что существует постоянная C так что для каждого ${displaystyle tin [0,1]}$ и каждый ${displaystyle xin B}$

${displaystyle ||x||_{B}leq C||L_{t}(x)||_{V}.}$

потом ${displaystyle L_{0}}$ сюръективно тогда и только тогда, когда ${displaystyle L_{1}}$ тоже сюръективно.

Приложения

Метод непрерывности используется в сочетании с априорные оценки чтобы доказать существование подходящих регулярных решений эллиптический уравнения в частных производных.

Доказательство

Мы предполагаем, что ${displaystyle L_{0}}$ сюръективно и показать, что ${displaystyle L_{1}}$ тоже сюръективно.

Разделив интервал [0,1], мы можем считать, что ${displaystyle ||L_{0}-L_{1}||leq 1/(3C)}$. Кроме того, сюръективность ${displaystyle L_{0}}$ подразумевает, что V изоморфен B и, следовательно, банахово пространство. Гипотеза означает, что ${displaystyle L_{1}(B)subseteq V}$ - замкнутое подпространство.

Предположить, что ${displaystyle L_{1}(B)subseteq V}$ - собственное подпространство. Лемма Рисса показывает, что существует ${displaystyle yin V}$ такой, что ${displaystyle ||y||_{V}leq 1}$ и ${displaystyle mathrm {dist} (y,L_{1}(B))>2/3}$. Сейчас же ${displaystyle y=L_{0}(x)}$ для некоторых ${displaystyle xin B}$ и ${displaystyle ||x||_{B}leq C||y||_{V}}$ по гипотезе. Следовательно

${displaystyle ||y-L_{1}(x)||_{V}=||(L_{0}-L_{1})(x)||_{V}leq ||L_{0}-L_{1}||||x||_{B}leq 1/3,}$

противоречие, поскольку ${displaystyle L_{1}(x)in L_{1}(B)}$.

Смотрите также

• Оценки Шаудера

Источники

• Gilbarg, D .; Трудингер, Нил (1983), Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка., Нью-Йорк: Springer, ISBN  3-540-41160-7