Группа Шредингера - Schrödinger group

В Группа Шредингера это группа симметрии свободной частицы Уравнение Шредингера. Математически группа SL (2, R) действует на Группа Гейзенберга внешними автоморфизмами, а группа Шредингера является соответствующим полупрямым произведением.

Алгебра Шредингера

Алгебра Шредингера - это Алгебра Ли группы Шредингера. Это не так полупростой. В одном измерении пространства его можно получить как полупрямую сумму алгебры Ли sl (2, R) и Алгебра Гейзенберга; аналогичные конструкции применимы к более высоким пространственным измерениям.

Он содержит Алгебра Галилея с центральной пристройкой.

${\displaystyle [J_{a},J_{b}]=i\epsilon _{abc}J_{c},\,\!}$

${\displaystyle [J_{a},P_{b}]=i\epsilon _{abc}P_{c},\,\!}$

${\displaystyle [J_{a},K_{b}]=i\epsilon _{abc}K_{c},\,\!}$

${\displaystyle [P_{a},P_{b}]=0,[K_{a},K_{b}]=0,[K_{a},P_{b}]=i\delta _{ab}M,\,\!}$

${\displaystyle [H,J_{a}]=0,[H,P_{a}]=0,[H,K_{a}]=iP_{a}.\,\!}$

Где ${\displaystyle J_{a},P_{a},K_{a},H}$ являются генераторами вращений (оператор углового момента ), пространственные трансляции (оператор импульса ), Галилеевы бусты и перевод времени (Гамильтониан ) соответственно (Примечания: ${\displaystyle i}$ мнимая единица, ${\displaystyle i^{2}=-1}$. Конкретный вид коммутаторов генераторов вращения ${\displaystyle J_{a}}$ является трехмерным пространством, то ${\displaystyle a,b,c=1,\ldots ,3}$.). В центральное расширение M имеет интерпретацию как нерелятивистский масса и соответствует симметрии Уравнение Шредингера при фазовом превращении (и с сохранением вероятности).

Есть еще два образующих, которые мы обозначим через D и C. У них есть следующие коммутационные соотношения:

${\displaystyle [H,C]=iD,[C,D]=-2iC,[H,D]=2iH,\,\!}$

${\displaystyle [P_{a},D]=iP_{a},[K_{i},D]=-iK_{a},\,\!}$

${\displaystyle [P_{a},C]=-iK_{a},[K_{a},C]=0,\,\!}$

${\displaystyle [J_{a},C]=[J_{a},D]=0.\,\!}$

Генераторы ЧАС, C и D образуют алгебру sl (2, R).

Более систематические обозначения позволяют разбить эти генераторы на четыре (бесконечные) семейства ${\displaystyle X_{n},Y_{m}^{(j)},M_{n}}$ и ${\displaystyle R_{n}^{(jk)}=-R_{n}^{(kj)}}$, куда n ∈ ℤ целое число и m ∈ ℤ + 1/2 является полуцелым числом и j, k = 1, ..., d обозначить пространственное направление, в d пространственные размеры. Не обращающиеся в нуль коммутаторы алгебры Шредингера принимают вид (евклидова форма)

${\displaystyle [X_{n},X_{n'}]=(n-n')X_{n+n'}}$

${\displaystyle [X_{n},Y_{m}^{(j)}]=\left({n \over 2}-m\right)Y_{n+m}^{(j)}}$

${\displaystyle [X_{n},M_{n'}]=-n'M_{n+n'}}$

${\displaystyle [X_{n},R_{n'}^{(jk)}]=-n'R_{n'}^{(jk)}}$

${\displaystyle [Y_{m}^{(j)},Y_{m'}^{(k)}]=\delta _{j,k}(m-m')M_{m+m'}}$

${\displaystyle [R_{n}^{(ij)},Y_{m}^{(k)}]=\delta _{i,k}Y_{n+m}^{(j)}-\delta _{j,k}Y_{n+m}^{(i)}}$

${\displaystyle [R_{n}^{(ij)},R_{n'}^{(kl)}]=\delta _{i,k}R_{n+n'}^{(jl)}+\delta _{j,l}R_{n+n'}^{(ik)}-\delta _{i,l}R_{n+n'}^{(jk)}-\delta _{j,k}R_{n+n'}^{(il)}}$

В Алгебра Шредингера конечномерна и содержит образующие ${\displaystyle X_{-1,0,1},Y_{-1/2,1/2}^{(j)},M_{0},R_{0}^{(jk)}}$В частности, три генератора ${\displaystyle X_{-1}=H,X_{0}=D,X_{1}=C}$ покрывают подалгебру sl (2, R). Космические переводы генерируются${\displaystyle Y_{-1/2}^{(j)}}$ и преобразования Галилея ${\displaystyle Y_{1/2}^{(j)}}$.

В выбранных обозначениях ясно видно, что существует бесконечномерное расширение, которое называется Алгебра Шредингера – Вирасоро.Затем генераторы ${\displaystyle X_{n}}$ с п целое число порождает петлевую алгебру Вирасоро. Явное представление в виде пространственно-временных преобразований дается формулой: n ∈ ℤ и m ∈ ℤ + 1/2^[1]

${\displaystyle X_{n}=-t^{n+1}\partial _{t}-{n+1 \over 2}t^{n}{\vec {r}}\cdot \partial _{\vec {r}}-{n(n+1) \over 4}{\cal {M}}t^{n-1}{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}-{x \over 2}(n+1)t^{n}}$

${\displaystyle Y_{m}^{(j)}=-t^{m+1/2}\partial _{r_{j}}-\left(m+{1 \over 2}\right){\cal {M}}t^{m-1/2}r_{j}}$

${\displaystyle M_{n}=-t^{n}{\cal {M}}}$

${\displaystyle R_{n}^{(jk)}=-t^{n}\left(r_{j}\partial _{r_{k}}-r_{k}\partial _{r_{j}}\right)}$

Это показывает, как центральное расширение ${\displaystyle M_{0}}$ непростой и конечномерной алгебры Шредингера становится компонентом бесконечного семейства в алгебре Шредингера – Вирасоро. Кроме того, и по аналогии с Алгебра Вирасоро или Алгебра Каца – Муди возможны дальнейшие центральные расширения. Однако результат, отличный от нуля, существует только для коммутатора${\displaystyle [X_{n},X_{n'}]}$, где он должен быть знакомой формы Вирасоро, а именно

${\displaystyle [X_{n},X_{n'}]=(n-n')X_{n+n'}+{c \over 12}(n^{3}-n)\delta _{n+n',0}}$

или для коммутатора между вращениями ${\displaystyle R_{n}^{(jk)}}$, где он должен иметь форму Каца-Муди. Любое другое возможное центральное расширение может быть поглощено генераторами алгебры Ли.

Роль группы Шредингера в математической физике

Хотя группа Шредингера определяется как группа симметрии свободной частицы Уравнение Шредингера, это реализуется в некоторых взаимодействующих нерелятивистских системах (например, холодных атомах при критичности).

Группа Шредингера в d пространственных измерениях может быть встроена в релятивистскую конформная группа в d + 1 измерениях SO (2, d + 2). Это вложение связано с тем, что можно получить Уравнение Шредингера из безмассового Уравнение Клейна – Гордона через Компактификация Калуцы – Клейна по нулевым размерам и лифту Баргмана Теория Ньютона – Картана. Это вложение можно также рассматривать как расширение алгебры Шредингера до максимального параболическая подалгебра из SO (2, d + 2).

Симметрия группы Шредингера может приводить к экзотическим свойствам взаимодействующих бозонных и фермионных систем, таких как сверхтекучие жидкости в бозонах^[2][3],и Ферми жидкости и неферми жидкости в фермионах^[4]. Они находят применение в конденсированных средах и холодных атомах.

Группа Шредингера также возникает как динамическая симметрия в приложениях для конденсированных сред: это динамическая симметрияМодель Эдвардса – Уилкинсона роста кинетической границы раздела.^[5] Он также описывает кинетику фазового упорядочения после температурного перехода от неупорядоченной фазы к упорядоченной в магнитных системах.

Рекомендации

1. М. Хенкель, J. Stat. Phys. 75, 1023 (1994)
2. Сын, Дам Т (август 2008 г.). «К соответствию AdS / холодные атомы: геометрическая реализация симметрии Шредингера». Физический обзор D. 78 (4): 046003. arXiv:0804.3972. Дои:10.1103 / PhysRevD.78.046003. ISSN  2470-0029.
3. Адамс, А .; Ван Дж. (Ноябрь 2011 г.). «К нерелятивистской голографической сверхтекучей жидкости». Новый журнал физики. 13. arXiv:1103.3472. Дои:10.1088/1367-2630/13/11/115008.
4. Ван Дж. (Февраль 2014 г.). "Schrödinger Fermi Liquids". Физический обзор D. 89 (4): 046008. arXiv:1301.1986. Дои:10.1103 / PhysRevD.89.046008. ISSN  2470-0029.
5. М. Хенкель, Евро. Phys. J. Spec. Темы 226, 605 (2017)

• К. Р. Хаген, "Масштабные и конформные преобразования в теории галилеевско-ковариантного поля", Phys. Ред. D5, 377–388 (1972)
• У. Нидерер, "Максимальная кинематическая группа инвариантности свободного уравнения Шредингера", Helv. Phys. Acta 45, 802 (1972)
• Г. Бурдет, М. Перрин, П. Сорба, "О нерелятивистской структуре конформной алгебры", Comm. Математика. Phys. 34, 85 (1973)
• М. Хенкель, "Шредингеровская инвариантность и сильно анизотропные критические системы", J. Stat. Phys. 75, 1023 (1994)
• М. Хенкель, Дж. Унтербергер, "Шредингеровская инвариантность и пространственно-временные симметрии", Nucl. Phys. B660, 407 (2003)
• А. Рётлейн, Ф. Бауман, М. Плеймлинг, "Симметричное определение функций пространства-времени в процессах неравновесного роста", Phys. Ред. E74, 061604 (2006) - опечатка E76, 019901 (2007)
• Д.Т. Сон, «К соответствию AdS / холодные атомы: геометрическая реализация симметрии Шредингера», Phys. Ред. D78, 046003 (2008)
• А. Багчи, Р. Гопакумар, "Конформные алгебры Галилея и AdS / CFT", JHEP 0907:037 (2009)
• М. Хенкель, М. Плеймлинг, Неравновесные фазовые переходы, том 2: старение и динамическое масштабирование вдали от равновесия, (Springer, Heidelberg 2010)
• Дж. Унтербергер, К. Роджер, Алгебра Шредингера-Вирасоро, (Springer, Heidelberg 2012)

Смотрите также

• Уравнение Шредингера
• Преобразование Галилея
• Группа Пуанкаре