Полупроводниковые уравнения Блоха - Semiconductor Bloch equations

В полупроводник Блох уравнения^[1] (сокращенно SBE) описывают оптический отклик полупроводники взволнован последовательный классические источники света, такие как лазеры. Они основаны на полной квантовой теории и образуют замкнутый набор интегро-дифференциальные уравнения для квантовая динамика микроскопических поляризация и носитель заряда распространение.^[2][3] SBE названы в честь структурной аналогии с оптические уравнения Блоха описывающие динамику возбуждения в двухуровневый атом взаимодействуя с классическим электромагнитное поле. В качестве основной сложности, выходящей за рамки атомарного подхода, SBE должны учитывать многотельный взаимодействия в результате Кулон сила между зарядами и связь между колебания решетки и электроны. SBE - один из самых сложных и успешных подходов к описанию оптических свойств полупроводников, происходящих из классического взаимодействия света и вещества, когда-то теория многих тел систематически включены.

Задний план

Оптический отклик полупроводника следует, если можно определить его макроскопическую поляризацию ${\displaystyle \mathbf {P} }$ как функция электрического поля ${\displaystyle \mathbf {E} }$ это возбуждает его. Связь между ${\displaystyle \mathbf {P} }$ и микроскопическая поляризация ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$ дан кем-то

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {d} \,\sum _{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }+\operatorname {c.c.} \;,}$

где в сумму входят импульсы кристалла ${\displaystyle \hbar {\mathbf {k} }}$ всех соответствующих электронных состояний. В полупроводниковой оптике обычно возбуждаются переходы между валентность и зона проводимости. В этой связи, ${\displaystyle \mathbf {d} }$ это диполь матричный элемент между зоной проводимости и валентной зоной и ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$ определяет соответствующую амплитуду перехода.

Вывод SBE начинается с системы Гамильтониан это полностью включает свободные частицы, Кулоновское взаимодействие, дипольное взаимодействие между классическим световым и электронным состояниями, а также фонон взносы.^[3] Как почти всегда в физика многих тел, удобнее всего применять вторичное квантование формализм после соответствующего системного гамильтониана ${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathrm {System} }}$ идентифицирован. Затем можно вывести квантовую динамику соответствующих наблюдаемые ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$ используя Уравнение движения Гейзенберга

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle =\langle [{\hat {\mathcal {O}}},{\hat {H}}_{\mathrm {System} }]_{-}\rangle \;.}$

Из-за взаимодействия многих тел внутри ${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathrm {System} }}$, динамика наблюдаемых ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$ пары с новыми наблюдаемыми, и структура уравнения не может быть закрыта. Это всем известный Иерархия BBGKY проблема, которая может быть систематически усечена различными методами, такими как кластерный подход.^[4]

На уровне оператора микроскопическая поляризация определяется математическим ожиданием одного электронного перехода между валентной зоной и зоной проводимости. При вторичном квантовании электроны в зоне проводимости определяются как фермионный операторы создания и уничтожения ${\displaystyle {\hat {a}}_{c,{\mathbf {k} }}^{\dagger }}$ и ${\displaystyle {\hat {a}}_{c,{\mathbf {k} }}}$соответственно. Аналогичная идентификация, т. Е. ${\displaystyle {\hat {a}}_{v,{\mathbf {k} }}^{\dagger }}$ и ${\displaystyle {\hat {a}}_{v,{\mathbf {k} }}}$, сделана для электронов валентной зоны. Тогда соответствующий электронный межзонный переход принимает вид

${\displaystyle P_{\mathbf {k} }^{\star }=\langle {\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }\rangle \,,\qquad P_{\mathbf {k} }=\langle {\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }\rangle \,,}$

описывающие амплитуды переходов для перемещения электрона из зоны проводимости в валентную зону (${\displaystyle P_{\mathbf {k} }^{\star }}$ срок) или наоборот (${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$ срок). В то же время распределение электронов следует из

${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}=\langle {\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }\rangle \;.}$

Также удобно проследить за распределением электронных вакансий, т.е. дыры,

${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}=1-\langle {\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }\rangle =\langle {\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }{\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }^{\dagger }\rangle }$

которые остаются в валентной зоне из-за процессов оптического возбуждения.

Принципиальная структура SBE

Квантовая динамика оптических возбуждений дает интегро-дифференциальные уравнения которые составляют SBE^[1][3]

Полупроводниковые уравнения Блоха

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}P_{\mathbf {k} }={\tilde {\varepsilon }}_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }-\left[1-f_{\mathbf {k} }^{e}(t)-f_{\mathbf {k} }^{h}(t)\right]\Omega _{\mathbf {k} }+\mathrm {i} \hbar \left.{\frac {\partial }{\partial t}}P_{\mathbf {k} }\right|_{\mathrm {scatter} }\,,}$

${\displaystyle \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{e}=2\operatorname {Im} \left[\Omega _{\mathbf {k} }^{\star }P_{\mathbf {k} }\right]+\hbar \left.{\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{e}\right|_{\mathrm {scatter} }\,,}$

${\displaystyle \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{h}=2\operatorname {Im} \left[\Omega _{\mathbf {k} }^{\star }P_{\mathbf {k} }\right]+\hbar \left.{\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{h}\right|_{\mathrm {scatter} }\;.}$

Они содержат перенормированный Энергия раби

${\displaystyle \Omega _{\mathbf {k} }=\mathbf {d} \cdot \mathbf {E} +\sum _{\mathbf {k} '\neq \mathbf {k} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k} '}P_{\mathbf {k} '}}$

так же хорошо как перенормированная энергия носителя

${\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}_{\mathbf {k} }=\varepsilon _{\mathbf {k} }-\sum _{\mathbf {k} '\neq \mathbf {k} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k} '}\left[f_{\mathbf {k} '}^{e}+f_{\mathbf {k} '}^{h}\right]\,,}$

где ${\displaystyle \varepsilon _{\mathbf {k} }}$ соответствует энергии свободного электронно-дырочные пары и ${\displaystyle V_{\mathbf {k} }}$ кулоновский матричный элемент, выраженный здесь через несущий волновой вектор ${\displaystyle \mathbf {k} }$.

Символически обозначенный ${\displaystyle \left.\cdots \right|_{\mathrm {scatter} }}$ вклады проистекают из иерархической связи из-за взаимодействий многих тел. Концептуально, ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$, ${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}}$, и ${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}}$ представляют собой одночастичные математические ожидания, в то время как иерархическая связь возникает из двухчастичных корреляций, таких как корреляции поляризационной плотности или корреляции поляризационных фононов. Физически эти двухчастичные корреляции вносят несколько нетривиальных эффектов, таких как скрининг кулоновского взаимодействия, больцмановского рассеяния ${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}}$ и ${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}}$ к Распределение Ферми – Дирака, дефазировка, вызванная возбуждением, и др. перенормировка энергий за счет корреляций.

Все эти корреляционные эффекты можно систематически включить, решив также динамику двухчастичных корреляций.^[5] На этом уровне сложности можно использовать SBE для прогнозирования оптического отклика полупроводников без феноменологический параметры, что дает SBE очень высокую степень предсказуемости. Действительно, можно использовать SBE для прогнозирования подходящих конструкций лазеров на основе точных знаний, которые они дают о спектр усиления полупроводника. Можно даже использовать SBE для вывода о существовании корреляций, таких как связанные экситоны, из количественных измерений.^[6]

Представленные SBE сформулированы в импульсном пространстве, поскольку импульс кристалла носителя следует из ${\displaystyle \hbar \mathbf {k} }$. Эквивалентная система уравнений также может быть сформулирована в пространстве позиций.^[7] Однако, особенно, корреляционные вычисления намного проще выполнять в импульсном пространстве.

Толкование и последствия

Характерный линейный спектр поглощения ${\displaystyle \alpha (E)}$ объемного GaAs с использованием двухзонных SBE. Затухание поляризации аппроксимируется постоянной затухания ${\displaystyle \hbar \gamma =0.13\,\mathrm {meV} }$ и ${\displaystyle \alpha (E)}$ вычисляется как функция энергии фотона поля накачки ${\displaystyle E}$. Энергия сдвинута относительно энергии запрещенной зоны ${\displaystyle E_{\mathrm {gap} }=1.490\,\mathrm {meV} }$ и полупроводник изначально невозбужден. Из-за использования небольшой постоянной дефазировки несколько экситонных резонансов появляются значительно ниже запрещенной энергии. Величина высокоэнергетических резонансов умножается на 5 для наглядности.

В ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$ динамический показывает структуру, в которой ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$ связан с все другие микроскопические поляризации из-за кулоновского взаимодействия ${\displaystyle V_{\mathbf {k} }}$. Следовательно, амплитуда перехода ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$ коллективно модифицируется наличием других амплитуд переходов. Только если установить ${\displaystyle V_{\mathbf {k} }}$ к нулю обнаруживаются изолированные переходы внутри каждого ${\displaystyle {\mathbf {k} }}$ состояния, которые следуют точно такой же динамике, как оптические уравнения Блоха предсказывать. Следовательно, уже кулоновское взаимодействие между ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$ производит новый твердое состояние эффект по сравнению с оптическими переходами в простых атомах.

Концептуально, ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$ представляет собой просто амплитуду перехода для возбуждения электрона из валентной зоны в зону проводимости. В то же время однородная часть ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$ динамика дает проблема собственных значений что может быть выражено через обобщенное уравнение Ванье. Собственные состояния уравнения Ванье аналогичны связанным решениям уравнения водород проблема квантовой механики. Их часто называют экситон растворов, и они формально описывают кулоновское связывание противоположно заряженными электронами и дырками.

Однако реальный экситон является истинной двухчастичной корреляцией, потому что тогда должна быть корреляция между одним электроном и другой дыркой. Поэтому появление экситонных резонансов в поляризации не означает наличия экситонов, поскольку ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$ - амплитуда одночастичного перехода. Экситонные резонансы являются прямым следствием кулоновского взаимодействия всех возможных переходов в системе. Другими словами, сами одночастичные переходы подвержены влиянию кулоновского взаимодействия, что позволяет детектировать экситонный резонанс в оптическом отклике, даже когда истинных экситонов нет.^[8]

Поэтому часто оптические резонансы принято называть экситоннымиIC вместо экситонных резонансов. Реальную роль экситонов в оптическом отклике можно вывести только по количественным изменениям, вызывающим ширина линии энергетический сдвиг экситонных резонансов.^[6]

Решения уравнения Ванье могут дать ценную информацию об основных свойствах оптического отклика полупроводника. В частности, можно решить стационарные решения SBE для аналитического прогнозирования спектра оптического поглощения с помощью так называемого Формула Эллиотта. В таком виде можно проверить, что невозбужденный полупроводник демонстрирует несколько резонансов экситонного поглощения, значительно меньших энергии основной запрещенной зоны. Очевидно, что эта ситуация не может быть зондированием экситонов, поскольку исходная система многих тел изначально не содержит электронов и дырок. Кроме того, в принципе зондирование может проводиться настолько аккуратно, что электронно-дырочные пары практически не возбуждаются. Эта мысленный эксперимент хорошо иллюстрирует, почему можно обнаруживать экситонные резонансы, не имея экситонов в системе, все благодаря кулоновскому взаимодействию между амплитудами переходов.

Расширения

SBE особенно полезны при решении проблемы распространения света через полупроводниковую структуру. В этом случае необходимо решать SBE вместе с Уравнения Максвелла управляемый оптической поляризацией. Эта самосогласованный Набор называется Maxwell – SBEs и часто применяется для анализа современных экспериментов и моделирования конструкций устройств.

На этом уровне SBE обеспечивают чрезвычайно универсальный метод, который описывает как линейные, так и нелинейные явления, такие как экситонный эффекты, эффекты распространения, полупроводник микрополость эффекты, четырехволновое смешение, поляритоны в полупроводниковых микрополостях, спектроскопия усиления, и так далее.^[4][8][9] Можно также обобщить SBE, включив возбуждение терагерцовыми (ТГц) полями^[5] которые обычно резонируют с внутризонными переходами. Можно также квантовать световое поле и исследовать квантово-оптический эффекты, которые результат. В этой ситуации SBE становятся связанными с уравнения люминесценции полупроводников.

Смотрите также

• Абсорбция
• Уравнения полупроводниковой люминесценции
• Формула Эллиотта
• Квантовая оптическая спектроскопия
• Оптические уравнения Блоха
• Уравнение Ванье
• Спектроскопия усиления полупроводников
• Теория полупроводникового лазера
• Нелинейная теория полупроводниковых лазеров

дальнейшее чтение

• Эшкрофт, Нил У .; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела. Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN  978-0-03-083993-1.
• Шах, Дж. (1999). Сверхбыстрая спектроскопия полупроводников и полупроводниковых наноструктур (2-е изд.). Springer. ISBN  978-3-540-64226-8.
• Киттель, К. (2004). Введение в физику твердого тела (8-е изд.). World Scientific. ISBN  978-0471415268.
• Haug, H .; Кох, С. В. (2009). Квантовая теория оптических и электронных свойств полупроводников. (5-е изд.). World Scientific. ISBN  978-9812838841.
• Клингширн, К. Ф. (2006). Полупроводниковая оптика. Springer. ISBN  978-3540383451.
• Кира, М .; Кох, С. В. (2011). Полупроводниковая квантовая оптика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521875097.

использованная литература

1. Lindberg, M .; Кох, С. В. (1988). «Эффективные уравнения Блоха для полупроводников». Физический обзор B 38 (5): 3342–3350. doi:10.1103% 2FPhysRevB.38.3342
2. Schäfer, W .; Вегенер, М. (2002). Полупроводниковая оптика и явления переноса. Springer. ISBN  3540616144.
3. Haug, H .; Кох, С. В. (2009). Квантовая теория оптических и электронных свойств полупроводников. (5-е изд.). World Scientific. п. 216. ISBN  9812838848.
4. Кира, М .; Кох, С. В. (2011). Полупроводниковая квантовая оптика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521875097.
5. Кира, М .; Кох, С. (2006). «Многотельные корреляции и экситонные эффекты в спектроскопии полупроводников». Прогресс в квантовой электронике 30 (5): 155–296. doi:10.1016 / j.pquantelec.2006.12.002
6. Smith, R.P .; Wahlstrand, J. K .; Funk, A.C .; Мирин, Р. П .; Cundiff, S.T .; Steiner, J. T .; Schafer, M .; Кира, М. и др. (2010). «Извлечение многочастичных конфигураций из нелинейного поглощения в полупроводниковых квантовых ямах». Письма с физическими проверками 104 (24). doi:10.1103 / PhysRevLett.104.247401
7. Шталь, А. (1984). «Электродинамика запрещенной зоны в прямозонном полупроводнике». Твердотельные коммуникации 49 (1): 91–93. doi:10.1016/0038-1098(84)90569-6
8. Koch, S.W .; Кира, М .; Хитрова, Г.; Гиббс, Х. М. (2006). «Полупроводниковые экситоны в новом свете». Материалы Природы 5 (7): 523–531. doi:10.1038 / nmat1658
9. Клингширн, К. Ф. (2006). Полупроводниковая оптика. Springer. ISBN  978-3540383451.