Siteswap - Siteswap

"Жонглирование битом" перенаправляется сюда. Для музыки см. бить жонглирование.

Частота смены сайтов отображается как относительная высота^[1][2]

Siteswap, также называемый квантовое жонглирование или Кембриджская нотация, является числовым обозначение жонглирования используется для описания или представления шаблоны жонглирования. Этот термин также может использоваться для описания шаблоны sitewap, возможные шаблоны расшифровываются с помощью sitewap. Броски представлены положительные целые числа которые определяют количество ударов в будущем, когда объект будет брошен снова: «Идея sitewap состоит в том, чтобы отслеживать порядок, в котором шары бросаются и ловятся, и только это».^[3] Это бесценный инструмент для определения того, какие комбинации бросков дают допустимые шаблоны жонглирования для заданного количества объектов, и привел к ранее неизвестным шаблонам (например, 441). Однако он не описывает движения тела, такие как движения за спиной и под ногами. Siteswap предполагает, что "выбросы происходят на удары которые одинаково разнесены во времени ".^[4]

Например, каскад из трех мячей может быть обозначен цифрой «3», а душ может быть обозначен цифрой "5 1".^[4]

Источник

Обозначения были изобретены Полем Климеком в Санта-Крус, Калифорния в 1981 году, а затем был разработан студентами Брюсом «Боппо» Тиманом и покойным Бенгтом Магнуссоном в Калифорнийском технологическом институте в 1985 году, а также Майком Дей, математиком Колином Райтом и математиком Адамом Чалкрафтом в Кембридж, Англия в 1985 году (отсюда и альтернативное название).^[5][а] Цифры основаны на количестве шаров, используемых в наиболее распространенных схемах жонглирования. Siteswap был описан как «пожалуй, самое популярное» имя.^[7]

Название sitewap исходит из способности генерировать шаблоны, "меняя местами" время посадки любых двух "сайтов" в sitewap, используя обменять собственность.^[8] Например, если поменять местами время приземления для бросков «5» и «1» в sitewap «51», то будет создан sitewap «24».

Ваниль

Его простейшая форма, иногда называемая ванильной заменой сайтов, описывает только паттерны, в которых броски чередуются руками и по одному мячу бросается из каждой руки за раз. Если бы кто-то жонглировал, идя вперед, сверху было бы видно что-то вроде соседней диаграммы, иногда называемой диаграмма пространства-времени или же лестничная диаграмма. На этой диаграмме жонглирование тремя шарами. Время идет сверху вниз.

Этот шаблон можно описать, указав, через сколько бросков позже будет пойман каждый мяч. Например, при первом броске на диаграмме фиолетовый шар подбрасывается в воздух (вверх из экрана, в нижний левый угол) правой рукой, затем синий шар, зеленый шар, снова зеленый шар, и снова синий шар, а затем, наконец, фиолетовый шар пойман и брошен левой рукой при пятом броске, это дает первый бросок 5. Это дает последовательность чисел, обозначающих высоту каждого выполняемого броска. Поскольку руки чередуются, странный Броски с четными номерами направляют мяч в другую руку, а броски с четными номерами направляют мяч в ту же руку. А 3 представляет собой бросок в противоположную руку на высоте основного трёхмерногокаскад; а 4 представляет собой бросок в ту же руку на высоте четырехугольника.фонтан, и так далее.

Имена бросков по сайту

Название броска	Объект Beats находится в воздухе	Переключает руки	Описание
0	-	-	Пустая рука
1	1	да	Бросать из одной руки в другую
2	0	Нет	Мгновенное удержание
3	3	да	Бросок с 3 мяча каскад
4	4	Нет	Бросок с 4 мяча фонтан
5	5	да	Бросок с пятерки каскад
6	6	Нет	Бросок с 6-го мяча фонтан
7	7	да	Бросок с 7-го мяча каскад
8	8	Нет	Бросок с 8-го мяча фонтан
9	9	да	Бросок с 9 мяча каскад
а	10	Нет	Бросок с 10-го мяча фонтан
б	11	да	Бросок с 11-го мяча каскад
...	...	...	...

Есть три специальных броска: 0 пауза с пустой рукой, 1 это быстрый переход прямо в другую руку, и 2 это кратковременное удержание объекта. Бросает дольше, чем 9 удары даются буквами, начинающимися с а. Количество ударов, с которыми мяч находится в воздухе, обычно соответствует тому, насколько высоко он был брошен, поэтому многие люди называют эти числа высотой, но это технически неправильно; все, что имеет значение, - это количество ударов в воздухе, а не то, как высоко он подброшен. Например, подбрасывание мяча занимает больше времени, чем бросок в воздух на ту же высоту, и поэтому может быть более высокое значение смены мест, но при этом более низкий бросок.

Каждый паттерн повторяется после определенного количества бросков, называемых период выкройки. Точка - это количество цифр в кратчайшем неповторяющемся представлении шаблона. Например, образец, изображенный справа, - 53145305520, который состоит из 11 цифр и, следовательно, имеет период 11. Если период является нечетным числом, как этот, то каждый раз, когда последовательность повторяется, последовательность начинается с другой стороны. , а узор симметричный потому что каждая рука делает одно и то же (хотя и в разное время). Если период - четное число, то при каждом повторении шаблона каждая рука делает то же самое, что и в прошлый раз, и шаблон асимметричный.

Количество шаров, используемых в шаблоне, является средним числом бросков в шаблоне.^[2] Например, 441 - это шаблон из трех объектов, потому что (4 + 4 + 1) / 3 равно 3, а 86 это шаблон из семи объектов. Поэтому все шаблоны должны иметь последовательность смены сайтов, которая в среднем целое число. Не все такие последовательности описывают закономерности; Например 543 со средним целым числом 4, но его три броска приземляются одновременно, сталкиваясь.

Некоторые придерживаются соглашения о том, что sitewap сначала записывается с наибольшим номером. Один недостаток этого очевиден в шаблоне 51414, комбинация из трех мячей, которую нельзя вставить в середину цепочки из трех бросков, в отличие от ее вращения 45141 которые могут.

Синхронный

Схема лестницы для коробки: (4,2x) (2x, 4)

Обозначение Siteswap может быть расширено для обозначения шаблонов, содержащих синхронные броски обеими руками. Номера для двух бросков объединяются в скобки и разделенные запятой. Поскольку синхронные броски выполняются только на четные доли, разрешены только четные числа.^[9] Броски, выполняемые в другую руку, отмечены значком Икс после номера. Таким образом, синхронный трехопорный душ обозначается (4x, 2x)Это означает, что одна рука постоянно выполняет низкий бросок или «молнию» в противоположную руку, в то время как другая постоянно выполняет более высокий бросок в первую. Последовательности пар в квадратных скобках записываются без ограничивающих маркеров. Узоры, которые повторяются в зеркальном отображении на противоположной стороне, могут быть сокращены с помощью *. Например, вместо (4,2x) (2x, 4) (3 мяча коробка шаблон), может быть сокращено до (4,2x) *.

Мультиплексирование

Каскад с 3 мячами и триплексом: [333] 33

Еще одно расширение позволяет sitewap отмечать шаблоны, включающие несколько бросков одной или обеих рук одновременно в мультиплекс шаблон. Цифры для нескольких бросков одной рукой записываются вместе в квадратных скобках. Например, [33]33 - это обычный каскад из трех мячей, когда пара шаров всегда бросается вместе.

Проходящий

Четыре счета, или "Все остальные": <333P|333P>

Одновременное жонглирование: <xxx|yyy> Обозначение означает, что один фокусник делает «ххх», а другой - «ууу». 'p' используется для обозначения проходящего броска. Например, <3p 3|3p 3> представляет собой схему паса из 6 опор на 2 счета, где все броски левой рукой считаются передачами, а броски правой рукой - самими собой. Это также можно использовать с синхронными шаблонами; "душ" на двоих тогда <(4xp,2x)|(4xp,2x)>

Если в шаблоне есть дроби, например <4.5 3 3 | 3 4 3.5> жонглер после штанги должен быть на полсчета позже, и все дроби проходят. Если оба манипулируют одним и тем же шаблоном (хотя и сдвинутым во времени), он называется обменом социальными сайтами, и нужно записать только половину шаблона: <4p 3| 3 4p> становится 4п 3 и <4.5 3 3| 3 4.5 3> становится 4.5 3 3.

Многоручный

Система обозначений для нескольких рук была разработана Эдом Карстенсом в 1992 году для использования в его программе для жонглирования JugglePro.^[6] Обозначение Siteswap в его простейшей форме («Vanilla siteswap») предполагает, что одновременно выполняется только один мяч. Отсюда следует, что любой допустимый обмен сайтов для двух рук также будет действителен для любого количества рук при условии, что руки перекидываются друг за другом. Часто используемые операции с несколькими руками: Одноручный (диаболо) обмен сайтами, и Обмен сайтами в 4 руки (проходной).

Одноручный (диаболо)

Обмен сайтами выполняется одной рукой или диаболо игрок бросает диаболо на разную высоту.

4 руки

Действительный обмен сайтами может выполняться 4-хручным жонглером или 2-мя жонглерами, координирующими 4 руки, при условии, что руки бросают поочередно.

На практике это легче всего получить, если жонглеры бросают по очереди, одна из последовательностей (правая рука жонглера A, правая рука жонглера B, левая рука A, левая рука B).

Диаграммы состояний

Диаграмма состояний для 3 мячей с максимальным броском '5'

Сразу после броска мяча (или клюшки, или другого предмета для жонглирования) все мячи находятся в воздухе и находятся под действием силы тяжести. Если предположить, что шары пойманы на постоянном уровне, то время, когда шары приземляются, уже определено. Мы можем отметить каждый момент времени, когда мяч собирается приземлиться, с помощью Икс, и каждый момент времени, когда еще не запланировано приземление мяча с -. Это описывает текущий государственный и определяет, с каким числом мяч может быть брошен следующим. Например, мы можем посмотреть на состояние сразу после первого броска на диаграмме, это xx - x. Мы можем использовать состояние, чтобы определить, что может быть брошено дальше. Сначала возьмем Икс с левой стороны (это мяч, который приземляется следующим) и сдвиньте все остальное влево, заполнив - справа. Это оставляет нас с x - x-. Поскольку мы поймали мяч (x, который мы удалили слева), мы не можем «бросить» 0 следующим образом. Мы также не можем бросить 1 или 4, потому что там уже есть запланированные шары. Итак, если предположить, что мы можем точно бросить мяч на высоту 5, тогда мы можем бросить только 2, 3 или 5. На этой диаграмме жонглер бросил 3, поэтому на третьей позиции стоит x. , заменив -, и у нас есть x-xx- в качестве нового состояния.

Показанная диаграмма иллюстрирует все возможные состояния для кого-то, жонглирующего тремя предметами и максимальной высотой 5. Из каждого состояния можно следовать стрелкам, и соответствующие числа производят замену сайтов. Любой путь, образующий цикл, генерирует действительный sitewap, и все sitewap могут быть сгенерированы таким образом. Диаграмма быстро становится больше, когда вводится больше шаров или большее количество бросков, поскольку появляется больше возможных состояний и больше возможных бросков.

Другой метод представления состояний смены сайтов - это представление шара с 1 вместо x и точка, в которой нет запланированного приземления шара с 0 вместо -. Затем состояние может быть представлено двоичным числом, например двоичным 10011. Этот формат позволяет представлять мультиплексные состояния, то есть число 2 представляет, что 2 шара приземляются на этот удар.

Бросать Состояние	0	1	2	3	4	5
111				111	1101	11001
0111	111
1011		111			0111	01101
1101			111		1011	10101
00111	0111
01011	1011
01101	1101
10011		1011	0111			00111
10101		1101		0111		01011
11001			1101	1011		10011

Диаграмма состояний sitewap также может быть представлена ​​как таблица переходов между состояниями, как показано справа. Чтобы сгенерировать Sitewap, выберите строку начального состояния. Индексируйте строку через соответствующий столбец выброса. Запись состояния на пересечении - это переход в состояние при выполнении этого броска. Из нового состояния можно снова индексировать в таблице. Этот процесс можно повторить, чтобы при достижении исходного состояния был создан действительный Sitewap.

Математические свойства

Срок действия

Диаграмма состояний Siteswap 531

Не все последовательности sitewap действительны.^[9] Все ванильные, синхронные и мультиплексные последовательности sitewap действительны, если их переходы между состояниями создают цикл в их графе диаграммы состояний.^[9] Последовательности, не образующие цикла, недействительны. Например, шаблон 531 может быть отображен на диаграмму состояний, как показано справа. Поскольку переходы в этой последовательности создают цикл на графике, этот шаблон действителен.

Существуют и другие методы определения достоверности последовательности, основанные на особенностях подмены сайтов.

А ваниль последовательность sitewap ${\displaystyle a_{0}a_{1}a_{2}...a_{n-1}}$куда ${\displaystyle n}$ период смены сайтов, действует, когда мощность из набора ${\displaystyle S}$ (написано в Обозначение конструктора множеств ) равно периоду ${\displaystyle n}$ куда

$${\displaystyle S=\{(a_{i}+i){\bmod {n}}|0\leq i\leq n-1\}}$$

Чтобы определить, действителен ли шаблон, сначала создайте новую последовательность, образованную добавлением ${\displaystyle 0}$ к первому номеру, ${\displaystyle 1}$ ко второму номеру, ${\displaystyle 2}$ до третьего числа и так далее. Во-вторых, вычислите модуль (остаток) каждого числа с периодом. Если ни одно из чисел не повторяется в этой последней последовательности, то шаблон действителен.^[10]

Например, шаблон 531 даст ${\displaystyle 5+0,3+1,1+2}$ или же ${\displaystyle 5,4,3}$. Поскольку образец 531 имеет период 3, результаты предыдущего примера будут давать ${\displaystyle 5{\bmod {3}},4{\bmod {3}},3{\bmod {3}}}$или же ${\displaystyle 2,1,0}$. В данном случае 531 действителен, поскольку числа ${\displaystyle 2,1,0}$ все уникальны. Другой пример, 513 - недопустимый шаблон, потому что первый шаг производит ${\displaystyle 5+0,1+1,3+2}$ или же ${\displaystyle 5,2,5}$, второй шаг производит ${\displaystyle 5{\bmod {3}},2{\bmod {3}},5{\bmod {3}}}$ или же ${\displaystyle 2,2,2}$, и последняя последовательность содержит как минимум дубликат одного числа, в данном случае 2.

А синхронный sitewap действителен, если

1. он содержит только четные числа и
2. его можно преобразовать в действительный ванильный Sitewap с помощью свойство слайда.

в противном случае это недействительно^{[нужна цитата ]}.

Поменять недвижимость

Новые допустимые ванильные последовательности могут быть сгенерированы путем замены соседних элементов из другой действительной ванильной последовательности сайтового обмена, добавления 1 к числу, которое заменяется местами вправо, и вычитания 1 из числа, заменяемого влево.^[10] Без потери общности свойство swap преобразует действительную последовательность ${\textstyle a_{0}a_{1}a_{2}...a_{i}a_{i+1}...a_{n-1}}$ с произвольным значением ${\displaystyle i}$, чтобы сгенерировать новую действительную последовательность ${\displaystyle a_{0}a_{1}a_{2}...(a_{i+1}+1)(a_{i}-1)...a_{n-1}}$.

Например, свойство подкачки, выполняемое для двух внутренних бросков последовательности 4413, переместит 4 вправо, вычитая из него 1, чтобы получить 3, и переместит 1 влево, добавив к нему 1, чтобы стать 2. Это дает новый действительный Схема обмена сайтами 4233.

Слайд свойство

Допустимая синхронная последовательность может быть преобразована в допустимую асинхронную последовательность и наоборот с помощью свойства slide. Учитывая синхронную последовательность ${\displaystyle (a_{0},a_{1})(a_{2},a_{3})...(a_{n-2},a_{n-1})}$ могут быть сформированы новые ванильные последовательности: ${\textstyle b_{0}b_{1}...b_{n-1}}$ куда

$${\displaystyle b_{i}={\begin{cases}a_{i}+1,&{\text{if }}i{\text{ is even and }}a_{i}{\text{ crosses hands}}\\a_{i}-1,&{\text{if }}i{\text{ is odd and }}a_{i}{\text{ crosses hands}}\\a_{i},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

и ${\displaystyle c_{0}c_{1}...c_{n-1}}$ куда

$${\displaystyle c_{i}={\begin{cases}a_{i+1}+1,&{\text{if }}i{\text{ is even and }}a_{i}{\text{ crosses hands}}\\a_{i-1}-1,&{\text{if }}i{\text{ is odd and }}a_{i}{\text{ crosses hands}}\\a_{i+1},&{\text{if }}i{\text{ is even and }}a_{i}{\text{ does not cross}}\\a_{i-1},&{\text{if }}i{\text{ is odd and }}a_{i}{\text{ does not cross}}\end{cases}}}$$

Свойство slide получает свое имя, сдвигая время броска одной из рук на одну единицу времени, так что броски выравниваются асинхронно.^[9]

Например, sitewap (8x, 4x) (4,4) создаст два асинхронных (ванильных) sitewap с использованием свойства slide: 9344 и 5744.

Основные шаблоны

Обмен сайтами может рассматриваться как первичный или составной.^[9] Sitewap является простым, если путь, созданный на его диаграмме состояний, не пересекает какое-либо состояние более одного раза. Незначительные обмены сайтами называются составными.

Нестрогий, но более простой метод определения того, является ли sitewap простым, состоит в том, чтобы попытаться разделить его на любой допустимый более короткий шаблон, который использует такое же количество свойств.^[9] Например, 44404413 можно разделить на 4440, 441 и 3; следовательно, 44404413 является составным. Другой пример, 441, который использует три пропса, является простым, поскольку 1, 4, 41 и 44 не являются допустимыми тремя шаблонами пропсов (как 1/3 ≠ 3, 4/3 ≠ 3, (4 + 1) / 3 ≠ 3 и (4 + 4) / 3 3). Иногда этот процесс не работает; например, 153 (более известный по его вращению 531) выглядит так, как будто его можно разделить на 15 и 3, но проверка того, что цикл не имеет повторяющихся узлов при обходе графа, показывает, что он является простым по более строгому определению.

Эмпирически было показано, что самые длинные простые смены сайтов, ограниченные высотой ${\displaystyle h}$ содержат в основном броски ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle h}$.^[11] Самые длинные простые шаблоны высотой 22 (максимум 3 шара), 9 шаров (максимум 13 высотой) и высотой и подсчетом шаров между ними были подсчитаны Джеком Бойсом в феврале 1999 года с помощью программы под названием jdeep.^[12] Можно найти полный список самых длинных основных смен сайтов, сгенерированных jdeep (с бросками «0», представленными знаком «-», и бросками максимальной высоты, представленными знаком «+»). Вот.

Математические связи

Связи с абстрактной алгеброй

Ванильные шаблоны смены сайтов можно рассматривать как определенные элементы аффинная группа Вейля типа ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$.^[13] Одна презентация этой группы - это набор биективный функции ж на целые числа такие, что при фиксированном п: ж(я + п) = ж(я) + п для всех целых чисел я. Если элемент ж удовлетворяет дополнительному условию, что ж(я) ≥ я для всех я, тогда ж соответствует (бесконечно повторяющемуся) шаблону обмена сайтами, яй номер ж(я) − я: то есть мяч, брошенный вовремя я приземлится вовремя ж(я).

Подключения к топологии

Подмножество этих паттернов смены сайтов естественным образом маркирует страты в позитроидной стратификации Грассманиан.^[14]

Список символов

• Число: относительная высота броска. 1, 2, 3 ...
• Скобки []: Мультиплекс. [333] 33.
• Шевроны и вертикальная черта <|>: одновременные и проходящие модели.
  • П: Пройдите. <333P | 333P>
  • Дробь: Пройдите 1 / y ударов позже. <4,5 3 3 | 3 4 3,5>
• Круглые скобки (): синхронный образец.
  • *: Синхронный паттерн с переходом на другую сторону. (4,2x) (2x, 4) = (4,2x) *
  • x: бросить в другую руку во время синхронного паттерна.

Программ

Есть много бесплатных компьютерные программы доступны, которые моделировать жонглирование схемами.

• Аниматор лаборатории жонглирования - An Открытый исходный код аниматор, который был написан на Ява и интерпретирует почти весь синтаксис Sitewap.
• Jongl - 3D-аниматор, способный отображать разноручные (проходные) шаблоны.
• JoePass! работает в Windows, Macintosh и Wine (для Linux)
• Замена оружия - Веб-аниматор с открытым исходным кодом, 3D-аниматор и библиотека шаблонов.

Также есть несколько игр, в которые можно поиграть с sitewap:

• Игра Siteswap разработан Себи Хаусхофером (для Java)

Смотрите также

• Список свопов

Примечания

1. • «Изобретено независимо примерно в 1985 году Полом Климеком из Калифорнийского университета в Санта-Круз, Брюсом Тиманом из Калифорнийского технологического института и Майклом Дей из Кембриджского университета».^[4]
   • «Изобретен примерно в 1985 году тремя людьми независимо: Брюсом« Боппо »Тиманом из Калифорнийского технологического института, Полом Климеком в Санта-Крус и Майком Дей в Кембридже».^[3]
   • «... Брюс Тиманн (Боппо) и покойный Бенгт Магнуссон ... Среди других участников разработки теории обмена сайтами - Джек Бойс, Аллен Кнутсон, Эд Карстенс и жонглеры в компьютерной сети».^[6]
   • «Джек Бойс (также из Калифорнийского технологического института) придумал модель состояния жонглирования, чтобы объяснить феномен трюков с возбужденным состоянием».^[3]
   • «Чтобы отдать должное, представленные здесь обозначения были независимо (и ранее) изобретены Полом Климеком, с которым мы провели полезные обсуждения».^[2]

Рекомендации

1. Донахью, Билл (3 декабря 2004 г.). "Математика ... жонглирования". Откройте для себя журнал. Получено 30 июня, 2017.
2. Тиман, Брюс и Магнуссон, Бенгт (1991). "Нотация для трюков жонглирования, МНОЖЕСТВО трюков жонглирования ", Juggle.org. Проверено 8 июля 2014 г. исходный URL
3. Кнутсон, Аллен. "Часто задаваемые вопросы об обмене сайтами". Juggling.org. Получено 30 июня, 2017.
4. Бик, Питер Дж .; Левбель, Артур (ноябрь 1995 г.). «Математика жонглирования» (PDF). Наука жонглирования. Scientific American. 273. С. 92–97. Bibcode:1995SciAm.273e..92B. Дои:10.1038 / scientificamerican1195-92. ISSN  0036-8733. Архивировано из оригинал (PDF) 4 марта 2016 г. Также доступно на Juggling.org.
5. Хейс, Дэвид Ф .; Шубина, Татьяна (2004). Математические приключения для студентов и любителей. Математическая ассоциация Америки. п. 99. ISBN  0883855488. OCLC  56020214.
6. Левбель, Артур (1996). "Академический жонглер: изобретение нотаций для жонглирования В архиве 14 июля 2014 г. Wayback Machine ", Juggle.org.
7. Сетхарес, Уильям Артур (2007). Ритм и трансформации. Springer. п.40. ISBN  9781846286407. OCLC  261225487.
8. Бойс, Джек (11 октября 1997 г.). "Узоры из мастерской Лоди 1997". sonic.net. Архивировано из оригинал 7 декабря 2004 г.. Получено 8 июля, 2020.
9. Бивер, Бен (2001). "Siteswap Руководство Бена по шаблонам жонглирования ", стр.6, JugglingEdge.com. BenBeever.com на Wayback Machine (архивировано 10 августа 2015 г.).
10. Полстер, Буркард. «Математика жонглирования» (PDF). qedcat.com. Получено 22 апреля, 2020.
11. Бойс, Джек. "Самые длинные модели первичного обмена сайтами" (PDF). jonglage.net. Получено 27 апреля, 2020.
12. Бойс, Джек (17 февраля 1999 г.). "jdeep.c". sonic.net. Архивировано из оригинал 7 декабря 2004 г.. Получено 27 апреля, 2020.
13. Эренборг, Ричард; Ридди, Маргарет (1 октября 1996 г.). «Жонглирование и приложения к q-аналогам». Дискретная математика. 157 (1): 107–125. Дои:10.1016 / S0012-365X (96) 83010-X. ISSN  0012-365X.
14. Кнутсон, Аллен; Лам, Томас; Шпейер, Дэвид (15 ноября 2011 г.). «Разновидности позитроидов: жонглирование и геометрия». arXiv:1111.3660 [math.AG ].

дальнейшее чтение

• Polster, Burkard (2003). Математика жонглирования. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-95513-5. Получено 23 августа, 2012.

внешняя ссылка

• "Симметричные переходные паттерны ", PassingDB.com.
• DSSS: симулятор обмена сайтами Diabolo, ArtofDiabolo.com.
• Лаборатория жонглирования (Загружаемый аниматор)
• Жонглирование Gunswap (Онлайн-аниматор)
• Калькулятор обмена сайтами TWJC (Полезный валидатор Vanilla, Multiplex и Synchronous sitewap)
• "Симметричные схемы паса в шахматном порядке для 2 жонглеров "Шон Гандини (обмен сайтами в социальных сетях)
• Смит, Х. Дж. "Жонглер с числами" на Wayback Machine (архивировано 6 августа 2003 г.)
• Райт, Колин. «Жонглирование цифрами» (видео). YouTube. Брэди Харан. Получено 4 октября, 2017.