Решение квадратных уравнений с цепными дробями - Solving quadratic equations with continued fractions

В математика, а квадратное уровненеие является полиномиальным уравнением второго степень. Общая форма

${displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$

куда а ≠ 0.

Квадратное уравнение на число ${displaystyle x}$ можно решить с помощью хорошо известных квадратичная формула, который можно получить с помощью завершение квадрата. Эта формула всегда дает корни квадратного уравнения, но решения выражаются в форме, которая часто включает квадратичный иррациональный число, которое является алгебраическая дробь что можно оценить как десятичная дробь только путем применения дополнительных алгоритм извлечения корня.

Если корни настоящий существует альтернативный метод, позволяющий получить рациональное приближение к одному из корней путем непосредственного управления уравнением. Метод работает во многих случаях и давно стимулировал дальнейшее развитие аналитическая теория из непрерывные дроби.

Простой пример

Вот простой пример, иллюстрирующий решение квадратного уравнения с использованием непрерывные дроби. Начнем с уравнения

${displaystyle x^{2}=2}$

и манипулировать им напрямую. Вычитая единицу из обеих частей, получаем

${displaystyle x^{2}-1=1.}$

Это легко учесть

${displaystyle (x+1)(x-1)=1}$

откуда получаем

${displaystyle (x-1)={frac {1}{1+x}}}$

и наконец

${displaystyle x=1+{frac {1}{1+x}}.}$

Теперь наступает решающий шаг. Подставим это выражение вместо Икс обратно в себя, рекурсивно, чтобы получить

${displaystyle x=1+{cfrac {1}{1+left(1+{cfrac {1}{1+x}}ight)}}=1+{cfrac {1}{2+{cfrac {1}{1+x}}}}.}$

Но теперь мы можем делать одну и ту же рекурсивную замену снова, и снова, и снова, добавляя неизвестную величину Икс настолько далеко вниз и вправо, насколько нам угодно, и получая в пределе бесконечную цепную дробь

${displaystyle x=1+{cfrac {1}{2+{cfrac {1}{2+{cfrac {1}{2+{cfrac {1}{2+{cfrac {1}{2+ddots }}}}}}}}}}={sqrt {2}}.}$

Применяя основные рекуррентные формулы мы можем легко вычислить последовательные сходящиеся этой непрерывной дроби равняется 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, ..., где каждая последующая сходящаяся дробь образуется путем взятия числителя плюс знаменатель предыдущий член в качестве знаменателя в следующем члене, затем прибавление предыдущего знаменателя, чтобы сформировать новый числитель. Эта последовательность знаменателей - особый Последовательность Лукаса известный как Числа Пелла.

Алгебраическое объяснение

Мы можем глубже понять этот простой пример, рассмотрев последовательные степени

${displaystyle omega ={sqrt {2}}-1.}$

Эта последовательность последовательных полномочий задается

${displaystyle {egin{aligned}omega ^{2}&=3-2{sqrt {2}},&omega ^{3}&=5{sqrt {2}}-7,&omega ^{4}&=17-12{sqrt {2}},omega ^{5}&=29{sqrt {2}}-41,&omega ^{6}&=99-70{sqrt {2}},&omega ^{7}&=169{sqrt {2}}-239,,end{aligned}}}$

и так далее. Обратите внимание, как дроби производятся как последовательные приближенные к √2 появиться в этом геометрическая прогрессия.

Поскольку 0 < ω <1, последовательность {ω^п} явно стремится к нулю в силу хорошо известных свойств положительных действительных чисел. Этот факт можно использовать, чтобы строго доказать, что подходящие дроби, обсуждаемые в простом примере выше, действительно сходятся к √2, в пределе.

Мы также можем найти эти числители и знаменатели в последовательных степенях

${displaystyle omega ^{-1}={sqrt {2}}+1.}$

Последовательность последовательных степеней {ω^−п} не приближается к нулю; вместо этого он растет без ограничений. Но его все же можно использовать для получения конвергентов в нашем простом примере.

Также обратите внимание, что набор полученный путем формирования все комбинации а + б√2, куда а и б являются целыми числами, это пример объекта, известного в абстрактная алгебра как звенеть, а точнее как область целостности. Число ω является единица измерения в этой целостной области. Смотрите также поле алгебраических чисел.

Общее квадратное уравнение

Непрерывные дроби удобнее всего применять для решения общего квадратного уравнения, выраженного в виде монический многочлен

${displaystyle x^{2}+bx+c=0}$

которое всегда можно получить, разделив исходное уравнение на его старшие коэффициент. Исходя из этого монического уравнения, мы видим, что

${displaystyle {egin{aligned}x^{2}+bx&=-cx+b&={frac {-c}{x}}x&=-b-{frac {c}{x}},end{aligned}}}$

Но теперь мы можем рекурсивно применить последнее уравнение к самому себе, чтобы получить

${displaystyle x=-b-{cfrac {c}{-b-{cfrac {c}{-b-{cfrac {c}{-b-{cfrac {c}{-b-ddots ,}}}}}}}}}$

Если эта бесконечная цепная дробь сходится вообще, он должен сходиться к одному из корни монического многочлена Икс² + bx + c = 0. К сожалению, эта конкретная цепная дробь не во всех случаях сходится к конечному числу. В этом легко убедиться, рассмотрев квадратичная формула и монический многочлен с действительными коэффициентами. Если дискриминант такого многочлена отрицательна, то оба корня квадратного уравнения имеют воображаемый части. В частности, если б и c настоящие числа и б² − 4c <0, все подходящие дроби этого «решения» непрерывной дроби будут действительными числами, и они не могут сходиться к корню вида ты + iv (куда v ≠ 0), которая не лежит на действительная числовая линия.

Общая теорема

Применяя результат, полученный Эйлер в 1748 году можно показать, что решение непрерывной дроби общего монического квадратного уравнения с действительными коэффициентами

${displaystyle x^{2}+bx+c=0}$

данный

${displaystyle x=-b-{cfrac {c}{-b-{cfrac {c}{-b-{cfrac {c}{-b-{cfrac {c}{-b-ddots ,}}}}}}}}}$

сходится или нет в зависимости от обоих коэффициентов б и ценность дискриминант, б² − 4c.

Если б = 0 общее решение с непрерывной дробью полностью расходится; подходящие дроби чередуются между 0 и ${displaystyle infty }$. Если б ≠ 0 различаем три случая.

1. Если дискриминант отрицательный, дробь расходится из-за колебания, что означает, что его сходящиеся частицы блуждают регулярным или даже хаотическим образом, никогда не приближаясь к конечному пределу.
2. Если дискриминант равен нулю, дробь сходится к единственному корню кратности два.
3. Если дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня, и непрерывная дробь сходится к большему (в абсолютная величина ) из этих. Скорость сходимости зависит от абсолютного значения отношения между двумя корнями: чем дальше это отношение от единицы, тем быстрее сходится непрерывная дробь.

Когда моническое квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет вид Икс² = c, то Общее Описанное выше решение бесполезно, потому что деление на ноль не определено. Так долго как c положительна, однако всегда можно преобразовать уравнение, вычитая идеальный квадрат с обеих сторон и следуя линиям, показанным √2 над. В символах, если

${displaystyle x^{2}=cqquad (c>0)}$

просто выберите какое-нибудь положительное реальное число п такой, что

${displaystyle p^{2}<c.}$

Тогда прямыми манипуляциями получаем

${displaystyle {egin{aligned}x^{2}-p^{2}&=c-p^{2}(x+p)(x-p)&=c-p^{2}x-p&={frac {c-p^{2}}{p+x}}x&=p+{frac {c-p^{2}}{p+x}}&=p+{cfrac {c-p^{2}}{p+left(p+{cfrac {c-p^{2}}{p+x}}ight)}}&=p+{cfrac {c-p^{2}}{2p+{cfrac {c-p^{2}}{2p+{cfrac {c-p^{2}}{2p+ddots ,}}}}}},end{aligned}}}$

и эта преобразованная непрерывная дробь должна сходиться, потому что все частные числители и частные знаменатели являются положительными действительными числами.

Комплексные коэффициенты

Посредством основная теорема алгебры, если унитарное полиномиальное уравнение Икс² + bx + c = 0 имеет комплексные коэффициенты, он должен иметь два (не обязательно различных) комплексных корня. К сожалению, дискриминант б² − 4c не так полезен в этой ситуации, потому что это может быть комплексное число. Тем не менее, модифицированная версия общей теоремы может быть доказана.

Решение в виде цепной дроби общего монического квадратного уравнения с комплексными коэффициентами

${displaystyle x^{2}+bx+c=0qquad (beq 0)}$

данный

${displaystyle x=-b-{cfrac {c}{-b-{cfrac {c}{-b-{cfrac {c}{-b-{cfrac {c}{-b-ddots ,}}}}}}}}}$

сходится или нет, в зависимости от значения дискриминанта, б² − 4c, и от относительной величины двух его корней.

Обозначая два корня р₁ и р₂ мы различаем три случая.

1. Если дискриминант равен нулю, дробь сходится к единственному корню кратности два.
2. Если дискриминант не равен нулю и |р₁| ≠ |р₂|, непрерывная дробь сходится к корень из максимального модуля (то есть в корень с большей абсолютная величина ).
3. Если дискриминант не равен нулю и |р₁| = |р₂|, цепная дробь расходится колебанием.

В случае 2 скорость сходимости зависит от абсолютного значения отношения между двумя корнями: чем дальше это отношение от единицы, тем быстрее сходится непрерывная дробь.

Это общее решение монических квадратных уравнений с комплексными коэффициентами обычно не очень полезно для получения рациональных приближений к корням, потому что критерии являются круговыми (то есть, относительные величины двух корней должны быть известны, прежде чем мы сможем заключить, что дробь сходится , в большинстве случаев). Но это решение действительно находит полезные применения при дальнейшем анализе проблема сходимости для непрерывных дробей со сложными элементами.

Смотрите также

• Последовательность Лукаса
• Методы вычисления квадратных корней
• Уравнение Пелла

Рекомендации

• Х. С. Уолл, Аналитическая теория непрерывных дробей, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948 г. ISBN  0-8284-0207-8