Сольвмногообразие - Solvmanifold - Wikipedia

В математика, а солвмногообразие это однородное пространство из связаны разрешимая группа Ли. Его также можно охарактеризовать как фактор связной разрешимой группы Ли по закрыто подгруппа. (Некоторые авторы также требуют, чтобы группа Ли была односвязной или чтобы фактор был компактным.) Специальный класс солвмногообразий, нильмногообразия, был представлен Анатолий Мальцев, доказавший первые структурные теоремы. Свойства общих солвмногообразий аналогичны, но несколько сложнее.

Примеры

• Разрешимая группа Ли тривиально является солвмногообразием.
• Каждый нильпотентная группа разрешима, поэтому каждое нильмногообразие является солвмногообразием. Этот класс примеров включает п-размерный тори и частное трехмерного действительного Группа Гейзенберга своей интегральной подгруппой Гейзенберга.
• В Лента Мебиуса и Бутылка Клейна солвмногообразия, не являющиеся нильмногообразиями.
• В отображение тор из Диффеоморфизм Аносова из п-тор - солвмногообразие. За ${\displaystyle n=2}$эти многообразия принадлежат Sol, один из восьми Геометрии Терстона.

Характеристики

• Сольвмногообразие диффеоморфно тотальному пространству векторный набор над некоторым компактным солвмногообразием. Это утверждение было высказано Джордж Мостоу и доказано Луи Ауслендер и Ричард Толимьери.
• В фундаментальная группа произвольного солвмногообразия есть полициклический.
• Компактное солвмногообразие определяется с точностью до диффеоморфизма своей фундаментальной группой.
• Фундаментальные группы компактных солвмногообразий можно охарактеризовать как групповые расширения из свободные абелевы группы конечного ранга конечно порожденными нильпотентными группами без кручения.
• Каждое солвмногообразие асферический. Среди всех компактных однородных пространств солвмногообразия могут характеризоваться свойствами асферичности и наличия разрешимой фундаментальной группы.

Полнота

Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ быть настоящим Алгебра Ли. Это называется полная алгебра Ли если каждая карта

${\displaystyle \operatorname {ad} (X)\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},X\in {\mathfrak {g}}}$

в его присоединенное представительство гиперболичен, т. е. имеет только действительные собственные значения. Позволять грамм - разрешимая группа Ли, алгебра Ли которой ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ завершено. Тогда для любой замкнутой подгруппы ${\displaystyle \Gamma }$ из граммсолвмногообразие ${\displaystyle G/\Gamma }$ это полное солвмногообразие.

Рекомендации

• Ауслендер, Луи (1973), "Изложение строения солвмногообразий. Часть I: Алгебраическая теория", Бюллетень Американского математического общества, 79 (2): 227–261, Дои:10.1090 / S0002-9904-1973-13134-9, МИСТЕР  0486307
  • — (1973), "Часть II: $ G $ -индуцированные потоки", Бык. Амер. Математика. Soc., 79 (2): 262–285, Дои:10.1090 / S0002-9904-1973-13139-8, МИСТЕР  0486308
• Купер, Дэрил; Шарлеманн, Мартин (1999), "Структура расщеплений Хегора солвмногообразия" (PDF), Труды 6-й Гёковской конференции по геометрии-топологии, Турецкий математический журнал, 23 (1): 1–18, ISSN  1300-0098, МИСТЕР  1701636
• Горбацевич, В. (2001) [1994], «Сольвмногообразие», Энциклопедия математики, EMS Press