Мера спектрального риска - Spectral risk measure

А Мера спектрального риска это мера риска дан как средневзвешенное результатов, в которых плохие результаты обычно включаются с большим весом. Спектральная мера риска является функцией портфолио возвращает и выводит сумму счетчик (обычно валюта ) в резерв. Спектральная мера риска всегда согласованная мера риска, но не всегда верно обратное. Преимущество спектральных мер заключается в том, как они могут быть связаны с предотвращение риска, и особенно вспомогательная функция, через веса, присвоенные возможной доходности портфеля.^[1]

Определение

Рассмотрим портфолио ${\displaystyle X}$ (обозначает выплату портфеля). Тогда спектральная мера риска ${\displaystyle M_{\phi }:{\mathcal {L}}\to \mathbb {R} }$ где ${\displaystyle \phi }$ неотрицательно, не возрастает, непрерывный вправо, интегрируемая функция, определенная на ${\displaystyle [0,1]}$ такой, что ${\displaystyle \int _{0}^{1}\phi (p)dp=1}$ определяется

${\displaystyle M_{\phi }(X)=-\int _{0}^{1}\phi (p)F_{X}^{-1}(p)dp}$

где ${\displaystyle F_{X}}$ это кумулятивная функция распределения за Икс.^[2][3]

Если есть ${\displaystyle S}$ равновероятные исходы с соответствующими выплатами, определяемыми статистика заказов ${\displaystyle X_{1:S},...X_{S:S}}$. Позволять ${\displaystyle \phi \in \mathbb {R} ^{S}}$. Мера${\displaystyle M_{\phi }:\mathbb {R} ^{S}\rightarrow \mathbb {R} }$ определяется ${\displaystyle M_{\phi }(X)=-\delta \sum _{s=1}^{S}\phi _{s}X_{s:S}}$ это спектральная мера риска если ${\displaystyle \phi \in \mathbb {R} ^{S}}$ удовлетворяет условиям

1. Неотрицательность: ${\displaystyle \phi _{s}\geq 0}$ для всех ${\displaystyle s=1,\dots ,S}$,
2. Нормализация: ${\displaystyle \sum _{s=1}^{S}\phi _{s}=1}$,
3. Монотонность: ${\displaystyle \phi _{s}}$ не возрастает, то есть ${\displaystyle \phi _{s_{1}}\geq \phi _{s_{2}}}$ если ${\displaystyle {s_{1}}<{s_{2}}}$ и ${\displaystyle {s_{1}},{s_{2}}\in \{1,\dots ,S\}}$.^[4]

Характеристики

Меры спектрального риска также последовательный. Каждая спектральная мера риска ${\displaystyle \rho :{\mathcal {L}}\to \mathbb {R} }$ удовлетворяет:

1. Положительная однородность: для каждого портфеля Икс и положительное значение ${\displaystyle \lambda >0}$, ${\displaystyle \rho (\lambda X)=\lambda \rho (X)}$;
2. Перевод-инвариантность: для каждого портфолио Икс и ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \rho (X+a)=\rho (X)-a}$;
3. Монотонность: для всех портфелей Икс и Y такой, что ${\displaystyle X\geq Y}$, ${\displaystyle \rho (X)\leq \rho (Y)}$;
4. Субаддитивность: для всех портфелей Икс и Y, ${\displaystyle \rho (X+Y)\leq \rho (X)+\rho (Y)}$;
5. Закон-инвариантность: для всех портфелей Икс и Y с кумулятивные функции распределения ${\displaystyle F_{X}}$ и ${\displaystyle F_{Y}}$ соответственно, если ${\displaystyle F_{X}=F_{Y}}$ тогда ${\displaystyle \rho (X)=\rho (Y)}$;
6. Комонотоническая аддитивность: для каждого комонотонический случайные переменные Икс и Y, ${\displaystyle \rho (X+Y)=\rho (X)+\rho (Y)}$. Обратите внимание, что Икс и Y являются комонотоническими, если для каждого ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \Omega :\;(X(\omega _{2})-X(\omega _{1}))(Y(\omega _{2})-Y(\omega _{1}))\geq 0}$.^[2]

В некоторых текстах^{[который? ]} вход Икс интерпретируется как убытки, а не как выплата по портфелю. В этом случае свойство трансляционной инвариантности будет задано формулой ${\displaystyle \rho (X+a)=\rho (X)+a}$ вместо вышеуказанного.

Примеры

• В ожидаемый дефицит спектральная мера риска.
• В ожидаемое значение является тривиально спектральная мера риска.

Смотрите также

• Мера риска искажения

Рекомендации

1. Коттер, Джон; Дауд, Кевин (декабрь 2006 г.). «Экстремальные спектральные меры риска: приложение к маржинальным требованиям фьючерсной клиринговой палаты». Журнал банковского дела и финансов. 30 (12): 3469–3485. arXiv:1103.5653. Дои:10.1016 / j.jbankfin.2006.01.008.
2. Адам, Александр; Хукари, Мохамед; Лоран, Жан-Поль (2007). «Спектральные меры риска и выбор портфеля» (PDF). Получено 11 октября, 2011.
3. Дауд, Кевин; Коттер, Джон; Сорвар, Гулам (2008). «Спектральные меры риска: свойства и ограничения» (PDF). Серия дискуссионных документов CRIS (2). Получено 13 октября, 2011.
4. Ачерби, Карло (2002), «Спектральные меры риска: последовательное представление субъективного неприятия риска», Журнал "Банковское дело и финансы", Эльзевир, 26 (7), стр. 1505–1518, Дои:10.1016 / S0378-4266 (02) 00281-9