В математика, немного краевые задачи можно решить с помощью методов стохастический анализ. Возможно, самый знаменитый пример - Шизуо Какутани решение 1944 г. Задача Дирихле для Оператор Лапласа с помощью Броуновское движение. Однако оказывается, что для большого класса полуэллиптический второго порядка уравнения в частных производных связанную краевую задачу Дирихле можно решить с помощью Itō процесс который решает связанный стохастическое дифференциальное уравнение.
Введение: решение Какутани классической проблемы Дирихле
Позволять
быть доменом ( открыто и подключенный набор ) в
. Позволять
быть Оператор Лапласа, позволять
быть ограниченная функция на граница
, и рассмотрим проблему:

Можно показать, что если решение
существует, тогда
это ожидаемое значение из
в (случайной) первой точке выхода из
для канонического Броуновское движение начинается с
. См. Теорему 3 в Kakutani 1944, стр. 710.
Проблема Дирихле – Пуассона.
Позволять
быть доменом в
и разреши
- полуэллиптический дифференциальный оператор на
формы:

где коэффициенты
и
находятся непрерывные функции и все собственные значения из матрица
неотрицательны. Позволять
и
. Рассмотрим Проблема Пуассона:

Идея стохастического метода решения этой задачи заключается в следующем. Во-первых, можно найти It распространение
чей бесконечно малый генератор
совпадает с
на компактно поддерживаемый
функции
. Например,
можно принять за решение стохастического дифференциального уравнения:

куда
является п-мерное броуновское движение,
имеет компоненты
как указано выше, а матричное поле
выбирается так, чтобы:

Для точки
, позволять
обозначают закон
с учетом исходных данных
, и разреши
обозначают ожидание относительно
. Позволять
обозначают время первого выхода
из
.
В этих обозначениях возможное решение для (P1):
![{ Displaystyle и (х) = mathbb {E} ^ {x} left [g { big (} X _ { tau _ {D}} { big)} cdot chi _ { { tau _ {D} <+ infty }} right] + mathbb {E} ^ {x} left [ int _ {0} ^ { tau _ {D}} f (X_ {t}) , mathrm {d} t right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5dae17bf95e890f8ddb0d01c1504a0639a84b87)
при условии, что
это ограниченная функция и что:
![{ displaystyle mathbb {E} ^ {x} left [ int _ {0} ^ { tau _ {D}} { big |} f (X_ {t}) { big |} , mathrm {d} t right] <+ infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f1e4ffcaaca55986d7376b9b3c6ce9dc310355)
Оказывается, требуется еще одно условие:

Для всех
, процесс
начинается с
почти наверняка листья
в конечное время. При этом предположении приведенное выше возможное решение сводится к:
![{ displaystyle u (x) = mathbb {E} ^ {x} left [g { big (} X _ { tau _ {D}} { big)} right] + mathbb {E} ^ {x} left [ int _ {0} ^ { tau _ {D}} f (X_ {t}) , mathrm {d} t right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6342ebfa7899b427eebb0290569947b9b7318f5e)
и решает (P1) в том смысле, что если
обозначает характеристический оператор для
(что согласуется с
на
функции), затем:

Более того, если
удовлетворяет (P2) и существует постоянная
такое, что для всех
:
![{ displaystyle | v (x) | leq C left (1+ mathbb {E} ^ {x} left [ int _ {0} ^ { tau _ {D}} { big |} g (X_ {s}) { big |} , mathrm {d} s right] right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/158947683823f257050dd86af1c80218de75ce08)
тогда
.
Рекомендации