Алгебры суперсимметрии в размерностях 1 + 1 - Supersymmetry algebras in 1 + 1 dimensions

Двумерный Пространство Минковского, то есть плоское пространство с одним временным и одним пространственным измерением, имеет двумерное Группа Пуанкаре IO (1,1) как его группа симметрии. Соответствующие Алгебра Ли называется Алгебра Пуанкаре. Эту алгебру можно продолжить до алгебра суперсимметрии, что является ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$-квалифицированный Супералгебра Ли. Наиболее распространенные способы сделать это обсуждаются ниже.

${displaystyle {mathcal {N}}=(2,2)}$ алгебра

Пусть алгебра Ли IO (1,1) порождается следующими образующими:

• ${displaystyle H=P_{0}}$ генератор перевода времени,
• ${displaystyle P=P_{1}}$ генератор пространственного переноса,
• ${displaystyle M=M_{01}}$ является генератором Лоренц усиливает.

Коммутаторы между этими генераторами см. Алгебра Пуанкаре.

В ${displaystyle {mathcal {N}}=(2,2)}$ алгебра суперсимметрии над этим пространством является суперсимметричное расширение этой алгебры Ли с четырьмя дополнительными образующими (наддув ) ${displaystyle Q_{+},,Q_{-},,{overline {Q}}_{+},,{overline {Q}}_{-}}$, которые являются нечетными элементами супералгебры Ли. При преобразованиях Лоренца образующие ${displaystyle Q_{+}}$ и ${displaystyle {overline {Q}}_{+}}$ трансформироваться как левша Спиноры Вейля, пока ${displaystyle Q_{-}}$ и ${displaystyle {overline {Q}}_{-}}$ трансформируются как правые спиноры Вейля. Алгебра задается алгеброй Пуанкаре плюс^[1]:283

${displaystyle {egin{aligned}&{egin{aligned}&Q_{+}^{2}=Q_{-}^{2}={overline {Q}}_{+}^{2}={overline {Q}}_{-}^{2}=0,&{Q_{pm },{overline {Q}}_{pm }}=Hpm P,end{aligned}}&{egin{aligned}&{{overline {Q}}_{+},{overline {Q}}_{-}}=Z,&&{Q_{+},Q_{-}}=Z^{*},&{Q_{-},{overline {Q}}_{+}}={ ilde {Z}},&&{Q_{+},{overline {Q}}_{-}}={ ilde {Z}}^{*},&{[iM,Q_{pm }]}=mp Q_{pm },&&{[iM,{overline {Q}}_{pm }]}=mp {overline {Q}}_{pm },end{aligned}}end{aligned}}}$

где все остальные коммутаторы обращаются в нуль, и ${displaystyle Z}$ и ${displaystyle { ilde {Z}}}$ сложные центральные сборы. Наддувы связаны через ${displaystyle Q_{pm }^{dagger }={overline {Q}}_{pm }}$. ${displaystyle H}$, ${displaystyle P}$, и ${displaystyle M}$ находятся Эрмитский.

Подалгебры ${displaystyle {mathcal {N}}=(2,2)}$ алгебра

В ${displaystyle {mathcal {N}}=(0,2)}$ и ${displaystyle {mathcal {N}}=(2,0)}$ подалгебры

В ${displaystyle {mathcal {N}}=(0,2)}$ подалгебра получается из ${displaystyle {mathcal {N}}=(2,2)}$ алгебры путем удаления образующих ${displaystyle Q_{-}}$ и ${displaystyle {overline {Q}}_{-}}$. Таким образом, его антикоммутационные соотношения задаются формулой^[1]:289

${displaystyle {egin{aligned}&Q_{+}^{2}={overline {Q}}_{+}^{2}=0,&{Q_{+},{overline {Q}}_{+}}=H+Pend{aligned}}}$

плюс коммутационные соотношения выше, которые не включают ${displaystyle Q_{-}}$ или же ${displaystyle {overline {Q}}_{-}}$. Оба генератора являются левыми спинорами Вейля.

Точно так же ${displaystyle {mathcal {N}}=(2,0)}$ подалгебра получается удалением ${displaystyle Q_{+}}$ и ${displaystyle {overline {Q}}_{+}}$ и выполняет

${displaystyle {egin{aligned}&Q_{-}^{2}={overline {Q}}_{-}^{2}=0,&{Q_{-},{overline {Q}}_{-}}=H-P.end{aligned}}}$

Оба генератора наддува праворукие.

В ${displaystyle {mathcal {N}}=(1,1)}$ подалгебра

В ${displaystyle {mathcal {N}}=(1,1)}$ подалгебра порождается двумя образующими ${displaystyle Q_{+}^{1}}$ и ${displaystyle Q_{-}^{1}}$ данный

${displaystyle {egin{aligned}Q_{pm }^{1}=e^{iu _{pm }}Q_{pm }+e^{-iu _{pm }}{overline {Q}}_{pm }end{aligned}}}$для двух действительных чисел ${displaystyle u _{+}}$и ${displaystyle u _{-}}$.

По определению действительны оба наддува, т.е. ${displaystyle (Q_{pm }^{1})^{dagger }=Q_{pm }^{1}}$. Они трансформируются как Спиноры Майораны-Вейля при преобразованиях Лоренца. Их антикоммутационные соотношения задаются выражением^[1]:287

${displaystyle {egin{aligned}&{Q_{pm }^{1},Q_{pm }^{1}}=2(Hpm P),&{Q_{+}^{1},Q_{-}^{1}}=Z^{1},end{aligned}}}$

куда ${displaystyle Z^{1}}$ это настоящая центральная плата.

В ${displaystyle {mathcal {N}}=(0,1)}$ и ${displaystyle {mathcal {N}}=(1,0)}$ подалгебры

Эти алгебры могут быть получены из ${displaystyle {mathcal {N}}=(1,1)}$ подалгебра, удалив ${displaystyle Q_{-}^{1}}$ соотв. ${displaystyle Q_{+}^{1}}$от генераторов.

Смотрите также

• Суперсимметрия
• Суперпуанкаре алгебра (в размерностях 1 + 3)

Рекомендации

• К. Схоутенс, Суперсимметрия и факторизованное рассеяние, Nucl.Phys. B344, 665–695, 1990
• T.J. Холловуд, Э. Маврикис, N = 1 суперсимметричный бутстрап и алгебры Ли, Nucl. Phys. B484, 631–652, 1997, arXiv: hep-th / 9606116

1. Зеркальная симметрия. Хори, Кентаро. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. 2003 г. ISBN  9780821829554. OCLC  52374327.