Расширение алгебры Ли - Lie algebra extension

В теории Группы Ли, Алгебры Ли и их теория представлений, а Расширение алгебры Ли е является расширением данной алгебры Ли грамм другой алгеброй Ли час. Расширения возникают несколькими способами. Здесь тривиальное расширение получается прямой суммой двух алгебр Ли. Другие типы раздельное расширение и центральное расширение. Расширения могут возникнуть естественным образом, например, при формировании алгебры Ли из представления проективных групп. Такая алгебра Ли будет содержать центральные сборы.

Начиная с алгебра полиномиальных петель над конечномерными просто Алгебры Ли и выполняя два расширения, центральное расширение и расширение с помощью дифференцирования, получаем алгебру Ли, которая изоморфна раскрученной аффинной Алгебра Каца – Муди. Используя центрально расширенную алгебру петель, можно построить текущая алгебра в двух измерениях пространства-времени. В Алгебра Вирасоро является универсальным центральным расширением Алгебра Витта.^[1]

Центральные расширения необходимы в физике, потому что группа симметрии квантованной системы обычно является центральным расширением классической группы симметрии, и таким же образом соответствующая алгебра Ли симметрии квантовой системы, в общем, является центральным расширением классическая алгебра симметрий.^[2] Было выдвинуто предположение, что алгебры Каца – Муди являются группами симметрий единой теории суперструн.^[3] Центрально расширенные алгебры Ли играют доминирующую роль в квантовая теория поля, особенно в конформная теория поля, теория струн И в М-теория.^[4][5]

Большая часть ближе к концу посвящена справочному материалу по приложениям расширений алгебры Ли как в математике, так и в физике в тех областях, где они действительно полезны. Ссылка в скобках (справочный материал ), предоставляется там, где это может быть полезно.

История

Из-за Ложная переписка, теория и, следовательно, история расширений алгебры Ли тесно связана с теорией и историей расширений групп. Систематическое исследование расширений групп было выполнено австрийским математиком Отто Шрайер в 1923 г. в своей кандидатской диссертации, позже опубликованной.^{[nb 1][6][7]} Проблема, поставленная для его диссертации Отто Гёльдер "дали две группы грамм и ЧАС, найти все группы E имея нормальную подгруппу N изоморфен грамм такая, что факторная группа E/N изоморфен ЧАС".

Расширения алгебры Ли наиболее интересны и полезны для бесконечномерных алгебр Ли. В 1967 г. Виктор Кац и Роберт Муди независимо обобщил понятие классических алгебр Ли, что привело к новой теории бесконечномерных алгебр Ли, которая теперь называется Алгебры Каца – Муди.^[8][9] Они обобщают конечномерные простые алгебры Ли и часто могут быть конкретно построены как расширения.^[10]

Обозначения и доказательства

Нотационные злоупотребления, которые можно найти ниже, включают е^Икс для экспоненциальная карта exp учитывая аргумент, писать грамм для элемента (грамм, е_ЧАС) в прямом продукте грамм × ЧАС (е_ЧАС это личность в ЧАС), и аналогично для прямых сумм алгебры Ли (где также грамм + час и (грамм, час) используются взаимозаменяемо). То же самое для полупрямых произведений и полупрямых сумм. Канонические инъекции (как для групп, так и для алгебр Ли) используются для неявных отождествлений. Кроме того, если грамм, ЧАС, ..., являются группами, тогда имена по умолчанию для элементов грамм, ЧАС, ..., находятся грамм, час, ..., а их алгебры Ли равны грамм, час, .... Имена по умолчанию для элементов грамм, час, ..., находятся грамм, ЧАС, ... (как и в случае с группами!), частично для экономии скудных алфавитных ресурсов, но в основном для того, чтобы иметь единообразную нотацию.

Алгебры Ли, входящие в состав расширения, без комментариев будут считаться над теми же. поле.

В соглашение о суммировании применяется, в том числе иногда, когда задействованные индексы находятся оба наверху или оба внизу.

Предостережение: Не все доказательства и приведенные ниже схемы доказательств универсальны. Основная причина в том, что алгебры Ли часто бесконечномерны, и тогда может существовать или не быть группа Ли, соответствующая алгебре Ли. Более того, даже если такая группа существует, она может не иметь «обычных» свойств, например то экспоненциальная карта может не существовать, а если и есть, то не иметь всех «обычных» свойств. В таких случаях сомнительно, следует ли наделять группу квалификатором «Ложь». Литература неоднородна. Для явных примеров соответствующие структуры предположительно существуют.

Определение

Расширения алгебры Ли формализованы в терминах коротких точные последовательности.^[1] Короткая точная последовательность - это точная последовательность длины три,

${\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},}$

(1)

такой, что я это мономорфизм, s является эпиморфизм, и кер s = им я. Из этих свойств точных последовательностей следует, что (образ) час является идеальный в е. Более того,

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {e}}/\operatorname {Im} i={\mathfrak {e}}/\operatorname {Ker} s,}$

но это не обязательно так, что грамм изоморфна подалгебре в е. Эта конструкция отражает аналогичные конструкции в тесно связанной концепции групповые расширения.

Если ситуация в (1) нетривиально и для алгебр Ли над теми же поле, тогда говорят, что е является продолжением грамм к час.

Характеристики

Определяющее свойство может быть переформулировано. Алгебра Ли е является продолжением грамм к час если

${\displaystyle 0\;{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\overset {\sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0}$

(2)

точно. Здесь нули на концах представляют нулевую алгебру Ли (содержащую нулевой вектор ∅ только) и карты очевидны; ί карты ∅ к ∅ и σ отображает все элементы грамм к ∅. Из этого определения автоматически следует, что я является мономорфизмом и s это эпиморфизм.

Расширение грамм к час не обязательно уникален. Позволять е, е ' Обозначим два расширения, и пусть следующие простые числа имеют очевидную интерпретацию. Тогда, если существует изоморфизм алгебр Ли ж:е → е' такой, что

${\displaystyle f\circ i=i',\quad s'\circ f=s,}$

затем расширения е и е ' как говорят эквивалентные расширения. Эквивалентность расширений - это отношение эквивалентности.

Типы расширений

Банальный

Расширение алгебры Ли

${\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {t}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},}$

является банальный если есть подпространство я такой, что т = я ⊕ ker s и я является идеальный в т.^[1]

Расколоть

Расширение алгебры Ли

${\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {s}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},}$

является расколоть если есть подпространство ты такой, что s = ты ⊕ ker s как векторное пространство и ты является подалгеброй в s.

Идеал - это подалгебра, но подалгебра не обязательно идеал. Таким образом, тривиальное расширение - это расщепленное расширение.

Центральная

Центральные расширения алгебры Ли грамм абелевой алгеброй Ли а можно получить с помощью так называемого (нетривиального) 2-коцикл (фон ) на грамм. Нетривиальные 2-коциклы встречаются в контексте проективные представления (фон ) групп Ли. Об этом говорится ниже.

Расширение алгебры Ли

${\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {c}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},}$

это центральное расширение если кер s содержится в центр Z(c) из c.

Характеристики

• Поскольку центр ездит со всем, час ≅ им я = ker s в этом случае абелевский.
• Учитывая центральное расширение е из грамм, можно построить 2-коцикл на грамм. Предполагать е является центральным продолжением грамм к час. Позволять л быть линейной картой из грамм к е со свойством, что s ∘ л = Id_грамм, т.е. л это раздел из s. Используйте этот раздел, чтобы определить ε: грамм × грамм → е к

${\displaystyle \epsilon (G_{1},G_{2})=l([G_{1},G_{2}])-[l(G_{1}),l(G_{2})],\quad G_{1},G_{2}\in {\mathfrak {g}}.}$

Карта ε удовлетворяет

${\displaystyle \epsilon (G_{1},[G_{2},G_{3}])+\epsilon (G_{2},[G_{3},G_{1}])+\epsilon (G_{3},[G_{1},G_{2}])=0\in {\mathfrak {e}}.}$

Чтобы убедиться в этом, используйте определение ε слева, затем используйте линейность л. Используйте идентичность Якоби на грамм чтобы избавиться от половины из шести членов. Используйте определение ε снова на условиях л([грамм_я,грамм_j]) сидящих внутри трех скобок Ли, билинейности скобок Ли и тождества Якоби на е, а затем, наконец, используйте для трех оставшихся терминов, что Я ε ⊂ ker s и это кер s ⊂ Z(е) так что ε(грамм_я, грамм_j) скобки к нулю со всем. Отсюда следует, что φ = я⁻¹ ∘ ε удовлетворяет соответствующему соотношению, а если час кроме того одномерна, то φ является 2-коциклом на грамм (через тривиальное соответствие час с нижележащим полем).

Центральная пристройка

${\displaystyle 0\;{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\overset {\sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0}$

является универсальный если для каждого другого центрального расширения

${\displaystyle 0\;{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}'\;{\overset {i'}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}'\;{\overset {s'}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\overset {\sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0}$

существуют уникальный гомоморфизмы ${\displaystyle \Phi :{\mathfrak {e}}\to {\mathfrak {e}}'}$ и ${\displaystyle \Psi :{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}'}$ так что диаграмма

ездит на работу, т.е. я'∘ Ψ = Φ ∘ я и s'∘ Φ = s. По универсальности легко заключить, что такие универсальные центральные расширения единственны с точностью до изоморфизма.

Строительство

Прямая сумма

Позволять грамм, час быть алгебрами Ли над одним и тем же полем F. Определять

${\displaystyle {\mathfrak {e}}={\mathfrak {h}}\times {\mathfrak {g}},}$

и определим сложение поточечно на е. Скалярное умножение определяется как

${\displaystyle \alpha (H,G)=(\alpha H,\alpha G),\alpha \in F,H\in {\mathfrak {h}},G\in {\mathfrak {g}}.}$

С этими определениями час × грамм ≡ час ⊕ грамм это векторное пространство над F. С скобкой Ли

:${\displaystyle [(H_{1},G_{1}),(H_{2},G_{2})]=([H_{1},H_{2}],[G_{1},G_{2}]),}$

(3)

е является алгеброй Ли. Определить далее

${\displaystyle i:{\mathfrak {h}}\hookrightarrow {\mathfrak {e}};H\mapsto (H,0),\quad s:{\mathfrak {e}}\twoheadrightarrow {\mathfrak {g}};(H,G)\mapsto G.}$

Ясно, что (1) как точная последовательность. Это расширение грамм к час называется тривиальное расширение. Это, конечно, не что иное, как прямая сумма алгебры Ли. В силу симметрии определений е является продолжением час к грамм также, но час ⊕ грамм ≠ грамм ⊕ час. Это ясно из (3) что подалгебра 0 ⊕ грамм является идеал (алгебра Ли). Это свойство прямой суммы алгебр Ли превращается в определение тривиального расширения.

По полупрямой сумме

Вдохновленный конструкцией полупрямого продукта (фон ) групп, использующих гомоморфизм грамм → Aut (ЧАС), можно сделать соответствующую конструкцию для алгебр Ли.

Если ψ:грамм → Дер час является гомоморфизмом алгебр Ли, то определим скобку Ли на е = час ⊕ грамм к

${\displaystyle [(H,G),(H',G')]=([H,H']+\psi _{G}(H')-\psi _{G'}(H),[G,G']),\quad H,H'\in {\mathfrak {h}},G,G'\in {\mathfrak {g}}.}$

(7)

С помощью этой скобки Ли полученная таким образом алгебра Ли обозначается е= час ⊕_S грамм и называется полупрямая сумма из час и грамм.

При осмотре (7) видно, что 0 ⊕ грамм является подалгеброй е и час ⊕ 0 идеал в е. Определять я:час → е к ЧАС ↦ ЧАС ⊕ 0 и s:е → грамм к ЧАС ⊕ грамм ↦ грамм, ЧАС ∈ час, грамм ∈ грамм. Ясно, что кер s = им я. Таким образом е является расширением алгебры Ли грамм к час.

Как и в случае с тривиальным расширением, это свойство обобщается на определение расщепляемого расширения.

Пример
Позволять грамм быть Группа Лоренца О (3, 1) и разреши Т обозначить группа переводов в 4-х измерениях, изоморфных (ℝ⁴, +), и рассмотрим правило умножения Группа Пуанкаре п

${\displaystyle (a_{2},\Lambda _{2})(a_{1},\Lambda _{1})=(a_{2}+\Lambda _{2}a_{1},\Lambda _{2}\Lambda _{1}),\quad a_{1},a_{2}\in \mathrm {T} \subset P,\Lambda _{1},\Lambda _{2}\in \mathrm {O} (3,1)\subset \mathrm {P} ,}$

(куда Т и ТАК (3, 1) идентифицируются с их изображениями в п). Отсюда сразу следует, что в группе Пуанкаре (0, Λ) (а, я) (0, Λ⁻¹) = (Λ а, я) ∈ T ⊂ P. Таким образом, каждое преобразование Лоренца Λ соответствует автоморфизму Φ_Λ из Т с обратным Φ_Λ⁻¹ и Φ явно гомоморфизм. Теперь определим

${\displaystyle {\overline {\mathrm {P} }}=\mathrm {T} \otimes _{S}\mathrm {O} (3,1),}$

наделен умножением на (4). Раскручивая определения, обнаруживаем, что умножение такое же, как и умножение, с которого началось, и из этого следует, что п = P. Из (5') Следовательно Ψ_Λ = Объявление_Λ а затем из (6') следует, что ψ_λ = ad_λ. λ ∈ о(3, 1).

По происхождению

Позволять δ быть производным (фон ) из час и обозначим через грамм одномерная алгебра Ли, натянутая на δ. Определите скобку Ли на е = грамм ⊕ час к^{[nb 2][11]}

${\displaystyle [G_{1}+H_{1},G_{2}+H_{2}]=[\lambda \delta +H_{1},\mu \delta +H_{2}]=[H_{1},H_{2}]+\lambda \delta (H_{1})-\mu \delta (H_{2}).}$

Из определения скобки очевидно, что час это и идеально в е в и это грамм является подалгеброй е. Более того, грамм дополняет час в е. Позволять я:час → е быть предоставленным ЧАС ↦ (0, ЧАС) и s:е → грамм к (грамм, ЧАС) ↦ грамм. Ясно, что я я = ker s. Таким образом е является раздельным расширением грамм к час. Такое расширение называется продолжение производным.

Если ψ: грамм → дер час определяется ψ(μδ)(ЧАС) = μδ(ЧАС), тогда ψ является гомоморфизмом алгебр Ли в дер час. Следовательно, эта конструкция является частным случаем полупрямой суммы, поскольку, начиная с ψ и используя конструкцию из предыдущего раздела, получаем те же скобки Ли.

По 2-коциклу

Если ε является 2-коциклом (фон ) на алгебре Ли грамм и час - любое одномерное векторное пространство, пусть е = час ⊕ грамм (прямая сумма векторного пространства) и определим скобку Ли на е к

${\displaystyle [\mu H+G_{1},\nu H+G_{2}]=[G_{1},G_{2}]+\epsilon (G1,G2)H,\quad \mu ,\nu \in F.}$

Здесь ЧАС произвольный, но фиксированный элемент час. Антисимметрия следует из антисимметрии скобки Ли на грамм и антисимметрия 2-коцикла. Тождество Якоби следует из соответствующих свойств грамм и из ε. Таким образом е является алгеброй Ли. Положить грамм₁ = 0 и отсюда следует, что мкГн ∈ Z(е). Кроме того, следует я: мкГн ↦ (мкГн, 0) и s: (мкГн, грамм) ↦ грамм который Я я = ker s = {(мкГн, 0):μ ∈ F} ⊂ Z (е). Следовательно е является центральным продолжением грамм к час. Это называется расширение 2-коциклом.

Теоремы

Ниже приводятся некоторые результаты о центральных расширениях и 2-коциклах.^[12]

Теорема^[1]
Позволять φ₁ и φ₂ когомологичные 2-коциклы на алгебре Ли грамм и разреши е₁ и е₂ - соответственно центральные расширения, построенные с этими 2-коциклами. Тогда центральные расширения е₁ и е₂ являются эквивалентными расширениями.
Доказательство
По определению, φ₂ = φ₁ + δf. Определять

${\displaystyle \psi :G+\mu c\in {\mathfrak {e}}_{1}\mapsto G+\mu c+f(G)c\in {\mathfrak {e}}_{2}.}$

Из определений следует, что ψ является изоморфизмом алгебр Ли и (2) держит.

Следствие
Класс когомологий [Φ] ∈ ЧАС²(грамм, F) определяет центральное расширение грамм единственное с точностью до изоморфизма.

Тривиальный 2-коцикл дает тривиальное расширение, и поскольку 2-кограница когомологична тривиальному 2-коциклу, мы имеем
Следствие
Центральное расширение, определяемое кограницей, эквивалентно тривиальному центральному расширению.

Теорема
Конечномерная простая алгебра Ли имеет только тривиальные центральные расширения.
Доказательство
Поскольку каждое центральное расширение происходит от 2-коцикла φ, достаточно показать, что каждый 2-коцикл является кограницей. Предполагать φ является 2-коциклом на грамм. Задача состоит в том, чтобы использовать этот 2-коцикл для изготовления 1-коцепи. ж такой, что φ = δf.

Первый шаг - для каждого грамм_грамм1 ∈ грамм использовать φ определить линейную карту ρ_грамм1:грамм → F. Но линейные карты являются элементами грамм^∗. Этого достаточно, чтобы выразить φ с точки зрения K, используя изоморфизм ν. Далее линейная карта d:грамм → грамм определяется, что оказывается производным. Поскольку все производные внутренние, d = ad_граммd для некоторых грамм_d ∈ грамм. Выражение для φ с точки зрения K и d получается. Таким образом, полагая, что d является производным,

${\displaystyle \varphi (G_{1},G_{2})\equiv \rho _{G_{1}}(G_{2})=K(\nu ^{-1}(\rho _{G_{1}}),G_{2})\equiv K(d(G_{1}),G_{2})=K(\mathrm {ad} _{G_{d}}(G_{1}),G_{2})=K([G_{d},G_{1}],G_{2})=K(G_{d},[G_{1},G_{2}]).}$

Позволять ж 1-коцепь, определенная

${\displaystyle f(G)=K(G_{d},G).}$

потом

${\displaystyle \delta f(G_{1},G_{2})=f([G_{1},G_{2}])=K(G_{d},[G_{1},G_{2}])=\varphi (G_{1},G_{2}),}$

показывая это φ является кограницей. Согласно предыдущим результатам, любое центральное расширение тривиально.

Доказательство чего-либо d являясь производным

Чтобы убедиться, что d на самом деле является производным, сначала обратите внимание, что он линейный, поскольку ν есть, затем вычислить

${\displaystyle {\begin{aligned}K(d([G_{1},G_{2}]),G_{3}))&=\varphi ([G_{1},G_{2}]),G_{3}))=\varphi (G_{1},[G_{2},G_{3}])+\varphi (G_{2},[G_{3},G_{1}])\\&=K(d(G_{1}),[G_{2},G_{3}])+K(d(G_{1}),(G_{3},G_{1}))=K([d(G_{1}),G_{2}],G_{3})+K([G_{1},d(G_{2})],G_{3}))\\&=K([d(G_{1}),G_{2}]+[G_{1},d(G_{2})],G_{3}).\end{aligned}}}$

Обращаясь к невырожденности K, левые аргументы K равны слева и справа.

Наблюдение за тем, что можно определить вывод d, заданной симметричной невырожденной ассоциативной формой K и 2-коцикл φ, к

${\displaystyle K(\nu ^{-1}(\rho _{G_{1}}),G_{2})\equiv K(d(G_{1}),G_{2}),}$

или используя симметрию K и антисимметрия φ,

${\displaystyle K(d(G_{1}),G_{2})=-K(G_{1},d(G_{2})),}$

приводит к следствию.

Следствие
Позволять L: 'грамм × грамм: → F - невырожденная симметрическая ассоциативная билинейная форма и пусть d быть производным, удовлетворяющим

${\displaystyle L(d(G_{1}),G_{2})=-L(G_{1},d(G_{2})),}$

тогда φ определяется

${\displaystyle \varphi (G_{1},G_{2})=L(d(G_{1}),G_{2})}$

является 2-коциклом.

ДоказательствоУсловие на d обеспечивает антисимметрию φ. Тождество Якоби для 2-коциклов следует, начиная с

${\displaystyle \varphi ([G1,G_{2}],G_{3})=L(d[G1,G_{2}],G_{3})=L([d(G1),G_{2}],G_{3})+L([G1,d(G_{2})],G_{3}),}$

используя симметрию формы, антисимметрию скобки и еще раз определение φ с точки зрения L.

Если грамм является алгеброй Ли группы Ли грамм и е является центральным продолжением грамм, можно спросить, существует ли группа Ли E с алгеброй Ли е. Ответ: Третья теорема Ли утвердительный. Но есть ли центральное расширение E из грамм с алгеброй Ли е? Ответ на этот вопрос требует некоторого оборудования, и его можно найти в Тюйнман и Вигеринк (1987, Теорема 5.4).

Приложения

«Отрицательный» результат предыдущей теоремы показывает, что нужно, по крайней мере для полупростых алгебр Ли, обратиться к бесконечномерным алгебрам Ли, чтобы найти полезные приложения центральных расширений. Такие действительно есть. Здесь будут представлены аффинные алгебры Каца – Муди и алгебры Вирасоро. Это расширения полиномиальных алгебр петель и алгебры Витта соответственно.

Полиномиальная алгебра петель

Позволять грамм - алгебра полиномиальных петель (фон ),

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=C[\lambda ,\lambda ^{-1}]\otimes {\mathfrak {g}}_{0},}$

куда грамм₀ является сложной конечномерной простой алгеброй Ли. Цель состоит в том, чтобы найти центральное расширение этой алгебры. Применимы две теоремы. С одной стороны, если есть 2-коцикл на грамм, то можно определить центральное расширение. С другой стороны, если этот 2-коцикл действует на грамм₀ part (only), то получившееся расширение тривиально. Более того, производные, действующие на грамм₀ (только) не может использоваться для определения 2-коцикла, потому что все эти выводы являются внутренними и одни и те же результаты проблемы. Поэтому нужно искать выводы на C[λ, λ⁻¹]. Одним из таких наборов выводов является

${\displaystyle d_{k}\equiv \lambda ^{k+1}{\frac {d}{d\lambda }},\quad k\in \mathbb {Z} .}$

Чтобы получить невырожденную билинейную ассоциативную антисимметричную форму L на граммвнимание сосредоточено в первую очередь на ограничениях аргументов, при этом м, п фиксированный. Это теорема, что каждый форма, удовлетворяющая требованиям, является кратной форме убийства K на грамм₀.^[13] Это требует

${\displaystyle L(\lambda ^{l}\otimes G_{1},\lambda ^{m}\otimes G_{2})=\gamma _{lm}K(G_{1},G_{2}).}$

Симметрия K подразумевает

${\displaystyle \gamma _{mn}=\gamma _{nm},}$

и ассоциативность дает

${\displaystyle \gamma _{k+l,m}=\gamma _{k,l+m}.}$

С л = 0 видно, что γ_lm = γ_0,л+м. Последнее условие подразумевает первое. Используя этот факт, определим ж(п) = γ_0,п. Тогда определяющее уравнение становится

${\displaystyle L(\lambda ^{m}\otimes G_{1},\lambda ^{m}\otimes G_{2})=f(l+m)K(G_{1},G_{2}).}$

Для каждого я ∈ ℤ Определение

${\displaystyle f(n)=\delta _{ni}\Leftrightarrow \gamma _{lm}=\delta _{l+m,i}}$

определяет симметричную ассоциативную билинейную форму

${\displaystyle L_{i}(\lambda ^{l}\otimes G_{1},\lambda ^{m}\otimes G_{2})=\delta _{l+m,i}K(G_{1},G_{2}).}$

Но они составляют основу векторного пространства, в котором каждая форма имеет нужные свойства.

Возвращаясь к полученным выводам и условию

${\displaystyle L_{i}(d_{k}(\lambda ^{l}\otimes G_{1}),\lambda ^{m}\otimes G_{2})=-L_{i}(\lambda ^{l}\otimes G_{1},d_{k}(\lambda ^{m}\otimes G_{2})),}$

видно, используя определения, что

${\displaystyle l\delta _{k+l+m,i}=-m\delta _{k+l+m,i},}$

или, с п = л + м,

${\displaystyle n\delta _{k+n,i}=0.}$

Это (и условие антисимметрии) выполняется, если k = я, в частности, когда k = я = 0.

Таким образом выбрал L = L₀ и d = d₀. При таком выборе предпосылки следствия удовлетворяются. 2-коцикл φ определяется

${\displaystyle \varphi (P(\lambda )\otimes G_{1}),Q(\lambda )\otimes G_{2}))=L(\lambda {\frac {dP}{d\lambda }}\otimes G_{1},Q(\lambda )\otimes G_{2})}$

наконец используется для определения центрального расширения грамм,

${\displaystyle {\mathfrak {e}}={\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} C,}$

со скобкой Ли

${\displaystyle [P(\lambda )\otimes G_{1}+\mu C,Q(\lambda )\otimes G_{2}+\nu C]=P(\lambda )Q(\lambda )\otimes [G_{1},G_{2}]+\varphi (P(\lambda )\otimes G_{1},Q(\lambda )\otimes G_{2})C.}$

Для базисных элементов, нормализованных подходящим образом и с константами антисимметричной структуры,

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\lambda ^{l}\otimes G_{i}+\mu C,\lambda ^{m}\otimes G_{j}+\nu C]&=\lambda ^{l+m}\otimes [G_{i},G_{j}]+\varphi (\lambda ^{l}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+L(\lambda {\frac {d\lambda ^{l}}{d\lambda }}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+lL(\lambda ^{l}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}K(G_{i},G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}{C_{ik}}^{m}{C_{jm}}^{k}C=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}\delta ^{ij}C.\end{aligned}}}$

Это универсальное центральное расширение алгебры полиномиальных петель.^[14]

Примечание по терминологии

В терминологии физики вышеприведенная алгебра могла бы сойти за алгебру Каца – Муди, в то время как в терминологии математики этого не произошло. Для этого требуется дополнительное измерение, расширение производным. Тем не менее, если в физическом приложении собственные значения грамм₀ или его представитель интерпретируются как (обычные) квантовые числа, дополнительный индекс на генераторах называется уровень. Это дополнительное квантовое число. Дополнительный оператор, собственными значениями которого являются в точности уровни, вводится ниже.

Текущая алгебра

Мюррей Гелл-Манн, 1969 Нобелевский лауреат в физике, положил начало области алгебры течений в 1960-х. Он использует известные локальные симметрии даже без знания основной динамики для получения прогнозов, например то Правило сумм Адлера – Вайсбергера.

Основная статья: Текущая алгебра

В качестве приложения центрального расширения полиномиальной алгебры петель a текущая алгебра квантовой теории поля (фон ). Предположим, у вас есть алгебра токов с интересным коммутатором.

${\displaystyle [J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} ),J_{b}^{i}(t,\mathbf {y} )]=i{C_{ab}}^{c}J_{c}^{i}(t,\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+S_{ab}^{ij}\partial _{j}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+...,}$

(CA10)

с термином Швингера. Чтобы построить эту алгебру математически, пусть грамм - центрально расширенная полиномиальная алгебра петель из предыдущего раздела с

${\displaystyle [\lambda ^{l}\otimes G_{i}+\mu C,\lambda ^{m}\otimes G_{j}+\nu C]=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}\delta _{ij}C}$

как одно из коммутационных соотношений, или, с изменением обозначений (л→м, м→п, я→а, j→б, λ^м⊗грамм_а→Т^м_а) с коэффициентом я согласно правилам физики,^{[№ 3]}

${\displaystyle [T_{a}^{m},T_{b}^{n}]=i{C_{ab}}^{c}T_{c}^{m+n}+m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C.}$

Определить использование элементов грамм,

${\displaystyle J_{a}(x)={\frac {\hbar }{L}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inx}{L}}T_{a}^{-n},x\in \mathbb {R} .}$

Следует отметить, что

${\displaystyle J_{a}(x+L)=J_{a}(x)}$

так что он определен по кругу. Теперь вычислим коммутатор,

${\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{a}(x),J_{b}(y)]&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inx}{L}}T_{a}^{-n},\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi imy}{L}}T_{b}^{-m}\right]\\&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inx}{L}}e^{\frac {2\pi imy}{L}}[T_{a}^{-n},T_{b}^{-m}].\end{aligned}}}$

Для простоты измените координаты так, чтобы у → 0, Икс → Икс − у ≡ z и воспользуемся коммутационными соотношениями,

${\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{a}(z),J_{b}(0)]&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inz}{L}}[i{C_{ab}}^{c}T_{c}^{-m-n}+m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C]\\&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi i(-m)z}{L}}\sum _{l=-\infty }^{\infty }ie^{\frac {2\pi i(l)z}{L}}{C_{ab}}^{c}T_{c}^{-l}+\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inz}{L}}m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C\\&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi imz}{L}}i{C_{ab}}^{c}J_{c}(z)-\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inz}{L}}n\delta _{ab}C\end{aligned}}}$

Теперь используйте Формула суммирования Пуассона,

${\displaystyle {\frac {1}{L}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {-2\pi inz}{L}}={\frac {1}{L}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (z+nL)=\delta (z)}$

за z в интервале (0, L) и дифференцировать его, чтобы получить

${\displaystyle -{\frac {2\pi i}{L^{2}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }ne^{\frac {-2\pi inz}{L}}=\delta '(z),}$

и наконец

${\displaystyle [J_{a}(x-y),J_{b}(0)]=i\hbar {C_{ab}}^{c}J_{c}(x-y)\delta (x-y)+{\frac {i\hbar ^{2}}{2\pi }}\delta _{ab}C\delta '(x-y),}$

или же

${\displaystyle [J_{a}(x),J_{b}(y)]=i\hbar {C_{ab}}^{c}J_{c}(x)\delta (x-y)+{\frac {i\hbar ^{2}}{2\pi }}\delta _{ab}C\delta '(x-y),}$

поскольку аргументы дельта-функций только гарантируют, что аргументы левого и правого аргументов коммутатора равны (формально δ(z) = δ(z − 0) ↦ δ((Икс −у) − 0) = δ(Икс −у)).

По сравнению с CA10, это текущая алгебра в двух измерениях пространства-времени, включая термин Швингера, с пространственным измерением, свернутым в круг. В классическом контексте квантовой теории поля от этого, возможно, мало пользы, но с появлением теории струн, где поля живут на мировых листах струн, а пространственные измерения свернуты, могут появиться соответствующие приложения.

Алгебра Каца – Муди

Роберт Муди (слева), сотрудник Королевское общество Канады, канадский математик, Университет Альберты. Он является соавтором алгебры Каца – Муди вместе с Виктор Кац, Сотрудник Американское математическое общество, российский математик, работающий в Массачусетский технологический институт.

Вывод d₀ используется при построении 2-коцикла φ в предыдущем разделе может быть расширен до вывода D на центрально расширенной алгебре полиномиальных петель, обозначаемой здесь грамм для реализации алгебры Каца – Муди^[15][16] (фон ). Просто установите

${\displaystyle D(P(\lambda )\otimes G+\mu C)=\lambda {\frac {dP(\lambda )}{d\lambda }}\otimes G.}$

Затем определите как векторное пространство

${\displaystyle {\mathfrak {e}}=\mathbb {C} d+{\mathfrak {g}}.}$

Скобка Ли на е согласно стандартной конструкции с производной, дается на основе

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\lambda ^{m}\otimes G_{1}+\mu C+\nu D,\lambda ^{n}\otimes G_{2}+\mu 'C+\nu 'D]&=\lambda ^{m+n}\otimes [G_{1},G_{2}]+m\delta _{m+n,0}K(G_{1},G_{2})C+\nu D(\lambda ^{n}\otimes G_{1})-\nu 'D(\lambda ^{m}\otimes G_{2})\\&=\lambda ^{m+n}\otimes [G_{1},G_{2}]+m\delta _{m+n,0}K(G_{1},G_{2})C+\nu n\lambda ^{n}\otimes G_{1}-\nu 'm\lambda ^{m}\otimes G_{2}.\end{aligned}}}$

Для удобства определим

${\displaystyle G_{i}^{m}\leftrightarrow \lambda ^{m}\otimes G_{i}.}$

Вдобавок предположим, что базис лежащей в основе конечномерной простой алгебры Ли выбран так, что структурные коэффициенты антисимметричны по всем индексам и что базис соответствующим образом нормирован. Затем непосредственно через определения проверяются следующие коммутационные соотношения.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[G_{i}^{m},G_{j}^{n}]&={C_{ij}}^{k}G_{k}^{m+n}+m\delta _{ij}\delta ^{m+n,0}C,\\{}[C,G_{i}^{m}]&=0,\quad 1\leq i,j,N,\quad m,n\in \mathbb {Z} \\{}[D,G_{i}^{m}]&=mG_{i}^{m}\\{}[D,C]&=0.\end{aligned}}}$

Это в точности краткое описание раскрученной аффинной алгебры Каца – Муди. Чтобы резюмировать, начнем с конечномерной простой алгебры Ли. Определите пространство формальных многочленов Лорана с коэффициентами в конечномерной простой алгебре Ли. При поддержке симметричной невырожденной чередующейся билинейной формы и дифференцирования определяется 2-коцикл, который впоследствии используется в стандартном рецепте для центрального расширения с помощью 2-коцикла. Распространите вывод на это новое пространство, используйте стандартный рецепт для расщепленного расширения с помощью вывода, и получится раскрученная аффинная алгебра Каца – Муди.

Алгебра Вирасоро

Основная статья: Алгебра Вирасоро

Цель состоит в том, чтобы построить Алгебра Вирасоро, из-за Мигель Анхель Вирасоро,^{[№ 4]} как центральное расширение посредством 2-коцикла φ алгебры Витта W (фон ). Тождество Якоби для 2-коциклов дает

${\displaystyle (l-m)\eta _{n+m,p}+(m-n)\eta _{m+n,l}+(n-l)\eta _{l+n,m}=0,\quad \eta _{ij}=\varphi (d_{i},d_{j}).}$

(V10)

Сдача l = 0 и используя антисимметрию η можно получить

${\displaystyle (m+p)\eta _{mp}=(m-p)\eta _{m+p,0}.}$

В расширении коммутационные соотношения для элемента d₀ находятся

${\displaystyle [d_{0}+\mu C,d_{m}+\nu C]_{\varphi }=-md_{m}+\eta _{0m}C=-m(d_{m}-{\frac {\eta _{0m}}{m}}C).}$

Желательно избавиться от центральный заряд с правой стороны. Для этого определите

${\displaystyle f:W\to \mathbb {C} ;d_{m}\to {\frac {\varphi (d_{0},d_{m})}{m}}={\frac {\eta _{0m}}{m}}.}$

Затем, используя ж как 1-коцепь,

${\displaystyle \eta '_{0n}=\varphi '(d_{0},d_{n})=\varphi (d_{0},d_{n})+\delta f([d_{0},d_{n}])=\varphi (d_{0},d_{n})-n{\frac {\eta ^{0n}}{n}}=0,}$

так что с этим 2-коциклом, эквивалентным предыдущему, мы имеем^{[№ 5]}

${\displaystyle [d_{0}+\mu C,d_{m}+\nu C]_{\varphi '}=-md_{m}.}$

С этим новым 2-коциклом (без штриха) условие становится

${\displaystyle (n+p)\eta _{mp}=(n-p)\eta _{m+p,0}=0,}$

и поэтому

${\displaystyle \eta _{mp}=a(m)\delta _{m.-p},\quad a(-m)=-a(m),}$

где последнее условие обусловлено антисимметрией скобки Ли. С этим и с л + м + п = 0 (вырезая "самолет" в ℤ³), (V10) дает

${\displaystyle (2m+p)a(p)+(m-p)a(m+p)+(m+2p)a(m)=0,}$

это с п = 1 (вырезая «линию» в ℤ²) становится

${\displaystyle (m-1)a(m+1)-(m+2)a(m)+(2m+1)a(1)=0.}$

Это разностное уравнение обычно решается

${\displaystyle a(m)=\alpha m+\beta m^{3}.}$

Коммутатор в расширении на элементах W затем

${\displaystyle [d_{l},d_{m}]=(l-m)d_{l+m}+(\alpha m+\beta m^{3})\delta _{l,-m}C.}$

С β = 0 можно изменить базис (или модифицировать 2-коцикл 2-кограницей) так, чтобы

${\displaystyle [d'_{l},d'_{m}]=(l-m)d_{l+m},}$

при полном отсутствии центрального заряда, поэтому расширение тривиально. (Это не было (в общем) случае с предыдущей модификацией, где только d₀ получили исходные отношения.) β ≠ 0 следующая смена основы,

${\displaystyle d'_{l}=d_{l}+\delta _{0l}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}C,}$

коммутационные соотношения принимают вид

${\displaystyle [d'_{l},d'_{m}]=(l-m)d'_{l+m}+(\gamma m+\beta m^{3})\delta _{l,-m}C,}$

показывая, что часть, линейная по м тривиально. Это также показывает, что ЧАС²(W, ℂ) одномерна (соответствует выбору β). Обычный выбор - взять α = −β = ​¹⁄₁₂ и по-прежнему сохраняя свободу, поглощая произвольный фактор в произвольном объекте C. В Алгебра Вирасоро V затем

${\displaystyle {\mathcal {V}}={\mathcal {W}}+\mathbb {C} C,}$

с коммутационными отношениями

${\displaystyle [d_{l}+\mu C,d_{m}+\nu C]=(l-m)d_{l+m}+{\frac {(m-m^{3})}{12}}\delta _{l,-m}C.}$

Бозонные открытые струны

Основная статья: Теория бозонных струн

Релятивистская классическая открытая струна (фон ) подлежит квантование. Это примерно равносильно тому, чтобы взять позицию и импульс строки и передать их операторам в пространстве состояний открытых строк. Поскольку строки являются расширенными объектами, это приводит к континууму операторов, зависящих от параметра σ. Следующие коммутационные соотношения постулируются в Картинка Гейзенберга.^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[X^{I}(\tau ,\sigma ),{\mathcal {P}}^{\tau J}(\tau ,\sigma )]&=i\eta ^{IJ}\delta (\sigma -\sigma '),\\{}[x_{0}^{-}(\tau ),p^{+}(\tau )]&=-i.\end{aligned}}}$

Все остальные коммутаторы исчезают.

Из-за континуума операторов и из-за дельта-функций, вместо этого желательно выразить эти отношения в терминах квантованных версий режимов Вирасоро, Операторы Вирасоро. Они рассчитаны на удовлетворение

${\displaystyle [\alpha _{m}^{I},\alpha _{n}^{J}]=m\eta ^{IJ}\delta _{m+n,0}}$

Они интерпретируются как операторы создания и уничтожения воздействуя на гильбертово пространство, увеличивая или уменьшая квант своих соответствующих мод. Если индекс отрицательный, оператор является оператором создания, в противном случае - оператором уничтожения. (Если он равен нулю, он пропорционален оператору полного импульса.) Ввиду того, что плюсовая и минусовая моды светового конуса были выражены через поперечные моды Вирасоро, необходимо учитывать коммутационные соотношения между операторами Вирасоро. Они были классически определены (тогда режимы) как

${\displaystyle L_{n}={\frac {1}{2}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I}.}$

Поскольку в квантованной теории альфы являются операторами, порядок факторов имеет значение. Ввиду коммутационного отношения между операторами режима это будет иметь значение только для оператора L₀ (для которого м + п = 0). L₀ выбран нормально заказанный,

${\displaystyle L_{0}={\frac {1}{2}}\alpha _{0}^{I}\alpha _{0}^{I}+\sum _{p=1}^{\infty }\alpha _{-p}^{I}\alpha _{p}^{I},=\alpha 'p^{I}p^{I}+\sum _{p=1}^{\infty }p\alpha _{p}^{I\dagger }\alpha _{p}^{I}+c}$

куда c - возможная константа порядка. После довольно долгих вычислений получается^[18] отношения

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n},\quad m+n\neq 0.}$

Если бы можно было м + п = 0 выше, то имеются в точности коммутационные соотношения алгебры Витта. Вместо этого есть

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {D-2}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0},\quad \forall m,n\in \mathbb {Z} .}$

при идентификации общего центрального термина как (D − 2) умноженный на единичный оператор, это алгебра Вирасоро, универсальное центральное расширение алгебры Витта.

Оператор L₀ входит в теорию как Гамильтониан, по модулю аддитивной постоянной. Более того, операторы Вирасоро входят в определение генераторов Лоренца теории. Это, пожалуй, самая важная алгебра в теории струн.^[19] The consistency of the Lorentz generators, by the way, fixes the spacetime dimensionality to 26. While this theory presented here (for relative simplicity of exposition) is unphysical, or at the very least incomplete (it has, for instance, no fermions) the Virasoro algebra arises in the same way in the more viable теория суперструн и М-теория.

Расширение группы

Основная статья: Расширение группы

A projective representation Π(грамм) группы Ли грамм (фон ) can be used to define a so-called расширение группы грамм_бывший.

In quantum mechanics, Wigner's theorem asserts that if грамм is a symmetry group, then it will be represented projectively on Hilbert space by unitary or antiunitary operators. This is often dealt with by passing to the универсальная группа покрытий из грамм and take it as the symmetry group. This works nicely for the группа ротации ТАК (3) и Группа Лоренца O(3, 1), but it does not work when the symmetry group is the Galilean group. In this case one has to pass to its central extension, the Bargmann group,^[20] which is the symmetry group of the Уравнение Шредингера. Likewise, if грамм = ℝ^2п, the group of translations in position and momentum space, one has to pass to its central extension, the Группа Гейзенберга.^[21]

Позволять ω be the 2-cocycle on грамм индуцированный Π. Определять^{[№ 6]}

${\displaystyle G_{\mathrm {ex} }=\mathbb {C} ^{*}\times G=\{(\lambda ,g)|\lambda \in \mathbb {C} ,g\in G\}}$

as a set and let the multiplication be defined by

${\displaystyle (\lambda _{1},g_{1})(\lambda _{2},g_{2})=(\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2}),g_{1}g_{2}).}$

Associativity holds since ω is a 2-cocycle on грамм. One has for the unit element

${\displaystyle (1,e)(\lambda ,g)=(\lambda \omega (e,g),g)=(\lambda ,g)=(\lambda ,g)(1,e),}$

and for the inverse

${\displaystyle (\lambda ,g)^{-1}=\left({\frac {1}{\lambda \omega (g,g^{-1})}},g^{-1}\right).}$

Набор (ℂ^*, е) is an abelian subgroup of грамм_бывший. Это означает, что грамм_бывший is not semisimple. В центр из грамм, Z(грамм) = {z ∈ грамм|zg = gz ∀грамм ∈ грамм} includes this subgroup. The center may be larger.

At the level of Lie algebras it can be shown that the Lie algebra грамм_бывший из грамм_бывший дан кем-то

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathrm {ex} }=\mathbb {C} C\oplus {\mathfrak {g}},}$

as a vector space and endowed with the Lie bracket

${\displaystyle [\mu C+G_{1},\nu C+G_{2}]=[G_{1},G_{2}]+\eta (G_{1},G_{2})C.}$

Здесь η is a 2-cocycle on грамм. This 2-cocycle can be obtained from ω albeit in a highly nontrivial way.^{[№ 7]}

Now by using the projective representation Π one may define a map Π_бывший к

${\displaystyle \Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda ,g))=\lambda \Pi (g).}$

It has the properties

${\displaystyle \Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda _{1},g_{1}))\Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda _{2},g_{2}))=\lambda _{1}\lambda _{2}\Pi (g_{1})\Pi (g_{2})=\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2})\Pi (g_{1}g_{2})=\Pi _{\mathrm {ex} }(\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2}),g_{1}g_{2})=\Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda _{1},g_{1})(\lambda _{2},g_{2})),}$

так Π_бывший(грамм_бывший) is a bona fide representation of грамм_бывший.

In the context of Wigner's theorem, the situation may be depicted as such (replace ℂ^* к U(1)); позволять SH denote the unit sphere in Hilbert space ЧАС, и разреши (·,·) be its inner product. Позволять PH обозначать ray space и [·,·] то ray product. Let moreover a wiggly arrow denote a групповое действие. Then the diagram

commutes, i.e.

${\displaystyle \pi _{2}\circ \Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda ,g))(\psi )=\Pi \circ \pi (g)(\pi _{1}(\psi )),\quad \psi \in S{\mathcal {H}}.}$

Moreover, in the same way that грамм is a symmetry of PH сохранение [·,·], грамм_бывший is a symmetry of SH сохранение (·,·). В волокна из π₂ are all circles. These circles are left invariant under the action of U(1). Действие U(1) on these fibers is transitive with no fixed point. Вывод таков: SH это основной пучок волокон над PH со структурной группой U(1).^[21]

Background material

In order to adequately discuss extensions, structure that goes beyond the defining properties of a Lie algebra is needed. Rudimentary facts about these are collected here for quick reference.

Производные

А происхождение δ на алгебре Ли грамм это карта

${\displaystyle \delta :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$

так что Правило Лейбница

${\displaystyle \delta [G_{1},G_{2}]=[\delta G_{1},G_{2}]+[G_{1},\delta G_{2}]}$

держит. The set of derivations on a Lie algebra грамм is denoted дер грамм. It is itself a Lie algebra under the Lie bracket

${\displaystyle [\delta _{1},\delta _{2}]=\delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}.}$

It is the Lie algebra of the group Aut грамм of automorphisms of грамм.^[22] One has to show

${\displaystyle \delta [G_{1},G_{1}]=[\delta G_{1},G_{2}]+[G_{1},\delta G_{2}]\Leftrightarrow e^{t\delta }[G_{1},G_{2}]=[e^{t\delta }G_{1},e^{t\delta }G_{2}],\quad \forall t\in \mathbb {R} .}$

If the rhs holds, differentiate and set т = 0 implying that the lhs holds. If the lhs holds (А), write the rhs as

${\displaystyle [G_{1},G_{2}]\;{\overset {?}{=}}\;e^{-t\delta }[e^{t\delta }G_{1},e^{t\delta }G_{2}],}$

and differentiate the rhs of this expression. It is, using (А), identically zero. Hence the rhs of this expression is independent of т and equals its value for т = 0, which is the lhs of this expression.

Если грамм ∈ грамм, тогда объявление_грамм, acting by объявление_грамм1(грамм₂) = [грамм₁, грамм₂], is a derivation. Набор объявление_грамм: грамм ∈ грамм это набор inner derivations на грамм. For finite-dimensional simple Lie algebras all derivations are inner derivations.^[23]

Semidirect product (groups)

Основная статья: Полупрямой продукт

Consider two Lie groups грамм и ЧАС и Aut ЧАС, то группа автоморфизмов из ЧАС. The latter is the group of isomorphisms of ЧАС. If there is a Lie group homomorphism Φ:грамм → Aut ЧАС, то для каждого грамм ∈ грамм Существует Φ (грамм) ≡ Φ_грамм ∈ Aut ЧАС with the property Φ_gg' = Φ_граммΦ_грамм', грамм,грамм' ∈ грамм. Denote with E то набор ЧАС × грамм and define multiplication by

${\displaystyle (h,g)(h',g')=(h\phi _{g}(h'),gg'),\quad g,g'\in G,h,h'\in H.}$

(4)

потом E is a group with identity (е_ЧАС, е_грамм) and the inverse is given by (час, грамм)⁻¹ = (Φ_{грамм⁻¹}(час⁻¹), грамм⁻¹). Using the expression for the inverse and equation (4) it is seen that ЧАС нормально в E. Denote the group with this полупрямой продукт в качестве E = ЧАС ⊗_S грамм.

Наоборот, если E = ЧАС ⊗_S грамм is a given semidirect product expression of the group E, then by definition ЧАС нормально в E и C_грамм ∈ Aut ЧАС для каждого грамм ∈ грамм куда C_грамм (час) ≡ ghg⁻¹ and the map Φ:грамм ↦ C_грамм является гомоморфизмом.

Now make use of the Lie correspondence. The maps Φ_грамм:ЧАС → ЧАС, грамм ∈ грамм each induce, at the level of Lie algebras, a map Ψ_грамм:час → час. This map is computed by

${\displaystyle \Psi _{g}(G)=\left.{\frac {d}{dt}}\phi _{g}(e^{tG})\right|_{t=0},\quad G\in {\mathfrak {g}},g\in G.}$

(5)

Например, если грамм и ЧАС are both subgroups of a larger group E и Φ_грамм = ghg⁻¹, тогда

${\displaystyle \Psi _{g}(G)=\left.{\frac {d}{dt}}ge^{tG}g^{-1}\right|_{t=0}=gGg^{-1}=\mathrm {Ad} _{g}(G),}$

(5')

and one recognizes Ψ как сопряженное действие Ad из E на час ограниченный грамм. Сейчас же Ψ:грамм → Aut час [ ⊂ GL (час) если час is finite-dimensional] is a homomorphism,^{[№ 8]} and appealing once more to the Lie correspondence, there is a unique Lie algebra homomorphism ψ:грамм → Lie(Aut час) = Der час ⊂ gl(час).^{[№ 9]} This map is (formally) given by

${\displaystyle \psi _{G}=\left.{\frac {d}{dt}}\Psi _{e^{tG}}\right|_{t=0},\quad G\in {\mathfrak {g}}}$

(6)

например, если Ψ = Ad, then (formally)

${\displaystyle \psi _{G}=\left.{\frac {d}{dt}}\mathrm {Ad} _{e^{tG}}\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}e^{\mathrm {ad} _{tG}}\right|_{t=0}=\mathrm {ad} _{G},}$

(6')

where a relationship between Ad и сопряженное действие объявление rigorously proved in Вот используется.

Алгебра Ли
The Lie algebra is, as a vector space, е = час ⊕ грамм. This is clear since GH генерирует E и грамм ∩ ЧАС = (е_ЧАС, е_грамм). The Lie bracket is given by^[24]

${\displaystyle [H_{1}+G_{1},H_{2}+G_{2}]_{\mathfrak {e}}=[H_{1},H_{2}]_{\mathfrak {h}}+\psi _{G_{1}}(H_{2})-\psi _{G_{2}}(H_{1})+[G_{1},G_{2}]_{\mathfrak {g}}.}$

Computation of Lie bracket

To compute the Lie bracket, begin with a surface in E параметризованный s и т. Элементы час в е = час ⊕ грамм are decorated with a bar, and likewise for грамм.

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{e^{t{\overline {G}}}s{\overline {H}}e^{-t{\overline {G}}}}&=e^{t{\overline {G}}}e^{s{\overline {H}}}e^{-t{\overline {G}}}=(1,e^{tG})(e^{sH},1)(1,e^{-tG})\\&=(\phi _{e^{tG}}(e^{sH}),e^{tG})(1,e^{-tG})=(\phi _{e^{tG}}(e^{sH})\phi _{e^{tG}}(1),1)\\&=(\phi _{e^{tG}}(e^{sH}),1)\end{aligned}}}$

Надо

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\left.e^{Ad_{e^{t{\overline {G}}}}s{\overline {H}}}\right|_{s=0}=Ad_{e^{t{\overline {G}}}}{\overline {H}}}$

и

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\left.(\phi _{e^{tG}}(e^{sH}),1)\right|_{s=0}=(\Psi _{e^{tG}}(H),0)}$

к 5 и поэтому

${\displaystyle Ad_{e^{t{\overline {G}}}}{\overline {H}}=(\Psi _{e^{tG}}(H),0).}$

Теперь дифференцируем это отношение относительно т и оценить на т = 0$:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left.e^{t{\overline {G}}}{\overline {H}}e^{-t{\overline {G}}}\right|_{t=0}=[{\overline {G}},{\overline {H}}]}$

и

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left.(\Psi _{e^{tG}}(H),0)\right|_{t=0}=(\psi _{G}(H),0)}$

к 6 и поэтому

${\displaystyle [H_{1}+G_{1},H_{2}+G_{2}]_{\mathfrak {e}}=[H_{1},H_{2}]_{\mathfrak {h}}+[G_{1},H_{2}]+[H_{1},G_{2}]+[G_{1},G_{2}]_{\mathfrak {g}}=[H_{1},H_{2}]_{\mathfrak {h}}+\psi _{G_{1}}(H_{2})-\psi _{G_{2}}(H_{1})+[G_{1},G_{2}]_{\mathfrak {g}}.}$

Когомологии

Основные статьи: Алгебраическая топология, Когомологии, и Когомологии алгебры Ли

Для настоящих целей достаточно рассмотрения ограниченной части теории когомологий алгебр Ли. Определения не являются наиболее общими или даже наиболее общими, но объекты, на которые они ссылаются, являются подлинными экземплярами более общих определений.

2-коциклы
Наибольший интерес представляют 2-коциклы на грамм, определяется как билинейный чередование функции,

${\displaystyle \phi :{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow F,}$

которые чередуются,

${\displaystyle \phi (G_{1},G_{2})=-\phi (G_{2},G_{1}),}$

и имеющий свойство, напоминающее тождество Якоби, называемое Тождество Якоби для 2-циклов,

${\displaystyle \phi (G_{1},[G_{2},G_{3}])+\phi (G_{2},[G_{3},G_{1}])+\phi (G_{3},[G_{1},G_{2}])=0.}$

Множество всех 2-коциклов на грамм обозначается Z²(грамм, F).

2-коциклы из 1-коцепей
Некоторые 2-коциклы могут быть получены из 1-коцепей. А 1-коцепь на грамм просто линейная карта,

${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\rightarrow F}$

Множество всех таких отображений обозначается C¹(грамм, F) и, конечно (по крайней мере, в конечномерном случае) C¹(грамм, F) ≅ грамм*. Использование 1-коцепи ж, 2-коцикл δf может быть определено

${\displaystyle \delta f(G_{1},G_{2})=f([G_{1},G_{2}]).}$

Свойство альтернированности проявляется немедленно, и тождество Якоби для 2-коциклов (как обычно) демонстрируется путем его записи и использования определения и свойств ингредиентов (здесь тождество Якоби на грамм и линейность ж). Линейная карта δ:C¹(грамм, F) → Z²(грамм, F) называется кограничный оператор (здесь ограничено C¹(грамм, F)).

Вторая группа когомологий
Обозначим изображение C¹(грамм, F) из δ к B²(грамм, F). Частное

${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {F} )=Z^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {F} )/B^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {F} )}$

называется вторая группа когомологий из грамм. Элементы ЧАС²(грамм, F) являются классами эквивалентности 2-коциклов и двух2-коциклов φ₁ и φ₂ называются эквивалентные коциклы если они отличаются 2-кограницей, т.е. если φ₁ = φ₂ + δf для некоторых ж ∈ C¹(грамм, F). Эквивалентные 2-коциклы называются когомологичный. Класс эквивалентности φ ∈ Z²(грамм, F) обозначается [φ] ∈ ЧАС².

Эти понятия обобщаются в нескольких направлениях. Об этом читайте в основных статьях.

Константы структуры

Основная статья: Константы структуры

Позволять B быть Основа Гамеля за грамм. Тогда каждый грамм ∈ грамм имеет уникальное выражение как

${\displaystyle G=\sum _{\alpha \in A}c_{\alpha }G_{\alpha },\quad c_{\alpha }\in F,G_{\alpha }\in B}$

для некоторого набора индексации А подходящего размера. В этом расширении только конечное число c_α ненулевые. В дальнейшем (для простоты) предполагается, что базис является счетным, а для индексов используются латинские буквы, а набор индексации можно принять равным ℕ^∗ = 1, 2, .... Сразу

${\displaystyle [G_{i},G_{j}]={C_{ij}}^{k}G_{k}}$

для базовых элементов, где символ суммирования был рационализирован, применяется соглашение о суммировании. Размещение индексов в структурных константах (вверх или вниз) несущественно. Полезна следующая теорема:

Теорема: Существует такой базис, что структурные константы антисимметричны по всем индексам тогда и только тогда, когда алгебра Ли является прямой суммой простых компактных алгебр Ли и ты(1) Алгебры Ли. Это так тогда и только тогда, когда существует действительная положительно определенная метрика грамм на грамм удовлетворяющий условию инвариантности

${\displaystyle g_{\alpha \beta }{C^{\beta }}_{\gamma \delta }=-g_{\gamma \beta }{C^{\beta }}_{\alpha \delta }.}$

в любой базе. Последнее условие необходимо по физическим причинам для неабелевой калибровочные теории в квантовая теория поля. Таким образом, можно составить бесконечный список возможных калибровочных теорий, используя Картановский каталог простых алгебр Ли в их компактной форме (т. Е. сл(п, ℂ) → вс(п)и т. д. Одной из таких калибровочных теорий является U (1) × SU (2) × SU (3) калибровочная теория стандартная модель с алгеброй Ли ты(1) ⊕ вс(2) ⊕ вс(3).^[25]

Форма убийства

Основная статья: Форма убийства

В Форма убийства является симметричной билинейной формой на грамм определяется

${\displaystyle K(G_{1},G_{2})=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{G_{1}}\mathrm {ad} _{G_{2}}).}$

Здесь объявление_грамм рассматривается как матрица, работающая в векторном пространстве грамм. Ключевой факт заключается в том, что если грамм является полупростой, то по Критерий Картана, K невырожден. В таком случае K может использоваться для идентификации грамм и грамм^∗. Если λ ∈ грамм^∗, то есть ν(λ) = грамм_λ ∈ грамм такой, что

${\displaystyle \langle \lambda ,G\rangle =K(G_{\lambda },G)\quad \forall G\in {\mathfrak {g}}.}$

Это похоже на Теорема Рисса о представлении и доказательство практически такое же. Форма убийства имеет свойство

${\displaystyle K([G_{1},G_{2}],G_{3})=K(G_{1},[G_{2},G_{3}]),}$

что называется ассоциативностью. Определив грамм_αβ = K[грамм_α,грамм_β] и раскрывая внутренние скобки с точки зрения структурных констант, можно найти, что форма Киллинга удовлетворяет вышеуказанному условию инвариантности.

Алгебра петель

Основные статьи: Алгебра петель и Группа петель

А группа петель берется как группа гладких отображений из единичной окружности S¹ в группу Ли грамм со структурой группы, определенной структурой группы на грамм. Алгебра Ли группы петель тогда является векторным пространством отображений из S¹ в алгебру Ли грамм из грамм. Любая подалгебра такой алгебры Ли называется алгебра петель. Внимание здесь сосредоточено на полиномиальные алгебры петель формы

${\displaystyle \{h:S^{1}\to {\mathfrak {g}}|h(\lambda )=\sum \lambda ^{n}G_{n},n\in \mathbb {Z} ,\lambda =e^{i\theta }\in S^{1},G_{n}\in {\mathfrak {g}}\}.}$

Вывод алгебры Ли.

Чтобы увидеть это, рассмотрите элементы ЧАС(λ) рядом с идентичностью в грамм за ЧАС в группе петель, выраженной в основе {G_k} за грамм

${\displaystyle H(\lambda )=e^{h^{k}(\lambda )G_{k}}=e_{G}+h^{k}(\lambda )G_{k}+\ldots ,}$

где час^k(λ) действительны и малы, а неявная сумма превышает размерность K из грамм.Теперь пиши

${\displaystyle h^{k}(\lambda )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\theta _{-n}^{k}\lambda ^{n}}$

чтобы получить

${\displaystyle e^{h^{k}(\lambda )G_{k}}=1_{G}+\sum _{n=-\infty }^{\infty }\theta _{-n}^{k}\lambda ^{n}G_{k}+\ldots .}$

Таким образом, функции

${\displaystyle h:S^{1}\to {\mathfrak {g}};h(\lambda )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=1}^{K}\theta _{-n}^{k}\lambda ^{n}G_{k}\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }\lambda ^{n}G_{n}}$

составляют алгебру Ли.

Небольшая мысль подтверждает, что это петли в грамм в качестве θ идет от 0 к 2π. Операции определяются поточечно операциями в грамм. Эта алгебра изоморфна алгебре

${\displaystyle C[\lambda ,\lambda ^{-1}]\otimes {\mathfrak {g}},}$

куда C [λ, λ⁻¹] это алгебра Полиномы Лорана,

${\displaystyle \sum \lambda ^{k}G_{k}\leftrightarrow \sum \lambda ^{k}\otimes G_{k}.}$

Скобка Ли

${\displaystyle [P(\lambda )\otimes G_{1},Q(\lambda )\otimes G_{2}]=P(\lambda )Q(\lambda )\otimes [G_{1},G_{2}].}$

В этом последнем представлении элементы можно рассматривать как многочлены с (постоянными!) Коэффициентами в грамм. В терминах базисных и структурных констант

${\displaystyle [\lambda ^{m}\otimes G_{i},\lambda ^{n}\otimes G_{j}]={C_{ij}}^{k}\lambda ^{m+n}\otimes G_{k}.}$

Также часто используются разные обозначения,

${\displaystyle \lambda ^{m}\otimes G_{i}\cong \lambda ^{m}G_{i}\leftrightarrow T_{i}^{m}(\lambda )\equiv T_{i}^{m},}$

где упущение λ следует помнить, чтобы избежать путаницы; элементы действительно являются функциями S¹ → грамм. Скобка Ли тогда

${\displaystyle [T_{i}^{m},T_{j}^{n}]={C_{ij}}^{k}T_{k}^{m+n},}$

которое распознается как одно из коммутационных соотношений в раскрученной аффинной алгебре Каца – Муди, которое будет введено позже, без центральный термин. С м = п = 0, подалгебра, изоморфная грамм получается. Он генерирует (как видно при обратном прослеживании в определениях) набор постоянных карт из S¹ в грамм, которая, очевидно, изоморфна грамм когда exp находится на (что имеет место, когда грамм компактный. Если грамм компактно, то базис (грамм_k) за грамм можно выбрать так, чтобы грамм_k косоэрмитовские. Как следствие,

${\displaystyle T_{i}^{n\dagger }=(\lambda ^{n}G_{i})^{\dagger }=-\lambda ^{-n}G_{i}=-T_{i}^{-n}.}$

Такое представительство называется унитарным, потому что представители

${\displaystyle H(\lambda )=e^{\theta _{n}^{k}T_{k}^{-n}}\in G}$

унитарны. Здесь минус на нижнем индексе Т является обычным, применяется соглашение о суммировании, и λ (по определению) похоронен в Тs в правой части.

Текущая алгебра (физика)

Текущие алгебры возникают в квантовых теориях поля как следствие глобального калибровочная симметрия. Сохраненные токи происходить в классические теории поля всякий раз, когда Лагранжиан уважает непрерывная симметрия. Это содержание Теорема Нётер. Большинство (возможно, все) современных квантовых теорий поля могут быть сформулированы в терминах классических лагранжианов (до квантования), поэтому теорема Нётер применима и в квантовом случае. После квантования сохраняющиеся токи продвигаются к позиционно-зависимым операторам в гильбертовом пространстве. Эти операторы подчиняются коммутационным соотношениям, обычно образующим бесконечномерную алгебру Ли. Модель, иллюстрирующая это, представлена ​​ниже.

Чтобы усилить аромат физики, факторы я будет появляться здесь и там, в отличие от математических соглашений.^{[№ 3]}

Рассмотрим вектор-столбец Φ из скалярные поля (Φ₁, Φ₂, ..., Φ_N). Пусть плотность лагранжиана равна

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\phi ^{\dagger }\partial ^{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{\dagger }\phi .}$

Этот лагранжиан инвариантен относительно преобразования^{[№ 10]}

${\displaystyle \phi \mapsto e^{-i\sum _{a=1}^{r}\alpha ^{a}F_{a}}\phi ,}$

куда {F₁, F₁, ..., F_р} являются генераторами либо U (N) или его закрытая подгруппа, удовлетворяющая

${\displaystyle [F_{a},F_{b}]=i{C_{ab}}^{c}F_{c}.}$

Теорема Нётер утверждает существование р сохраненные токи,

${\displaystyle J_{a}^{\mu }=-\pi ^{\mu }iF_{a}\phi ,\quad \pi ^{k\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{k})}},}$

куда π^k0 ≡ π^k - это импульс, канонически сопряженный с Φ_k.Причина, по которой эти токи называются консервированный это потому что

${\displaystyle \partial _{\mu }J_{a}^{\mu }=0,}$

и следовательно

${\displaystyle Q_{a}(t)=\int J_{a}^{0}d^{3}x=\mathrm {const} \equiv Q_{a},}$

то обвинять связаны с плотность заряда J_а⁰ постоянна во времени.^{[№ 11]} Эта (пока что классическая) теория квантуется, превращая поля и их сопряженные в операторы в гильбертовом пространстве и постулируя (бозонное квантование) коммутационные соотношения^{[26][№ 12]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\phi _{k}(t,x),\pi ^{l}(t,x)]&=i\delta (x-y)\delta _{k}^{l},\\{}[\phi _{k}(t,x),\phi _{l}(t,x)]&=[\pi ^{k}(t,x),\pi ^{l}(t,x)]=0.\end{aligned}}}$

Соответственно токи становятся операторами^{[№ 13]} Они удовлетворяют, используя указанные выше постулируемые соотношения, определения и интегрирования по пространству, коммутационным соотношениям

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} ),J_{b}^{0}(t,\mathbf {y} )]&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ){C_{ab}}^{c}J_{c}^{0}(ct,\mathbf {x} )\\{}[Q_{a},Q_{b}]&=i{Q_{ab}}^{c}Q_{c}\\{}[Q_{a},J_{b}^{\mu }(t,\mathbf {x} )]&=i{C_{ab}}^{c}J_{c}^{\mu }(t,\mathbf {x} ),\end{aligned}}}$

где скорость света и уменьшенная Постоянная Планка были установлены на единицу. Последнее коммутационное соотношение делает нет следуют из постулируемых коммутационных соотношений (они фиксируются только для π^k0, не для π^k1, π^k2, π^k3), кроме μ = 0 За μ = 1, 2, 3 поведение преобразования Лоренца используется для вывода заключения. Следующий коммутатор, который следует рассмотреть, это

${\displaystyle [J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} ),J_{b}^{i}(t,\mathbf {y} )]=i{C_{ab}}^{c}J_{c}^{i}(t,\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+S_{ab}^{ij}\partial _{j}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+....}$

Наличие дельта-функций и их производных объясняется требованием микропричинность откуда следует, что коммутатор обращается в нуль при Икс ≠ у. Таким образом, коммутатор должен быть распределением, поддерживаемым в Икс = у.^[27] Первый член фиксирован из-за требования, чтобы уравнение при интегрировании по Икс, приведите к последнему уравнению перед ним. Следующие термины являются Термины Швингера. Они интегрируются в ноль, но это можно показать в общем виде^[28] что они должны быть ненулевыми.

Существование терминов Швингера

Рассмотрим сохраняющийся ток

${\displaystyle \partial _{0}J^{0}+\partial _{i}J^{i}=0,\quad \langle 0|J^{i}|0\rangle =0,\quad J^{0\dagger }J^{0}=J^{0}J^{0\dagger }=I.}$

(S10)

с общим термином Швингера

${\displaystyle [J^{0}(t,\mathbf {x} ),J^{i}(t,\mathbf {y} )]=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )J^{i}(t,\mathbf {x} )+C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).}$

Взяв ожидаемое значение вакуума (VEV),

${\displaystyle \langle 0|C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|0\rangle =\langle 0|[J^{0}(t,\mathbf {x} ),J^{i}(t,\mathbf {y} )]|0\rangle ,}$

можно найти

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|{\frac {\partial C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}{\partial _{y^{i}}}}|0\rangle &=\langle 0|[J^{0}(t,\mathbf {x} ),{\frac {\partial J^{i}(t,\mathbf {y} )}{\partial _{y^{i}}}}]|0\rangle \\&=-\langle 0|[J^{0}(t,\mathbf {x} ),{\frac {\partial J^{0}(t,\mathbf {y} )}{\partial _{t}}}]|0\rangle =i\langle 0|[J^{0}(t,\mathbf {x} ),[J^{0}(t,\mathbf {y} ),H]]|0\rangle \\&=-i\langle 0|J^{0}(t,\mathbf {x} )HJ^{0}(t,\mathbf {y} )+J^{0}(t,\mathbf {x} )HJ^{0}(t,\mathbf {x} )|0\rangle ,\end{aligned}}}$

куда S10 и Уравнение Гейзенберга движения были использованы, а также ЧАС|0⟩ = 0 и его сопряженный.

Умножьте это уравнение на ж(Икс)ж(у) и проинтегрируем относительно Икс и у по всему пространству, используя интеграция по частям, и можно найти

${\displaystyle -i\int \int d\mathbf {x} d\mathbf {y} \langle 0|C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|0\rangle f(\mathbf {x} ){\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}f(\mathbf {x} )=2\langle 0|FHF|\rangle ,\quad F=\int J^{0}(\mathbf {x} )f(\mathbf {x} ).}$

Теперь вставьте полный набор состояний, |n

${\displaystyle \langle 0|FHF|\rangle =\sum _{mn}\langle 0|F|m\rangle \langle m|H|n\rangle \langle n|F|0\rangle =\sum _{mn}\langle 0|F|m\rangle E_{n}\delta _{mn}\langle n|F|0\rangle )\sum _{n\neq 0}|\langle 0|F|n\rangle |^{2}E_{n}>0\Rightarrow C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\neq 0.}$

Здесь отшельничество F и тот факт, что не все матричные элементы F между вакуумным состоянием и состояниями из комплекта может быть нулевым.

Аффинная алгебра Каца – Муди

Основная статья: Алгебра Каца – Муди

Позволять грамм быть N-мерная комплексная простая алгебра Ли со специальным подходящим нормализованным базисом, структурные константы которого антисимметричны по всем индексам с коммутационными соотношениями

${\displaystyle [G_{i},G_{j}]={C_{ij}}^{k}G_{k},\quad 1\leq i,j,N.}$

An раскрученная аффинная алгебра Каца – Муди грамм получается копированием основы для каждого п ∈ ℤ (относительно копий как отдельных), установка

${\displaystyle {\overline {\mathfrak {g}}}=FC\oplus FD\oplus \bigoplus _{1\leq i\leq \mathbb {N} ,m\in \mathbb {Z} }FG_{m}^{i}}$

как векторное пространство и задав коммутационные соотношения

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[G_{i}^{m},G_{j}^{n}]&={C_{ij}}^{k}G_{k}^{m+n}+m\delta _{ij}\delta ^{m+n,0}C,\\{}[C,G_{i}^{m}]&=0,\quad 1\leq i,j,N,\quad m,n\in \mathbb {Z} \\{}[D,G_{i}^{m}]&=mG_{i}^{m}\\{}[D,C]&=0.\end{aligned}}}$

Если C = D = 0, то подалгебра, натянутая на грамм^м_я очевидно идентична алгебре полиномиальных петель, описанной выше.

Алгебра Витта

Эрнст Витт (1911–1991), немецкий математик. Алгебры Витта, изученные им над конечными полями в 1930-х годах, впервые были исследованы в комплексном случае Картан в 1909 г.

Основная статья: Алгебра Витта

В Алгебра Витта, названный в честь Эрнст Витт, является комплексификацией алгебры Ли VectS¹ гладкой векторные поля по кругу S¹. В координатах такие векторные поля можно записать

${\displaystyle X=f(\varphi ){\frac {d}{d\varphi }},}$

а скобка Ли - это скобка Ли векторных полей на S¹ просто дано

${\displaystyle [X,Y]=\left[f{\frac {d}{d\varphi }},g{\frac {d}{d\varphi }}\right]=\left(f{\frac {dg}{d\varphi }}-g{\frac {df}{d\varphi }}\right){\frac {d}{d\varphi }}.}$

Алгебра обозначается W = VectS¹ + яVectS¹Основа для W дается множеством

${\displaystyle \{d_{n},n\in \mathbb {Z} \}=\left\{\left.ie^{in\varphi }{\frac {d}{d\varphi }}=-z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\right|n\in \mathbb {Z} \right\}.}$

Эта основа удовлетворяет

${\displaystyle [d_{l},d_{m}]=(l-m)d_{l+m}\equiv {C_{lm}}^{n}d_{n}=(l-m)\delta _{l+m}^{n}d_{n},\quad l,m,n\in \mathbb {Z} .}$

Эта алгебра Ли имеет полезное центральное расширение - алгебру Вирасоро. Она имеет 3-размерные подалгебры, изоморфные вс(1, 1) и сл(2, ℝ). Для каждого п ≠ 0, набор {d₀, d_−n, d_п} охватывает подалгебру, изоморфную вс(1, 1) ≅ сл(2, ℝ).

Отношение к сл(2, ℝ) и вс(1, 1)

За м, п ∈ {−1, 0, 1} надо

${\displaystyle [d_{0},d_{-1}]=d_{-1},\quad [d_{0},d_{1}]=-d_{1},\quad [d_{1},d_{-1}]=2d_{0}.}$

Это коммутационные соотношения сл(2, ℝ) с

${\displaystyle d_{0}\leftrightarrow H=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right),\quad d_{-1}\leftrightarrow X=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right),\quad d_{1}\leftrightarrow Y=\left({\begin{smallmatrix}0&0\\1&0\end{smallmatrix}}\right),\quad H,X,Y\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} ).}$

Группы СУ (1, 1) и SL (2, ℝ) изоморфны относительно отображения^[29]

${\displaystyle SU(1,1)=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)SL(2,\mathbb {R} )\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1},}$

и такое же отображение выполняется на уровне алгебр Ли в силу свойств экспоненциальная карта Основа для вс(1, 1) дан, см. классическая группа, к

${\displaystyle U_{0}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right),\quad U_{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&-i\\i&0\end{smallmatrix}}\right),\quad U_{2}=\left({\begin{smallmatrix}i&0\\0&-i\end{smallmatrix}}\right)}$

Теперь вычислите

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)H\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)=U_{0},\\X_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)X\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}={\frac {1}{2}}\left({\begin{smallmatrix}i&-i\\i&-i\end{smallmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}(U_{1}+U_{2}),\\Y_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)Y\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}={\frac {1}{2}}\left({\begin{smallmatrix}-i&-i\\i&i\end{smallmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}(U_{1}-U_{2}).\end{aligned}}}$

Отображение сохраняет скобки, и, следовательно, существуют изоморфизмы алгебры Ли между подалгеброй W охватывает {d₀, d₋₁, d₁} с настоящий коэффициенты, сл(2, ℝ) и вс(1, 1). То же самое и для любой подалгебра натянута на {d₀, d_−п, d_п}, п ≠ 0, это следует из простого изменения масштаба элементов (по обе стороны от изоморфизмов).

Проективное представление

Основные статьи: Теорема Вигнера, Проективное представление, и Групповые когомологии

Если M это матричная группа Ли, то элементы грамм своей алгебры Ли м может быть дан

${\displaystyle G={\frac {d}{dt}}\left.(g(t))\right|_{t=0},}$

куда грамм дифференцируемый путь в M который проходит через элемент идентичности в т = 0. Коммутаторы элементов алгебры Ли можно вычислить, используя два пути: грамм₁, грамм₂ и групповой коммутатор,

${\displaystyle [G_{1},G_{2}]={\frac {d}{dt}}\left.g_{1}(t)g_{2}(t)g_{1}(t)^{-1}g_{2}(t)^{-1}\right|_{t=0},\quad G_{1}=g_{1}'(0),G_{2}=g_{2}'(0).}$

Аналогично, учитывая представление группы U(M), ее алгебра Ли ты(м) вычисляется

${\displaystyle {\begin{aligned}[][U_{1},U_{2}]&={\frac {d}{dt}}\left.U(g_{1}(t))U(g_{2}(t))U(g_{1}(t))^{-1}U(g_{2}(t))^{-1}\right|_{t=0}\\&={\frac {d}{dt}}\left.U(g_{1}(t)g_{2}(t)g_{1}(t)^{-1}g_{2}(t)^{-1})\right|_{t=0},\quad G_{1}=g_{1}'(0),G_{2}=g_{2}'(0).\end{aligned}}}$

Тогда существует изоморфизм алгебр Ли между м и ты(м) отправка баз на базы, чтобы ты является верным представлением м.

Однако если U(грамм) это проективное представление, т.е. представление с точностью до фазового множителя, то алгебра Ли, вычисленная из представления группы, является нет изоморфен м. В проективном представлении правило умножения читается как

${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=\omega (g_{1},g_{2})U(g_{1}g_{2})=e^{i\xi (g_{1},g_{2})}U(g_{1}g_{2}).}$

Функция ω, часто требуется, чтобы он был гладким, удовлетворяет

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (g,e)&=\omega (e,g)=1,\\\omega (g_{1},g_{2}g_{3})\omega (g_{2},g_{3})&=\omega (g_{1},g_{2})\omega (g_{1}g_{2},g_{3})\\\omega (g,g^{-1})&=\omega (g^{-1},g).\end{aligned}}}$

Это называется 2-коцикл на M.

Надо

${\displaystyle {\begin{aligned}[][U_{1},U_{2}]&={\frac {d}{dt}}\left.U(g_{1}(t))U(g_{2}(t))U(g_{1}(t))^{-1}U(g_{2}(t))^{-1}\right|_{t=0}\\&={\frac {d}{dt}}\left.e^{i\xi (g_{1},g_{2})\xi (g_{1}^{-1},g_{2}^{-1})\xi (g_{1}g_{2},g_{1}^{-1}g_{2}^{-1})}U(g_{1}(t)g_{2}(t)g_{1}(t)^{-1}g_{2}(t)^{-1})\right|_{t=0}\\&\equiv {\frac {d}{dt}}\left.\Omega (g_{1},g_{2})U(g_{1}(t)g_{2}(t)g_{1}(t)^{-1}g_{2}(t)^{-1})\right|_{t=0}\\&=\left.{\frac {dU(g_{1}(t)g_{2}(t)g_{1}(t)^{-1}g_{2}(t)^{-1})}{dt}}\right|_{t=0}+\left.{\frac {d\Omega (g_{1},g_{2})}{dt}}\right|_{t=0}I,\quad G_{1}=g_{1}'(0),G_{2}=g_{2}'(0),\end{aligned}}}$

потому что оба Ω и U оценить личность в т = 0. Для объяснения фазовых факторов ξ, видеть Теорема Вигнера. Коммутационные соотношения в м за основу,

${\displaystyle [G_{i},G_{j}]={C_{ij}^{k}}G_{k}}$

стать в ты

${\displaystyle [U_{i},U_{j}]={C_{ij}^{k}}U_{k}+D_{ij}I,}$

так что для ты быть замкнутым под скобкой (и, следовательно, иметь шанс на самом деле быть алгеброй Ли) a центральный заряд я должны быть включены.

Релятивистская классическая теория струн

Основная статья: Теория бозонных струн

Классическая релятивистская струна вычерчивает лист мира в пространстве-времени, точно так же, как точечная частица отслеживает мировая линия. Этот мировой лист может быть локально параметризованный с использованием двух параметров σ и τ. Точки Икс^μ в пространстве-времени в области параметризации можно записать Икс^μ = Икс^μ(σ, τ). Один использует капитал Икс для обозначения точек в пространстве-времени, фактически находящихся на мировом листе строки. Таким образом, параметризация струны определяется выражением (σ, τ) ↦(Икс⁰(σ, τ), Икс¹(σ, τ), Икс²(σ, τ), Икс³(σ, τ)). Обратное параметризации дает местная система координат на мировом листе в смысле коллекторы.

Уравнения движения классической релятивистской струны, полученные в Лагранжев формализм от Действие Намбу – Гото находятся^[30]

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {P}}_{\mu }^{\tau }}{\partial \tau }}+{\frac {\partial {\mathcal {P}}_{\mu }^{\sigma }}{\partial \sigma }}=0,\quad {\mathcal {P}}_{\mu }^{\tau }=-{\frac {T_{0}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X')X'_{\mu }-(X')^{2}{\dot {X}}_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}},\quad {\mathcal {P}}_{\mu }^{\sigma }=-{\frac {T_{0}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X')X'_{\mu }-({\dot {X}})^{2}X'_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}}.}$

Точка над величина обозначает дифференцирование по τ и простое дифференцирование по σ. Точка между количества обозначает релятивистский внутренний продукт.

Эти довольно сложные уравнения значительно упрощаются с помощью умного выбора параметризации, называемого световой конус. В этой калибровке уравнения движения становятся

${\displaystyle {\ddot {X}}^{\mu }-{X^{\mu }}''=0,}$

обычный волновое уравнение. Цена, которую нужно заплатить, заключается в том, что датчик светового конуса накладывает ограничения,

${\displaystyle {\dot {X}}^{\mu }\cdot {X^{\mu }}'=0,\quad ({\dot {X}})^{2}+(X')^{2}=0,}$

так что нельзя просто взять произвольные решения волнового уравнения для представления струн. Рассматриваемые здесь струны - это открытые струны, т.е. они не смыкаются сами по себе. Это означает, что Граничные условия Неймана должны быть наложены на конечные точки. При этом общее решение волнового уравнения (без ограничений) имеет вид

${\displaystyle X^{\mu }(\sigma ,\tau )=x_{0}^{\mu }+2\alpha 'p_{0}^{\mu }\tau -i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n=1}\left(a_{n}^{\mu *}e^{in\tau }-a_{n}^{\mu }e^{-in\tau }\right){\frac {\cos n\sigma }{\sqrt {n}}},}$

куда α' это параметр наклона строки (относящейся к натяжение струны). Количество Икс₀ и п₀ - это (примерно) положение струны от начального условия и импульс струны. Если все α^μ
_п равны нулю, решение представляет собой движение классической точечной частицы.

Это переписано, сначала определяя

${\displaystyle \alpha _{0}^{\mu }={\sqrt {2\alpha '}}a_{\mu },\quad \alpha _{n}^{\mu }=a_{n}^{\mu }{\sqrt {n}},\quad \alpha _{-n}^{\mu }=a_{n}^{\mu *}{\sqrt {n}},}$

а затем писать

${\displaystyle X^{\mu }(\sigma ,\tau )=x_{0}^{\mu }+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{\mu }\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{\mu }e^{-in\tau }\cos n\sigma .}$

Чтобы удовлетворить ограничения, переходим к координаты светового конуса. За я = 2, 3, ...d, куда d это количество Космос размеры, набор

${\displaystyle {\begin{aligned}X^{I}(\sigma ,\tau )&=x_{0}^{I}+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{I}\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{I}e^{-in\tau }\cos n\sigma ,\\X^{+}(\sigma ,\tau )&={\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{+}\tau ,\\X^{-}(\sigma ,\tau )&=x_{0}^{-}+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{-}\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{-}e^{-in\tau }\cos n\sigma .\end{aligned}}}$

Не все α_п^μ, п ∈ ℤ, μ ∈ {+, −, 2, 3, ..., d} независимы. Некоторые из них равны нулю (следовательно, отсутствуют в приведенных выше уравнениях), а «минус-коэффициенты» удовлетворяют

${\displaystyle {\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{n}^{-}={\frac {1}{2p^{+}}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I}.}$

Количество слева получает имя,

${\displaystyle {\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{n}^{-}\equiv {\frac {1}{p^{+}}}L_{n},\quad L_{n}={\frac {1}{2}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I},}$

то поперечная мода Вирасоро.

При квантовании теории альфа, а следовательно, и L_п стать операторами.

Смотрите также

• Групповые когомологии
• Групповое сокращение (Сокращение Инёну – Вигнера)
• Расширение группы
• Когомологии алгебры Ли
• Расширение кольца

Замечания

1. Отто Шрайер (1901 - 1929) был пионером в теории расширение групп. Наряду с его богатыми исследовательскими работами, его лекции были опубликованы посмертно (под редакцией Эмануэль Спернер ) под именем Einführung in die analytische Geometrie und Algebra (Том I 1931 г., Том II 1935 г.), позже в 1951 г. переведен на английский язык в Введение в современную алгебру и теорию матриц. Видеть MacTutor 2015 для дальнейших справок.
2. Чтобы показать, что Личность Якоби выполняется, каждый записывает все, использует тот факт, что лежащие в основе алгебры Ли имеют произведение Ли, удовлетворяющее тождеству Якоби, и что δ[Икс, Y] = [δ(Икс), Y] + [Икс, δ(Y)].
3. Грубо говоря, вся алгебра Ли умножается на я, существует я присутствующие в определении структурных констант и показателя степени в экспоненциальное отображение (теория Ли) приобретает коэффициент (минус) я. Основная причина этого соглашения состоит в том, что физикам нравится, когда их элементы алгебры Ли Эрмитский (в отличие от косоэрмитский ), чтобы они имели действительные собственные значения и, следовательно, были кандидатами на наблюдаемые.
4. Мигель Анхель Вирасоро, 1940 г.р., аргентинский физик. Алгебра Вирасоро, названная в его честь, была впервые опубликована в Вирасоро (1970)
5. Такой же эффект можно получить, изменив базис в W.
6. Если 2-коцикл принимает значения в абелевой группе U (1), я. е. это фазовый фактор, который всегда будет иметь место в контексте Теорема Вигнера, тогда ℂ^* может быть заменен на U (1) в строительстве.
7. Bäuerle & de Kerf 1997, Глава 18. Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFBäuerlede_Kerf1997 (помощь) В справке констатируется факт, который трудно показать. Никаких дополнительных ссылок не дается. Выражения в несколько иной форме можно найти в Тюйнман и Вигеринк (1987) и Баргманн (1954).
8. Чтобы увидеть это, примените формулу (4) к Ψ_{gg '}, Напомним, что Φ является гомоморфизмом, и используйте Φ_грамм(е^грамм) = е^{Ψ_грамм(грамм)} Пару раз.
9. Тот факт, что алгебра Ли Aut час) является Der час, множество всех выводов час (сама являющаяся алгеброй Ли под очевидной скобкой), может быть найдена в Россманн 2002, п. 51
10. С U = −я∑α^аТ_а и U^† постоянны, их можно извлечь из частных производных. В U и U^† затем объединить в U^†U = я по унитарности.
11. Это следует из Закон Гаусса основан на предположении о достаточно быстром спаде полей на бесконечности.
12. Есть альтернативные способы квантования, например один постулирует существование операторы создания и уничтожения для всех типов частиц с определенной обменной симметрией, на основе какой статистики, Бозе-Эйнштейн или же Ферми – Дирак, частицы подчиняются, и в этом случае приведенное выше выводится для скалярных бозонных полей с использованием в основном лоренц-инвариантности и требования унитарности S-матрица. Фактически, все операторы в гильбертовом пространстве могут быть построены из операторов создания и уничтожения. См. Например Вайнберг (2002), главы 2–5.
13. Этот шаг неоднозначен, поскольку классические поля коммутируют, а операторы - нет. Здесь делается вид, что этой проблемы не существует. На самом деле, это никогда не бывает серьезным, если человек последовательн.

Примечания

1. Bäuerle & de Kerf 1997 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFBäuerlede_Kerf1997 (помощь)
2. Schottenloher 2008, Вступление
3. Долан 1995 Маяк симметрии Каца – Муди для физики. (бесплатный доступ)
4. Грин, Шварц и Виттен, 1987 г.
5. Schottenloher 2008
6. Шриер 1926 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFSchrier1926 (помощь)
7. Шриер 1925 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFSchrier1925 (помощь)
8. Кац и 1967E Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFKac1967E (помощь)
9. Муди 1967
10. Bäuerle & de Kerf 1997, Глава 19 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFBäuerlede_Kerf1997 (помощь)
11. Бойерле, де Керф и тен Кроуд 1997, Пример 18.1.9
12. Bäurle & de Kerf 1990, Глава 18 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFBäurlede_Kerf1990 (помощь)
13. Bäurle & de Kerf 1997 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFBäurlede_Kerf1997 (помощь) Следствие 22.2.9.
14. Кац 1990 Упражнение 7.8.
15. Кац 1990
16. Bäuerle & de Kerf 1990
17. Цвибах 2004, Глава 12
18. Цвибах 2002, стр. 219–228 Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFZwiebach2002 (помощь)
19. Цвибах 2004, п. 227
20. Баргманн 1954 г.
21. Туйнман и Вигеринк, 1987 г.
22. Россманн 2002, Раздел 2.2
23. Хамфрис 1972
24. Кнапп 2002
25. Вайнберг 1996, Приложение A, глава 15.
26. Грейнер и Райнхардт, 1996 г.
27. Bauerle & de Kerf 1997 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFBauerlede_Kerf1997 (помощь) Раздел 17.5.
28. Bauerle & de Kerf 1997, стр. 383–386 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFBauerlede_Kerf1997 (помощь)
29. Россманн 2002, Раздел 4.2
30. Цвибах 2004 Уравнение 6.53 (поддерживается 6.49, 6.50).

Рекомендации

Книги

• Bäuerle, G.G.A; де Керф, Э.А. (1990). А. ван Грезен; Э.М. де Ягер (ред.). Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике. Исследования по математической физике. 1. Северная Голландия. ISBN  978-0-444-88776-4.
• Bäuerle, G.G.A; de Kerf, E.A .; тен Кроуд, А. П. Э. (1997). А. ван Грезен; Э.М. де Ягер (ред.). Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике. Исследования по математической физике. 7. Северная Голландия. ISBN  978-0-444-82836-1 - через ScienceDirect.
• Годдард, П.; Олив, Д., ред. (1988). Алгебры Каца – Муди и Вирасоро, переиздание тома для физиков.. Продвинутая серия по математической физике. 3. Сингапур: World Scientific Publishing. ISBN  978-9971-50-419-9.
• Гольдин, Г.А. (2006). Françoise, JP .; Naber, G.L .; Цун, Т. С. (ред.). Энциклопедия математической физики. Современная алгебра. ISBN  978-0-12-512666-3.
• Грин, М.; Шварц, Дж.; Виттен, Э. (1987). Теория суперструн. л. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9781107029118.
• Грейнер, В.; Рейнхардт, Дж. (1996). Квантование поля. Издательство Springer. ISBN  978-3-540-59179-5.
• Хамфрис, Дж. Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений (3-е изд.). Берлин · Гейдельберг · Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-90053-5.
• Кац, В. (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-37215-2.
• Кнапп, А. (2002). бас, H .; Oesterlé, J .; Вайнштейн, А. (ред.). Группы лжи за пределами введения. Успехи в математике. 140 (2-е изд.). Бостон · Базель · Берлин: Биркхойзер. ISBN  978-0-8176-4259-4.
• Россманн, Вульф (2002). Группы Ли - введение через линейные группы. Тексты для выпускников Оксфорда по математике. Оксфордские научные публикации. ISBN  0-19-859683-9.
• Schottenloher, M. (2008) [1997]. Математическое введение в теорию конформного поля (2-е изд.). Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-68625-5.
• Вайнберг, С. (2002). Квантовая теория полей. я. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55001-7.
• Вайнберг, С. (1996). Квантовая теория полей. II. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55002-4.
• Цвибах, Б. (2004). Первый курс теории струн. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-83143-1.

Журналы

• Баргманн, В. (1954). «Об унитарных лучевых представлениях непрерывных групп». Анна. математики. 59 (1): 1–46. Дои:10.2307/1969831. JSTOR  1969831.
• Долан, Л. (1995). "Маяк симметрии Каца – Муди для физики". Уведомления AMS. 42 (12): 1489–1495. arXiv:hep-th / 9601117. Bibcode:1996hep.th .... 1117D. ISSN  0002-9920.
• Кац, В.Г. (1967R). «[Простые градуированные алгебры Ли конечного роста]». Funkt. Аналис И Эго Прилож (на русском). 1 (4): 82–83.
• Кац, В. Г. (1967E). «Простые градуированные алгебры Ли конечного роста». Функц. Анальный. Приложение. 1: 328–329. (Английский перевод)
• Годдард, П.; Олив, Д. (1986). «Алгебры Каца – Муди и Вирасоро применительно к квантовой физике». Int. J. Mod. Phys. А. 1 (2): 303–414. Bibcode:1986IJMPA ... 1..303G. Дои:10.1142 / S0217751X86000149. Это можно найти в Алгебры Каца – Муди и Вирасоро, переиздание тома для физиков.
• Муди, Р.В. (1967). «Алгебры Ли, ассоциированные с обобщенными матрицами Картана». Бык. Амер. Математика. Soc. 73 (2): 217–221. Дои:10.1090 / S0002-9904-1967-11688-4. МИСТЕР  0207783. Zbl  0154.27303. (открытый доступ)
• Шрайер, О. (1926). «Uber die Erweiterung von Gruppen I» [К теории расширений групп I]. Monatshefte für Mathematik (на немецком). 34 (1): 165–180. Дои:10.1007 / BF01694897. HDL:10338.dmlcz / 127714.
• Шрайер, О. (1925). «Uber die Erweiterung von Gruppen II» [К теории расширений групп II]. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (на немецком). 4 (1): 321–346. Дои:10.1007 / BF02950735. HDL:10338.dmlcz / 140420.
• Вирасоро, М.А. (1970). «Вспомогательные условия и призраки в моделях двойного резонанса». Phys. Ред. D. 1 (10): 2933–2936. Bibcode:1970ПхРвД ... 1,2933В. Дои:10.1103 / PhysRevD.1.2933.
• Туйнман, Г.М .; Wiegerinck, W.A.J.J. (1987). «Центральные расширения и физика». J. Геометрия и физика. 4 (2): 207–258. Bibcode:1987JGP ..... 4..207T. Дои:10.1016/0393-0440(87)90027-1.

Интернет

• MacTutor (2015). "Биография Шрайера". MacTutor История математики. Получено 2015-03-08.