Симплектический спинорный пучок - Symplectic spinor bundle

В дифференциальная геометрия, учитывая метаплектическая структура ${\displaystyle \pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to M\,}$ на ${\displaystyle 2n}$-размерный симплектическое многообразие ${\displaystyle (M,\omega ),\,}$ в симплектическое спинорное расслоение это Гильбертово пространство пучок ${\displaystyle \pi _{\mathbf {Q} }\colon {\mathbf {Q} }\to M\,}$ связанный с метаплектической структурой через метаплектическое представление. Метаплектическое представление о метаплектическая группа - двустворчатое покрытие симплектическая группа - рождает бесконечный ранг векторный набор; это симплектическая спинорная конструкция, обусловленная Бертрам Костант.^[1]

Раздел симплектическое спинорное расслоение ${\displaystyle {\mathbf {Q} }\,}$ называется симплектическое спинорное поле.

Формальное определение

Позволять ${\displaystyle ({\mathbf {P} },F_{\mathbf {P} })}$ быть метаплектическая структура на симплектическое многообразие ${\displaystyle (M,\omega ),\,}$ то есть эквивариантный лифт расслоение симплектических реперов ${\displaystyle \pi _{\mathbf {R} }\colon {\mathbf {R} }\to M\,}$ относительно двойного покрытия ${\displaystyle \rho \colon {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} })\to {\mathrm {Sp} }(n,{\mathbb {R} }).\,}$

В симплектическое спинорное расслоение ${\displaystyle {\mathbf {Q} }\,}$ определено ^[2] быть гильбертовым пространством пучок

${\displaystyle {\mathbf {Q} }={\mathbf {P} }\times _{\mathfrak {m}}L^{2}({\mathbb {R} }^{n})\,}$

связанный с метаплектической структурой ${\displaystyle {\mathbf {P} }}$ через метаплектическое представление ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\colon {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} })\to {\mathrm {U} }(L^{2}({\mathbb {R} }^{n})),\,}$ также называется Сегал – Шале – Вейль ^[3][4][5] представление ${\displaystyle {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} }).\,}$ Здесь обозначение ${\displaystyle {\mathrm {U} }({\mathbf {W} })\,}$ обозначает группа из унитарные операторы действуя на Гильбертово пространство ${\displaystyle {\mathbf {W} }.\,}$

Представление Сигала – Шейла – Вейля. ^[6] бесконечномерное унитарное представительство метаплектической группы ${\displaystyle {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} })}$ на пространстве всей комплекснозначной площади Интегрируемый по Лебегу квадратично интегрируемые функции ${\displaystyle L^{2}({\mathbb {R} }^{n}).\,}$ Из-за бесконечной размерности с представлением Сигала – Шейла – Вейля не так просто работать.

Примечания

1. Костант, Б. (1974). «Симплектические спиноры». Symposia Mathematica. Академическая пресса. XIV: 139–152.
2. Хаберманн, Катарина; Хаберманн, Лутц (2006), Введение в симплектические операторы Дирака, Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-33420-0 стр. 37
3. Сигал, И. (1962), Лекции на Летнем семинаре в Боулдере 1960 г., AMS, Провиденс, Род-Айленд
4. Шале, Д. (1962). «Линейные симметрии свободных бозонных полей». Пер. Амер. Математика. Soc. 103: 149–167. Дои:10.1090 / с0002-9947-1962-0137504-6.
5. Вайль, А. (1964). "Sur specific groupes d'opérateurs unitaires". Acta Math. 111: 143–211. Дои:10.1007 / BF02391012.
6. Кашивара, М.; Вернь, М. (1978). «О представлении Сигала – Шейла – Вейля и гармонических многочленах». Inventiones Mathematicae. 44: 1–47. Дои:10.1007 / BF01389900.

дальнейшее чтение

• Хаберманн, Катарина; Хаберманн, Лутц (2006), Введение в симплектические операторы Дирака, Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-33420-0