Лемма Тейхмюллера – Тьюки - Teichmüller–Tukey lemma

В математике Лемма Тейхмюллера – Тьюки. (иногда называют просто Лемма Тьюки), названный в честь Джон Тьюки и Освальд Тайхмюллер, это лемма который утверждает, что каждая непустая коллекция конечный характер имеет максимальный элемент относительно включение. Над Теория множеств Цермело – Френкеля, лемма Тейхмюллера – Тьюки эквивалентна аксиома выбора, а значит, и теорема о хорошем порядке, Лемма Цорна, а Принцип максимума Хаусдорфа.^[1]

Определения

Семейство наборов ${displaystyle {mathcal {F}}}$ имеет конечный характер при условии, что он обладает следующими свойствами:

1. Для каждого ${displaystyle Ain {mathcal {F}}}$, каждый конечный подмножество из ${displaystyle A}$ принадлежит ${displaystyle {mathcal {F}}}$.
2. Если каждое конечное подмножество данного множества ${displaystyle A}$ принадлежит ${displaystyle {mathcal {F}}}$, тогда ${displaystyle A}$ принадлежит ${displaystyle {mathcal {F}}}$.

Утверждение леммы

Позволять ${displaystyle Z}$ быть набором и пусть ${displaystyle {mathcal {F}}subseteq {mathcal {P}}(Z)}$. Если ${displaystyle {mathcal {F}}}$ носит конечный характер и ${displaystyle Xin {mathcal {F}}}$, то существует максимальное ${displaystyle Yin {mathcal {F}}}$ (согласно соотношению включения) такая, что ${displaystyle Xsubseteq Y}$.^[2]

Приложения

В линейная алгебра, лемма может быть использована для доказательства существования основа. Позволять V быть векторное пространство. Рассмотрим коллекцию ${displaystyle {mathcal {F}}}$ из линейно независимый наборы векторов. Это собрание конечный характер. Таким образом, существует максимальное множество, которое тогда должно охватывать V и быть основой для V.

Примечания

1. Jech, Thomas J. (2008) [1973]. Аксиома выбора. Dover Publications. ISBN  978-0-486-46624-8.
2. Кунен, Кеннет (2009). Основы математики. Публикации колледжа. ISBN  978-1-904987-14-7.

Рекомендации

• Бриллинджер, Дэвид Р. "Джон Уайлдер Тьюки" [1]