Осциллятор Тоды - Toda oscillator - Wikipedia

В физика, то Осциллятор Тоды особый вид нелинейный осциллятор. Он представляет собой цепочку частиц с экспоненциальным потенциалом взаимодействия между соседями.^[1] Эти концепции названы в честь Морикадзу Тода. Осциллятор Тоды используется как простая модель для понимания феномена автопульсация, представляющую собой квазипериодическую пульсацию выходной интенсивности твердотельный лазер в переходный режим.

Определение

Осциллятор Тоды - это динамическая система любого происхождения, которое можно описать зависимой координатой ${\displaystyle ~x~}$ и независимая координата ${\displaystyle ~z~}$, отличающийся тем, что эволюция по независимой координате ${\displaystyle ~z~}$ можно аппроксимировать уравнением

${\displaystyle {\frac {{\rm {d^{2}}}x}{{\rm {d}}z^{2}}}+D(x){\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}z}}+\Phi '(x)=0,}$

куда ${\displaystyle ~D(x)=ue^{x}+v~}$, ${\displaystyle ~\Phi (x)=e^{x}-x-1~}$ штрих обозначает производную.

Физический смысл

Независимая координата ${\displaystyle ~z~}$ имеет чувство время. В самом деле, это может быть пропорционально времени ${\displaystyle ~t~}$ с некоторым отношением вроде ${\displaystyle ~z=t/t_{0}~}$, куда ${\displaystyle ~t_{0}~}$ постоянно.

В производная ${\displaystyle ~{\dot {x}}={\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}z}}}$ может иметь чувство скорость частицы с координатой ${\displaystyle ~x~}$; тогда ${\displaystyle ~{\ddot {x}}={\frac {{\rm {d}}^{2}x}{{\rm {d}}z^{2}}}~}$ можно интерпретировать как ускорение; а масса такой частицы равна единице.

Диссипативная функция ${\displaystyle ~D~}$ может иметь смысл коэффициента пропорционального скорости трение.

Обычно оба параметра ${\displaystyle ~u~}$ и ${\displaystyle ~v~}$ должны быть положительными; то этот пропорциональный скорости коэффициент трения экспоненциально растет при больших положительных значениях координаты ${\displaystyle ~x~}$.

Потенциал ${\displaystyle ~\Phi (x)=e^{x}-x-1~}$ фиксированная функция, которая также показывает экспоненциальный рост при больших положительных значениях координаты ${\displaystyle ~x~}$.

В приложении в лазерная физика, ${\displaystyle ~x~}$ может иметь чувство логарифм числа фотонов в лазерный резонатор, относительно его установившегося значения. Затем выходная мощность такого лазера пропорциональна ${\displaystyle ~\exp(x)~}$ и может показывать пульсацию на колебание из ${\displaystyle ~x~}$.

Обе аналогии, с частицей единичной массы и логарифмом числа фотонов, полезны при анализе поведения осциллятора Тоды.

Энергия

Строго говоря, колебание является периодическим только при ${\displaystyle ~u=v=0~}$. Действительно, при реализации генератора Тоды в виде самопульсирующего лазера эти параметры могут иметь значения порядка ${\displaystyle ~10^{-4}~}$; за несколько импульсов амплитуда пульсации не сильно меняется. В этом случае можно говорить о период пульсации, так как функция ${\displaystyle ~x=x(t)~}$ почти периодический.

В случае ${\displaystyle ~u=v=0~}$, энергия осциллятора ${\displaystyle ~E={\frac {1}{2}}\left({\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}z}}\right)^{2}+\Phi (x)~}$ не зависит от ${\displaystyle ~z~}$, и может рассматриваться как постоянная движения. Тогда за один период пульсации соотношение между ${\displaystyle ~x~}$ и ${\displaystyle ~z~}$ можно выразить аналитически:^[2][3]

${\displaystyle z=\pm \int _{x_{\min }}^{x_{\max }}\!\!{\frac {{\rm {d}}a}{{\sqrt {2}}{\sqrt {E-\Phi (a)}}}}}$

куда${\displaystyle ~x_{\min }~}$ и ${\displaystyle ~x_{\max }~}$ - минимальные и максимальные значения ${\displaystyle ~x~}$; это решение написано для случая, когда ${\displaystyle {\dot {x}}(0)=0}$.

однако другие решения могут быть получены с использованием принципа трансляционная инвариантность.

Соотношение ${\displaystyle ~x_{\max }/x_{\min }=2\gamma ~}$ - удобный параметр для характеристики амплитуды пульсации. Используя это, мы можем выразить медианное значение${\displaystyle \delta ={\frac {x_{\max }-x_{\min }}{1}}}$в качестве${\displaystyle \delta =\ln {\frac {\sin(\gamma )}{\gamma }}}$; а энергия${\displaystyle E=E(\gamma )={\frac {\gamma }{\tanh(\gamma )}}+\ln {\frac {\sinh \gamma }{\gamma }}-1}$также является элементарной функцией ${\displaystyle ~\gamma ~}$.

В приложении количество ${\displaystyle E}$ не обязательно должна быть физическая энергия системы; в этих случаях эту безразмерную величину можно назвать квазиэнергия.

Период пульсации

Период пульсации является возрастающей функцией амплитуды ${\displaystyle ~\gamma ~}$.

Когда ${\displaystyle ~\gamma \ll 1~}$, Период ${\displaystyle ~T(\gamma )=2\pi \left(1+{\frac {\gamma ^{2}}{24}}+O(\gamma ^{4})\right)~}$

Когда ${\displaystyle ~\gamma \gg 1~}$, Период ${\displaystyle ~T(\gamma )=4\gamma ^{1/2}\left(1+O(1/\gamma )\right)~}$

Во всем диапазоне${\displaystyle ~\gamma >0~}$, Период ${\displaystyle ~{T(\gamma )}~}$ и частота ${\displaystyle ~k(\gamma )={\frac {2\pi }{T(\gamma )}}~}$ можно приблизительно оценить

${\displaystyle k_{\text{fit}}(\gamma )={\frac {2\pi }{T_{\text{fit}}(\gamma )}}=}$

${\displaystyle \left({\frac {10630+674\gamma +695.2419\gamma ^{2}+191.4489\gamma ^{3}+16.86221\gamma ^{4}+4.082607\gamma ^{5}+\gamma ^{6}}{10630+674\gamma +2467\gamma ^{2}+303.2428\gamma ^{3}+164.6842\gamma ^{4}+36.6434\gamma ^{5}+3.9596\gamma ^{6}+0.8983\gamma ^{7}+{\frac {16}{\pi ^{4}}}\gamma ^{8}}}\right)^{1/4}}$

не менее 8 значимые фигуры. В относительная ошибка этого приближения не превышает ${\displaystyle 22\times 10^{-9}}$.

Затухание пульсации

При небольших (но все же положительных) значениях ${\displaystyle ~u~}$ и ${\displaystyle ~v~}$, пульсация затухает медленно, и это затухание можно описать аналитически. В первом приближении параметры ${\displaystyle ~u~}$ и ${\displaystyle ~v~}$ дают аддитивный вклад в распад; скорость затухания, а также амплитуда и фаза нелинейных колебаний могут быть аппроксимированы элементарными функциями аналогично периоду выше. При описании поведения идеализированного осциллятора Тоды погрешность таких приближений меньше, чем различия между идеалом и его экспериментальной реализацией в виде самопульсирующий лазер на оптическая скамья. Однако качественно самимпульсный лазер показывает очень похожее поведение.^[3]

Непрерывный предел

В Цепочка Тода уравнения движения в непрерывном пределе, когда расстояние между соседями стремится к нулю, становятся Уравнение Кортевега – де Фриза (КдВ) уравнение.^[1] Здесь индекс, обозначающий частицу в цепочке, становится новой пространственной координатой.

Напротив, Теория поля Тоды достигается путем введения новой пространственной координаты, которая не зависит от метки индекса цепи. Это делается релятивистски инвариантным образом, так что время и пространство рассматриваются на равных основаниях.^[4] Это означает, что теория поля Тоды не является непрерывным пределом цепочки Тоды.

Рекомендации

1. Тода, М. (1975). «Исследования нелинейной решетки». Отчеты по физике. 18 (1): 1. Bibcode:1975ФР .... 18 .... 1Т. Дои:10.1016/0370-1573(75)90018-6.
2. Оппо, Г.Л .; Полити, А. (1985). «Тода-потенциал в лазерных уравнениях». Zeitschrift für Physik B. 59 (1): 111–115. Bibcode:1985ZPhyB..59..111O. Дои:10.1007 / BF01325388.
3. Кузнецов, Д .; Bisson, J.-F .; Li, J .; Уэда, К. (2007). «Самоимпульсный лазер как генератор Тоды: приближение через элементарные функции». Журнал физики А. 40 (9): 1–18. Bibcode:2007JPhA ... 40,2107K. Дои:10.1088/1751-8113/40/9/016.
4. Кашаев, Р.-М .; Решетихин Н. (1997). "Аффинная теория поля Тоды как трехмерная интегрируемая система". Коммуникации по математической физике. 188: 251–266. arXiv:hep-th / 9507065. Bibcode:1997CMaPh.188..251K. Дои:10.1007 / s002200050164.