Торическое разнообразие - Toric variety - Wikipedia

В алгебраическая геометрия, а торическое разнообразие или же вложение тора является алгебраическое многообразие содержащий алгебраический тор как открытый плотное подмножество, так что действие тора на самом себе распространяется на все многообразие. Некоторые авторы также требуют, чтобы нормальный. Торические многообразия составляют важный и богатый класс примеров в алгебраической геометрии, которые часто служат полигоном для проверки теорем. Геометрия торического многообразия полностью определяется комбинаторика связанного с ним вентилятора, что часто делает вычисления более удобными. Для определенного особого, но все же довольно общего класса торических многообразий эта информация также закодирована в многограннике, что создает мощную связь предмета с выпуклой геометрией. Знакомые примеры торических многообразий: аффинное пространство, проективные пространства, произведения проективных пространств и расслоений над проективное пространство.

Торические многообразия из торов

Первоначальной мотивацией изучения торических многообразий было изучение вложений торов. Учитывая алгебраический тор Т, группа характеров Hom (Т,C^Икс) образует решетку. Учитывая набор очков А, подмножество этой решетки, каждая точка определяет отображение C и, таким образом, коллекция определяет карту для C^{| A |}. Взяв замыкание Зариского образа такой карты, мы получаем аффинное многообразие. Если совокупность точек решетки А порождает решетку характеров, это многообразие является вложением тора. Подобным образом можно создать параметризованное проективное торическое многообразие, взяв проективное замыкание вышеупомянутого отображения, рассматривая его как отображение в аффинный участок проективного пространства.

Заметим, что для проективного торического многообразия мы можем исследовать его геометрию с помощью однопараметрических подгрупп. Каждая однопараметрическая подгруппа, определяемая точкой в решетке, двойственной решетке характеров, является выколотой кривой внутри проективного торического многообразия. Поскольку многообразие компактно, эта пунктированная кривая имеет единственную предельную точку. Таким образом, разбивая решетку однопараметрических подгрупп по предельным точкам выколотых кривых, мы получаем решетчатый веер - набор полиэдральных рациональных конусов. Конусы наибольшей размерности точно соответствуют неподвижным точкам тора, пределам этих выколотых кривых.

Торическое многообразие веера

Предположим, что N конечного ранга свободная абелева группа. Сильно выпуклый рациональный многогранный конус в N это выпуклый конус (реального векторного пространства N) с вершиной в нуле, порожденные конечным числом векторов N, который не содержит линии, проходящей через начало координат. Для краткости они будут называться «конусами».

Для каждого конуса σ свое аффинное торическое многообразие U_σ это спектр полугрупповая алгебра из двойной конус.

А поклонник представляет собой набор конусов, замкнутых относительно пересечений и граней.

Торическое многообразие веера задается путем взятия аффинных торических многообразий его конусов и их склейки путем отождествления U_σ с открытым подмногообразием U_τ если σ - грань τ. Наоборот, каждому вееру сильно выпуклых рациональных конусов соответствует торическое многообразие.

Веер, связанный с торической разновидностью, обобщает некоторые важные данные о разновидности. Например, сорт гладкий если каждый конус в своем веере может быть порожден подмножеством основа для свободной абелевой группы N.

Морфизмы торических многообразий

Предположим, что Δ₁ и Δ₂ вееры в решетках N₁ и N₂. Если ж это линейная карта из N₁ к N₂ такое, что образ каждого конуса ∆₁ содержится в конусе ∆₂, тогда ж вызывает морфизм ж_* между соответствующими торическими многообразиями. Эта карта ж_* правильно тогда и только тогда, когда карта ж карты | Δ₁| на | Δ₂|, где | Δ | - основное пространство веера Δ, заданное объединением его конусов.

Разрешение особенностей

Торическое многообразие неособо, если его конусы максимальной размерности порождены базисом решетки. Отсюда следует, что каждое торическое многообразие имеет разрешение особенностей заданное другим торическим многообразием, которое можно построить, разбив максимальные конусы на конусы неособых торических многообразий.

Торическое многообразие выпуклого многогранника

Веер рационального выпуклого многогранника в N состоит из конусов над собственными гранями. Торическое многообразие многогранника - это торическое многообразие его веера. Вариант этой конструкции состоит в том, чтобы взять рациональный многогранник в двойственном к N и возьмем торическое многообразие его полярного множества в N.

Торическое многообразие имеет отображение в многогранник в двойственном к N слои которого являются топологическими торами. Например, комплексная проективная плоскость CP² может быть представлен тремя комплексными координатами, удовлетворяющими

{ Displaystyle | z_ {1} | ^ {2} + | z_ {2} | ^ {2} + | z_ {3} | ^ {2} = 1, , !}

где сумма была выбрана для учета реальной части масштабирования проективной карты, а координаты, кроме того, должны быть идентифицированы следующими U (1) действие:

{ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}) приблизительно e ^ {i phi} (z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}). , !}

Подход торической геометрии состоит в том, чтобы написать

{ displaystyle (x, y, z) = (| z_ {1} | ^ {2}, | z_ {2} | ^ {2}, | z_ {3} | ^ {2}). , ! }

Координаты ${ displaystyle x, y, z}$ неотрицательны, и они параметризуют треугольник, потому что

{ Displaystyle х + Y + Z = 1; , !}

то есть,

{ Displaystyle четырехъядерный г = 1-х-у. , !}

Треугольник - это торическое основание комплексной проективной плоскости. Общий слой представляет собой двухмерный тор, параметризованный фазами ${ displaystyle z_ {1}, z_ {2}}$ ; фаза ${ displaystyle z_ {3}}$ могут быть выбраны реальными и положительными ${ Displaystyle U (1)}$ симметрия.

Однако двумерный тор вырождается в три разные окружности на границе треугольника, т.е. ${ displaystyle x = 0}$ или же ${ displaystyle y = 0}$ или же ${ displaystyle z = 0}$ потому что фаза ${ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}$ становится несущественным, соответственно.

Точная ориентация кругов внутри тора обычно обозначается наклоном отрезков прямых (в данном случае сторон треугольника).

Отношение к зеркальной симметрии

Идея торических многообразий полезна для зеркальная симметрия потому что интерпретация некоторых данных веера как данных многогранника приводит к геометрическому построению зеркальных многообразий.

внешняя ссылка

Домашняя страница Д. А. Кокса, с несколькими лекциями о торических многообразиях

Смотрите также

Лемма Гордана
Торический идеал
Торический стек (примерно это получается заменой шага взятия Фактор GIT по стек частных )
Тороидальное вложение